Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.
В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.
Вспомним основные понятия.
Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.
Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.
Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.
Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.
Например, уравнения и
равносильны. Их корни совпадают:
или
Замена переменной – ключ к решению многих задач.
Решим уравнение:
Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.
Сделаем замену Тогда
С новой переменной уравнение стало проще:
Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:
Корни этого уравнения: или
Вернемся к переменной
Если , то
Отсюда
Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.
Если , то
Получим квадратное уравнение для
:
У этого уравнения два корня: или
Это ответ.
Решим уравнение
Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.
Посмотрим на уравнение внимательно.
На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки
Сделаем замену , тогда
.
Тогда:
Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:
И еще одна замена: .
Обычное квадратное уравнение. Замечательно!
Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что
; отсюда
,
.
Если , то
нет решений.
Если , то
Тогда
или
Если , то
.
Если , то
.
Ответ: 4; –8.
Дальше – еще интереснее.
3. Решите уравнение
Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.
.
Получили квадратное уравнение:
Если , то
Если , то
Ответ:
Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.
4. Решите уравнение
Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:
Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:
.
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Записывается это так:
Ответ: -2; 1; 4.
У нас появилось новое обозначение: - знак совокупности.
Такой знак означает «или».
Запись читается как «
или
или
».
Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.
5. Решите уравнение
Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.
Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.
Выпишем целые делители числа 24:
1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24
Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:
Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:
, где
.
Чтобы найти , поделим выражение
на
. В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.
Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!
Ответ: 2; 3; 4.
6. Решите уравнение
группируем слагаемые:
А если сделать замену ?
Тогда .
Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!
Если , то
,
.
Ответ: .
7. Решите уравнение
Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, - 5, 4, - 5, 1.
Такое уравнение называется симметрическим.
Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку
не является корнем нашего уравнения.
Теперь группируем слагаемые:
Сделаем замену .
Тогда
Получили уравнение . Легко!
Ответ: