previous arrow
next arrow
Slider

Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения \left ( x^{2}-1 \right )\left ( x^{2}+3 \right)=0 и x^{2}=1 равносильны. Их корни совпадают: x=1 или x=-1.

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Решим уравнение:

\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{x}{x^{2}+1}=2,9

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену \frac{x^{2}+1}{x}=t. Тогда \frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{t},t\neq 0.

С новой переменной уравнение стало проще:

t+\frac{1}{t}=2,9

t+\frac{1}{t}-2,9=0

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

10t^{2}-29t+10=0

Корни этого уравнения: t=\frac{5}{2} или t=\frac{2}{5}.

Вернемся к переменной x.

Если t=\frac{2}{5}, то \frac{x^{2}+1}{x}=\frac{2}{5}.

Отсюда 5x^{2}-2x+5=0.

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если t=\frac{5}{2}, то \frac{x^{2}+1}{x}=\frac{5}{2}. Получим квадратное уравнение для x: 2x^{2}-5x+2=0.

У этого уравнения два корня: x=2 или x=0,5. Это ответ.

Решим уравнение

\left ( x-1 \right )\cdot \left ( x-3 \right )\cdot \left ( x+5 \right )\cdot \left ( x+7 \right )=297

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки x=-2.

Сделаем замену x+2=t, тогда x=t-2.

Тогда:

x-1=t-3

x-3=t-5

x+5=t+3

x+7=t+5

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

\left ( t-3 \right )\cdot \left ( t-5 \right )\cdot \left ( t+3 \right )\cdot \left ( t+5 \right )=297

\left ( t^{2}-9 \right )\cdot \left ( t^{2}-25 \right )=297

И еще одна замена: t^{2}-9=z.

z\cdot \left ( z-16 \right )=297

z^{2}-16z-297=0. Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что 297 = 27 \cdot 11.

\left\{\begin{matrix} z_{1}+z_{2}=16\\ z_{1}\cdot z_{2}=-297 \end{matrix}\right.;  отсюда  z_{1}=27z_{2}=-11.

Если z=t^{2}-9=-11, то t^{2}=-2, нет решений.

Если z=t^{2}-9=27, то t^{2}=36. Тогда t=6 или t=-6

Если x+2=6, то x=4.

Если x+2=-6, то x=-8.

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

3. Решите уравнение \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=10\cdot \left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )

Сделаем замену \frac{x}{3}-\frac{4}{x} =t. То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

t^{2}=\left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )^{2}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{16}{x^{2}}-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\left ( \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8 \right )

\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8=3t^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=3t^{2}+8.

Получили квадратное уравнение:

3t^{2}+8=10t

3t^{2}-10t+8=0

D=10^{2}-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4

t_{1}=\frac{10-2}{6}=\frac{4}{3}

t_{2}=\frac{10+2}{6}=2

Если \frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{4}{3}, то x^{2}-4x-12=0 \Rightarrow x_{1}=-2, \; x_{2}=6.

Если \frac{x}{3}-\frac{4}{x}=2, то x^{2}-6x-12=0.

D=36-4\cdot \left ( -12 \right )=84,

x_{3,4}=\frac{6\pm \sqrt{84}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{21}}{2}=3\pm \sqrt{21}.

Ответ: -2;3;3\pm \sqrt{21}

Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.

4. Решите уравнение x^{3}-3x^{2}-6x+8=0

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

x^{3}+2^{3}-3x^{2}-6x=0

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ). Получим:

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right )-3x\left ( x+2 \right )=0

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 -3x\right )=0

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4\right )=0.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4 \right )= 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x+2=0 \\ x^{2}-5x+4 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow

Ответ: -2; 1; 4.

У нас появилось новое обозначение: \left[ \begin{array}{ccc} \\ \\ \end{array} \right.- знак совокупности.

Такой знак означает «или».

Запись \left[ \begin{array}{ccc} x=-2 \\ x=4 \\ x=1 \\ \end{array} \right. читается как «x=-2 или x=4 или x=1».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

5. Решите уравнение x^{3}-9x^{2}+26x-24=0

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при x=2 получаем верное равенство:

2^{3}-9\cdot 2^{2}+26\cdot 2-24=0

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot P\left ( x \right ), где P\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c.

Чтобы найти P\left ( x \right ), поделим выражение x^{3}-9x^{2}+26x-24 на x-2. В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot \left ( x^{2}-7x+12 \right )\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x-2=0 \\ x^{2}-7x+12=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=2 \\ x=3 \\ x=4 \\ \end{array} \right.

Ответ: 2; 3; 4.

6. Решите уравнение x^{2}+2x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}=1

группируем слагаемые:

x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\left (x+\frac{1}{x} \right )-1=0

А если сделать замену x+\frac{1}{x}=t?

Тогда t^{2}=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2 .

Получаем квадратное уравнение: t^{2}-2+2t-1=0. Удачная замена!

t^{2}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} t=-3 \\ t=1 \\ \end{array} \right.

Если x+\frac{1}{x}=1, то , нет решений.

Если x+\frac{1}{x}=-3, то x^{2}+3x+1=0

D=9-4=5, x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}.

Ответ: \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}.

7. Решите уравнение x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+1=0

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, - 5, 4, - 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим.

Разделим обе его части на x^{2}\neq 0. Мы можем это сделать, поскольку x=0 не является корнем нашего уравнения.

x^{2}-5x+4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0

Теперь группируем слагаемые:

x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-5\left (x-\frac{1}{x} \right )+4=0

Сделаем замену x-\frac{1}{x}=t.

Тогда t^{2}=\left ( x-\frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2

Получили уравнение t^{2}+2-5t+4=0. Легко!

x-\frac{1}{x}=3\Rightarrow x^{2}-3x-1=0, \;D_{1}=9+4=13,\; x_{3,4}=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}

Ответ:1\pm \sqrt{2}, \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}