previous arrow
next arrow
Slider

Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, разложение на множители, группировка, использование симметрии, однородности, деление многочлена на многочлен. Они вполне могут встретиться на ЕГЭ и олимпиадах в уравнениях, неравенствах и задачах с параметрами.
Также мы рассматриваем применение свойств функций, метод оценки, выделение полного квадрата, графический способ.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения \left ( x^{2}-1 \right )\left ( x^{2}+3 \right)=0 и x^{2}=1 равносильны. Их корни совпадают: x=1 или x=-1.

В этой статье мы рассмотрим рациональные уравнения. В них переменная х входит в целой степени. Стандартный вид такого уравнения: слева многочлен, справа ноль.
Например, уравнение первой степени имеет вид ax+b=0, где a \neq 0. По-другому оно называется линейным уравнением, и вы с ним хорошо знакомы.

Уравнение второй степени приводится к виду ax^2+bx+c=0, где a \neq 0. Это квадратное уравнение, и с ним тоже все просто.

Уравнение третьей степени имеет вид ax^3+bx^2+cx+d=0, где a \neq 0.

В общем виде такие уравнения n-й степени можно записать так:
ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\dots + mx+p=0, где х — переменная, a, b, c,\dots,m, p — некоторые числа, причём a \neq 0.

Теорема. Уравнение n-й степени имеет не более n действительных корней.

Это значит, что у квадратного уравнения не более двух корней. У уравнения третьей степени не более трех корней.
Как же найти эти корни?

Метод замены переменной

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Самый простой пример – биквадратное уравнение.

Так называется уравнение вида ax^4+bx^2+c=0. Оно решается с помощью замены x^2=t, где t \geqslant 0.

1. Решим уравнение 9x^4-37x^2+4=0.

Решение:

Сделаем замену x^2=t, t \geqslant 0, тогда

9t^2-37t+4=0; D=37^2-12^2=(37-12)(37+12)=1225;

t_{1,2}=\frac{37\pm35}{18}; t=4 или t=-\frac{1}{9}

Значение переменной t=-\frac{1}{9} не удовлетворяет условию замены, так как -\frac{1}{9}<0.

Значит, x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm2.

Ответ: x=\pm 2

2.Решим уравнение x^4+10x^2+9=0.

Решение:

Пусть x^2=t; t\geqslant 0; t^2+10t+9=0. Это уравнение имеет два корня: t=-9 или t=-1. Оба корня отрицательны и не удовлетворяют условию t \geqslant 0. Значит, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: \emptyset

Такой символ означает, что корней нет, множество корней исходного уравнения является пустым.

3. Решим уравнение:

\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{x}{x^{2}+1}=2,9

Решение:

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену \frac{x^{2}+1}{x}=t. Тогда \frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{t},t\neq 0.

С новой переменной уравнение стало проще:

t+\frac{1}{t}=2,9

t+\frac{1}{t}-2,9=0

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

10t^{2}-29t+10=0

Корни этого уравнения: t=\frac{5}{2} или t=\frac{2}{5}.

Вернемся к переменной x.

Если t=\frac{2}{5}, то \frac{x^{2}+1}{x}=\frac{2}{5}.

Отсюда 5x^{2}-2x+5=0.

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если t=\frac{5}{2}, то \frac{x^{2}+1}{x}=\frac{5}{2}. Получим квадратное уравнение для x: 2x^{2}-5x+2=0.

У этого уравнения два корня: x=2 или x=0,5. Это ответ.

4. Решим уравнение (4x^2-5x)^2+4(4x^2-5x)+3=0

Решение:
Мы видим, что выражение 4x^2-5x в уравнении встречается дважды. Хорошо бы обозначить его новой переменной, сделать замену.

Введем новую переменную t=4x^2-5x.

Уравнение примет вид: t^2+4t+3=0, t=-1 или t=-3.

Возвращаемся к переменной х:


    \left[    \begin{gathered}    4x^2-5x=-1 \\    4x^2-5x=-3    \end{gathered}    \right.

У нас появилось новое обозначение: [ - знак совокупности.
Такой знак означает «или».

Мы получили совокупность из двух квадратных уравнений.

    \left[    \begin{gathered}    4x^2-5x+1=0 \\    4x^2-5x+3=0    \end{gathered}    \right.

Решим эти уравнения по очереди.

1)~~4x^2-5x+1=0; D = 25-16=9;x_{1,2}=\frac{5\pm3}{8};     \left[    \begin{gathered}    x=1 \\    x=0,25    \end{gathered}    \right.

2) Уравнение ~~4x^2-5x+3=0 не имеет корней. Его дискриминант отрицателен.

Ответ: 1; 0,25

5. Решим уравнение

\left ( x-1 \right )\cdot \left ( x-3 \right )\cdot \left ( x+5 \right )\cdot \left ( x+7 \right )=297

Решение:

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки x=-2.

Сделаем замену x+2=t, тогда x=t-2.

Тогда:

x-1=t-3

x-3=t-5

x+5=t+3

x+7=t+5

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

\left ( t-3 \right )\cdot \left ( t-5 \right )\cdot \left ( t+3 \right )\cdot \left ( t+5 \right )=297

\left ( t^{2}-9 \right )\cdot \left ( t^{2}-25 \right )=297

И еще одна замена: t^{2}-9=z.

z\cdot \left ( z-16 \right )=297

z^{2}-16z-297=0. Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что 297 = 27 \cdot 11.

\left\{\begin{matrix} z_{1}+z_{2}=16\\ z_{1}\cdot z_{2}=-297 \end{matrix}\right.;  отсюда  z_{1}=27z_{2}=-11.

Если z=t^{2}-9=-11, то t^{2}=-2, нет решений.

Если z=t^{2}-9=27, то t^{2}=36. Тогда t=6 или t=-6

Если x+2=6, то x=4.

Если x+2=-6, то x=-8.

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

6. Решите уравнение \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=10\cdot \left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )

Решение:

Сделаем замену \frac{x}{3}-\frac{4}{x} =t. То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

t^{2}=\left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )^{2}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{16}{x^{2}}-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\left ( \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8 \right )

\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8=3t^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=3t^{2}+8.

Получили квадратное уравнение:

3t^{2}+8=10t

3t^{2}-10t+8=0

D=10^{2}-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4

t_{1}=\frac{10-2}{6}=\frac{4}{3}

t_{2}=\frac{10+2}{6}=2

Если \frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{4}{3}, то x^{2}-4x-12=0 \Rightarrow x_{1}=-2, \; x_{2}=6.

Если \frac{x}{3}-\frac{4}{x}=2, то x^{2}-6x-12=0.

D=36-4\cdot \left ( -12 \right )=84,

x_{3,4}=\frac{6\pm \sqrt{84}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{21}}{2}=3\pm \sqrt{21}.

Ответ: -2;3;3\pm \sqrt{21}

Метод разложения на множители

Этот метод удобен, когда в правой части уравнения стоит ноль, а в левой – выражение, зависящее от переменной.

Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла.

7. Решим уравнение x(x-2)(x-3)(x-5)=0.

Конечно, не нужно перемножать все «скобки». Левая часть уравнения равна нулю, если х=0 или х=2 или х=3 или х=5. Все эти значения переменной – корни уравнения.

Ответ: 0; 2; 3; 5.

8. Решим уравнение x^6+8x^3=0

Решение:

Вынесем за скобки x^3,то есть разложим левую часть на множители.

x^3(x^3+8)=0 \Leftrightarrow \left[    \begin{gathered}    x^3=0 \\    x^3+8=0    \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left[    \begin{gathered}    x=0 \\    x=-2    \end{gathered}\right.

Ответ: \{-2;0\}

Мы записали корни уравнения в виде множества из двух значений переменной, -2 и 0. Это одна из возможных форм записи ответа.
Метод разложения на множители часто применяется вместе с методом группировки.

Метод группировки слагаемых

9. Решите уравнение x^{3}-3x^{2}-6x+8=0

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

x^{3}+2^{3}-3x^{2}-6x=0

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ). Получим:

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right )-3x\left ( x+2 \right )=0

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 -3x\right )=0

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4\right )=0.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4 \right )= 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x+2=0 \\ x^{2}-5x+4 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow

Ответ: -2; 1; 4.

Здесь мы тоже использовали знак совокупности.

Запись \left[ \begin{array}{ccc} x=-2 \\ x=4 \\ x=1 \\ \end{array} \right. читается как «x=-2 или x=4 или x=1».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

10. Решите уравнение 9x^3-9x^2-x+1=0.

Решение:

Разложим левую часть уравнения множители методом группировки.

9x^2(x-1)-(x-1)=0 \Leftrightarrow (x-1) \cdot (9x^2-1)=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow     \left[    \begin{gathered}    x-1=0 \\    9x^2-1=0    \end{gathered}    \right.     \Leftrightarrow    \left[    \begin{gathered}    x=1 \\    x=\pm \frac{1}{3}    \end{gathered}    \right.

Ответ: \pm\frac{1}{3}; 1

11. Решите уравнение x^{2}+2x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}=1

Решение:

Сгруппируем слагаемые:

x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\left (x+\frac{1}{x} \right )-1=0

А если сделать замену x+\frac{1}{x}=t?

Тогда t^{2}=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2 .

Получаем квадратное уравнение: t^{2}-2+2t-1=0. Удачная замена!

t^{2}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} t=-3 \\ t=1 \\ \end{array} \right.

Если x+\frac{1}{x}=1, то , нет решений.

Если x+\frac{1}{x}=-3, то x^{2}+3x+1=0

D=9-4=5, x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}.

Ответ: \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}.

Подбор целого корня и деление многочлена на многочлен уголком

Рассмотрим еще один метод решения уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней.

12. Решите уравнение x^{3}-9x^{2}+26x-24=0

Решение:

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при x=2 получаем верное равенство:

2^{3}-9\cdot 2^{2}+26\cdot 2-24=0

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot P\left ( x \right ), где P\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c.

Чтобы найти P\left ( x \right ), поделим выражение x^{3}-9x^{2}+26x-24 на x-2. В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot \left ( x^{2}-7x+12 \right )\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x-2=0 \\ x^{2}-7x+12=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=2 \\ x=3 \\ x=4 \\ \end{array} \right.

Ответ: 2; 3; 4.

13. Решите уравнение x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+1=0

Решение:

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, - 5, 4, - 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим, или возвратным.

Разделим обе его части на x^{2}\neq 0. Мы можем это сделать, поскольку x=0 не является корнем нашего уравнения.

x^{2}-5x+4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0

Теперь группируем слагаемые:

x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-5\left (x-\frac{1}{x} \right )+4=0

Сделаем замену x-\frac{1}{x}=t.

Тогда t^{2}=\left ( x-\frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2

Получили уравнение t^{2}+2-5t+4=0. Легко!

x-\frac{1}{x}=3\Rightarrow x^{2}-3x-1=0, \;D_{1}=9+4=13,\; x_{3,4}=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}

Ответ:1\pm \sqrt{2}, \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}

14. Решите уравнение x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0

Решение:

Разделив обе части уравнения на x^2\neq 0, получим:

x^2-5x+6-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0.

Группируем слагаемые:

\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0.

Сделаем замену x+\frac{1}{x}=t, тогда t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2 \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.

Наше уравнение примет вид:

(t^2-2)-5t+6=0 \Leftrightarrow t^2-5t+4=0 \Leftrightarrow     \left[    \begin{gathered}    t=4 \\    t=1    \end{gathered}    \right.

Обратная замена:

1)~ x+\frac{1}{x}=1 \Leftrightarrow x^2-x+1=0; D = 1-4=-3<0 \Rightarrow x \in \emptyset

2)~ x+\frac{1}{x}=4 \Leftrightarrow x^2-4x+1=0; D = 4-1=3; x_{1,2}=2\pm \sqrt{3}

Ответ: 2\pm \sqrt{3}

Однородные уравнения

В школьном курсе математики проходят однородные показательные и однородные тригонометрические уравнения. Однородные алгебраические уравнения решаются тем же методом: делением на старшую степень.

15. Решите уравнение

Решение:

(x^2+2x)^2-(x^2+2x)(2x-1)-6(2x-1)^2=0

Это однородное уравнение. Разделим каждое слагаемое на (2x-1)^2 при условии (2x-1)^2 \neq0.

Получим: \left(\frac{x^2+2x}{2x-1}\right)^2-\frac{x^2+2x}{2x-1}-6=0

Выполним замену: \frac{x^2+2x}{2x-1}=t.

Получим уравнение:

t^2-t-6=0 \Leftrightarrow      \left[      \begin{gathered}      t=3 \\      t=-2      \end{gathered}      \right.

Обратная замена приведет нас к совокупности квадратных уравнений:

     \left[      \begin{gathered}      x^2-4x+3-0 \\      x^2+6x-2=0      \end{gathered}      \right.

Решим эти квадратные уравнения.

1)~x^2+6x-2=0; x=-3\pm \sqrt{11}

2)~x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow        \left[      \begin{gathered}      x=3 \\      x=1      \end{gathered}      \right.

Мы сказали, что поделить обе части уравнения на 2x-1 можно, только если 2x-1 \neq 0. Проверим, что будет, если 2x-1 = 0. Тогда x=0,5. Такое значение переменной не является корнем уравнения.

Ответ: \{-3\pm\sqrt{11};1;3 \}

Рассмотрим еще одно однородное уравнение.

16. Решите уравнение

3(x+8)^2-4(x+8)(x^2+2x+2)+(x^2+2x+2)^2=0.

Решение:

x=-8 не является корнем уравнения, поэтому разделим уравнение на (x+8) и получим

\left(\frac{x^2+2x+2}{x+8}\right)^2-4\cdot\frac{x^2+2x+2}{x+8}+3=0.

Замена \frac{x^2+2x+2}{x+8}=t приводит к квадратному уравнению:

t^2-4t+3=0. Его корни t=3 и t=1.

Обратная замена дает совокупность квадратных уравнений:

2)~x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow        \left[      \begin{gathered}      x^2-x-22=0 \\      x^2+x-6=0      \end{gathered}      \right.

Решив эти квадратные уравнения, получаем корни:

x=\frac{1\pm \sqrt{89}}{2}; x=-3; x=2.

Ответ: \frac{1\pm \sqrt{89}}{2}; -3; 2.

Покажем еще несколько методов решения алгебраических уравнений. Они встречаются также в задачах с параметрами.

Выделение полного квадрата

17. Решите уравнение x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=3

Решение:

В правой части уравнения сумма двух квадратов. Добавим и вычтем удвоенное произведение двух выражений:

x^2+2\cdot x\cdot\frac{x}{x+1}+\frac{x^2}{(x+1)^2}-2\cdot x\cdot\frac{x}{x+1}=3.

Свернем полный квадрат по формуле сокращенного умножения.

\left(x+\frac{x}{x+1}\right)^2-\frac{2x^2}{x+1}=3; ~\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2-\frac{2x^2}{x+1}=3

Замена \frac{x^2}{x+1}=t приведет уравнение к виду:

t^2-2t-3=0; ~t=3 или t=-1.

Обратная замена дает совокупность двух квадратных уравнений:

   	\left[    \begin{gathered}    x^2-3x-3=0 \\    x^2+x+1=0    \end{gathered}    \right.

Корни первого из этих уравнений:

x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}

Второе уравнение не имеет корней, его дискриминант отрицателен.

Ответ: \frac{3\pm\sqrt{21}}{2}

Метод оценки

18. Решим уравнение (x-3)^6+2=4x-x^2-2.

Решение:

Преобразуем правую часть уравнения:

4x-x^2-x=-(x^2-4x+4)+2=-(x-2)^2+2.

Уравнение примет вид:

(x-3)^6+2=2-(x-2)^2;

(x-3)^6=-(x-2)^2. Оценим левую и правую части уравнения.

Так как (x-3)^6 \geqslant 0, -(x-2)^2 \leqslant 0, то равенство выполняется, только если и левая, и правая его части равны нулю.

Уравнение равносильно системе:

    \begin{cases}    (x-3)^6=0 \\    -(x-2)^2=0    \end{cases}    ;     \begin{cases}    x=6 \\    x=2    \end{cases}

Система решений не имеет.

Ответ: корней нет.

При решении мы пользовались следующей теоремой:
Теорема. Если в уравнении f(x)=g(x) функция y=f(x) ограничена сверху и f(x)\leqslant m, а функция y=g(x) ограничена снизу, причем g(x)\geqslant m, то уравнение равносильно системе:

    \begin{cases}    f(x)=m \\    g(x)=m    \end{cases}

Если система решений не имеет, то у данного уравнения f(x)=g(x) корней нет.

Читайте о том, как метод оценки применяется в задачах с параметрами.

Использование свойств функций

Еще один нетривиальный метод решения уравнений – подобрать корень и доказать, что других корней нет.

Здесь нам поможет следующая теорема:
Теорема. Если в уравнении f(x)=g(x) функция y=f(x) является монотонно возрастающей, а функция y=g(x) монотонно убывающей или постоянной, то уравнение не может иметь более одного корня.

19. Решите уравнение x^3+7x^5+2x=-10

Решение:

Левая часть уравнения представляет собой функцию, монотонно возрастающую при любом значении переменной х, т.к. является суммой монотонно возрастающих функций, а правая часть постоянна. Поэтому, если уравнения имеет корень, то он единственный.

Подбором находим, что x=-1 т.к. -1-7-2=-10

Ответ: -1.

20. Решите уравнение x^9+5x=6.

Решение:

Функция y=x^9+5x является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), а правая часть постоянна. Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1 — корень, так как
19+5\cdot 1=6.
Других корней быть не может.
Ответ: 1.

Графический метод решения уравнений

Чтобы решить графически уравнение f(x)=g(x), строим в одной системе координат графики функций y=f(x) и y=g(x) и находим точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения графиков — это корни уравнения f(x)=g(x).

21. Решите графически уравнение x^3-x-6=0.

Решение:

Запишем уравнение в виде x^3=x+6. Построим в одной системе координат графики функций y=x^3 и y=x+6.

Графики функций пересекаются в единственной точке A(2;8); ~x=-2 — корень уравнения, поскольку 2^3=2+6. Других корней нет.
Ответ: 2.

Список литературы:

1. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Домашний репетитор. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену.

2. А. Г. Мордкович. Решаем уравнения.