Slider

Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения \left ( x^{2}-1 \right )\left ( x^{2}+3 \right)=0 и x^{2}=1 равносильны. Их корни совпадают: x=1 или x=-1.

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Решим уравнение:

\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{x}{x^{2}+1}=2,9

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену \frac{x^{2}+1}{x}=t. Тогда \frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{t},t\neq 0.

С новой переменной уравнение стало проще:

t+\frac{1}{t}=2,9

t+\frac{1}{t}-2,9=0

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

10t^{2}-29t+10=0

Корни этого уравнения: t=\frac{5}{2} или t=\frac{2}{5}.

Вернемся к переменной x.

Если t=\frac{2}{5}, то \frac{x^{2}+1}{x}=\frac{2}{5}.

Отсюда 5x^{2}-2x+5=0.

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если t=\frac{5}{2}, то \frac{x^{2}+1}{x}=\frac{5}{2}. Получим квадратное уравнение для x: 2x^{2}-5x+2=0.

У этого уравнения два корня: x=2 или x=0,5. Это ответ.

Решим уравнение

\left ( x-1 \right )\cdot \left ( x-3 \right )\cdot \left ( x+5 \right )\cdot \left ( x+7 \right )=297

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки x=-2.

Сделаем замену x+2=t, тогда x=t-2.

Тогда:

x-1=t-3

x-3=t-5

x+5=t+3

x+7=t+5

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

\left ( t-3 \right )\cdot \left ( t-5 \right )\cdot \left ( t+3 \right )\cdot \left ( t+5 \right )=297

\left ( t^{2}-9 \right )\cdot \left ( t^{2}-25 \right )=297

И еще одна замена: t^{2}-9=z.

z\cdot \left ( z-16 \right )=297

z^{2}-16z-297=0. Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что 297 = 27 \cdot 11.

\left\{\begin{matrix} z_{1}+z_{2}=16\\ z_{1}\cdot z_{2}=-297 \end{matrix}\right.;  отсюда  z_{1}=27z_{2}=-11.

Если z=t^{2}-9=-11, то t^{2}=-2, нет решений.

Если z=t^{2}-9=27, то t^{2}=36. Тогда t=6 или t=-6

Если x+2=6, то x=4.

Если x+2=-6, то x=-8.

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

3. Решите уравнение \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=10\cdot \left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )

Сделаем замену \frac{x}{3}-\frac{4}{x} =t. То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

t^{2}=\left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )^{2}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{16}{x^{2}}-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\left ( \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8 \right )

\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8=3t^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=3t^{2}+8.

Получили квадратное уравнение:

3t^{2}+8=10t

3t^{2}-10t+8=0

D=10^{2}-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4

t_{1}=\frac{10-2}{6}=\frac{4}{3}

t_{2}=\frac{10+2}{6}=2

Если \frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{4}{3}, то x^{2}-4x-12=0 \Rightarrow x_{1}=-2, \; x_{2}=6.

Если \frac{x}{3}-\frac{4}{x}=2, то x^{2}-6x-12=0.

D=36-4\cdot \left ( -12 \right )=84,

x_{3,4}=\frac{6\pm \sqrt{84}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{21}}{2}=3\pm \sqrt{21}.

Ответ: -2;3;3\pm \sqrt{21}

Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.

4. Решите уравнение x^{3}-3x^{2}-6x+8=0

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

x^{3}+2^{3}-3x^{2}-6x=0

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ). Получим:

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right )-3x\left ( x+2 \right )=0

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 -3x\right )=0

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4\right )=0.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4 \right )= 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x+2=0 \\ x^{2}-5x+4 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow

Ответ: -2; 1; 4.

У нас появилось новое обозначение: \left[ \begin{array}{ccc} \\ \\ \end{array} \right.- знак совокупности.

Такой знак означает «или».

Запись \left[ \begin{array}{ccc} x=-2 \\ x=4 \\ x=1 \\ \end{array} \right. читается как «x=-2 или x=4 или x=1».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

5. Решите уравнение x^{3}-9x^{2}+26x-24=0

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при x=2 получаем верное равенство:

2^{3}-9\cdot 2^{2}+26\cdot 2-24=0

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot P\left ( x \right ), где P\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c.

Чтобы найти P\left ( x \right ), поделим выражение x^{3}-9x^{2}+26x-24 на x-2. В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot \left ( x^{2}-7x+12 \right )\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x-2=0 \\ x^{2}-7x+12=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=2 \\ x=3 \\ x=4 \\ \end{array} \right.

Ответ: 2; 3; 4.

6. Решите уравнение x^{2}+2x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}=1

группируем слагаемые:

x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\left (x+\frac{1}{x} \right )-1=0

А если сделать замену x+\frac{1}{x}=t?

Тогда t^{2}=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2 .

Получаем квадратное уравнение: t^{2}-2+2t-1=0. Удачная замена!

t^{2}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} t=-3 \\ t=1 \\ \end{array} \right.

Если x+\frac{1}{x}=1, то , нет решений.

Если x+\frac{1}{x}=-3, то x^{2}+3x+1=0

D=9-4=5, x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}.

Ответ: \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}.

7. Решите уравнение x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+1=0

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, - 5, 4, - 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим.

Разделим обе его части на x^{2}\neq 0. Мы можем это сделать, поскольку x=0 не является корнем нашего уравнения.

x^{2}-5x+4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0

Теперь группируем слагаемые:

x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-5\left (x-\frac{1}{x} \right )+4=0

Сделаем замену x-\frac{1}{x}=t.

Тогда t^{2}=\left ( x-\frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2

Получили уравнение t^{2}+2-5t+4=0. Легко!

x-\frac{1}{x}=3\Rightarrow x^{2}-3x-1=0, \;D_{1}=9+4=13,\; x_{3,4}=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}

Ответ:1\pm \sqrt{2}, \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных