Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения $\left ( x^{2}-1 \right )\left ( x^{2}+3 \right)=0$ и $x^{2}=1$ равносильны. Их корни совпадают: $x=1$ или $x=-1.$

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Решим уравнение:

$\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{x}{x^{2}+1}=2,9$

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену $\frac{x^{2}+1}{x}=t.$ Тогда $\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{t},t\neq 0.$

С новой переменной уравнение стало проще:

$t+\frac{1}{t}=2,9$

$t+\frac{1}{t}-2,9=0$

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

$10t^{2}-29t+10=0$

Корни этого уравнения: $t=\frac{5}{2}$ или $t=\frac{2}{5}.$

Вернемся к переменной $x.$

Если $t=\frac{2}{5}$ , то $\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{2}{5}.$

Отсюда $5x^{2}-2x+5=0.$

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если $t=\frac{5}{2}$ , то $\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{5}{2}.$ Получим квадратное уравнение для $x$ : $2x^{2}-5x+2=0.$

У этого уравнения два корня: $x=2$ или $x=0,5.$ Это ответ.

Решим уравнение

$\left ( x-1 \right )\cdot \left ( x-3 \right )\cdot \left ( x+5 \right )\cdot \left ( x+7 \right )=297$

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки $x=-2.$

Сделаем замену $x+2=t$ , тогда $x=t-2$ .

Тогда:

$x-1=t-3$

$x-3=t-5$

$x+5=t+3$

$x+7=t+5$

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

$\left ( t-3 \right )\cdot \left ( t-5 \right )\cdot \left ( t+3 \right )\cdot \left ( t+5 \right )=297$

$\left ( t^{2}-9 \right )\cdot \left ( t^{2}-25 \right )=297$

И еще одна замена: $t^{2}-9=z$ .

$z\cdot \left ( z-16 \right )=297$

$z^{2}-16z-297=0.$ Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что $297 = 27 \cdot 11.$

$\left\{\begin{matrix} z_{1}+z_{2}=16\\ z_{1}\cdot z_{2}=-297 \end{matrix}\right.$ ; отсюда $z_{1}=27$ , $z_{2}=-11$ .

Если $z=t^{2}-9=-11$ , то $t^{2}=-2,$ нет решений.

Если $z=t^{2}-9=27$ , то $t^{2}=36.$ Тогда $t=6$ или $t=-6$

Если $x+2=6$ , то $x=4$ .

Если $x+2=-6$ , то $x=-8$ .

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

3. Решите уравнение $\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=10\cdot \left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )$

Сделаем замену $\frac{x}{3}-\frac{4}{x} =t$ . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

$t^{2}=\left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )^{2}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{16}{x^{2}}-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\left ( \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8 \right )$

$\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8=3t^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=3t^{2}+8$ .

Получили квадратное уравнение:

$3t^{2}+8=10t$

$3t^{2}-10t+8=0$

$D=10^{2}-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4$

$t_{1}=\frac{10-2}{6}=\frac{4}{3}$

$t_{2}=\frac{10+2}{6}=2$

Если $\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{4}{3}$ , то $x^{2}-4x-12=0 \Rightarrow x_{1}=-2, \; x_{2}=6.$

Если $\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=2$ , то $x^{2}-6x-12=0.$

$D=36-4\cdot \left ( -12 \right )=84,$

$x_{3,4}=\frac{6\pm \sqrt{84}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{21}}{2}=3\pm \sqrt{21}.$

Ответ: $-2;3;3\pm \sqrt{21}$

Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.

4. Решите уравнение $x^{3}-3x^{2}-6x+8=0$

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

$x^{3}+2^{3}-3x^{2}-6x=0$

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: $a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )$ . Получим:

$\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right )-3x\left ( x+2 \right )=0$

$\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 -3x\right )=0$

$\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4\right )=0$ .

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

$\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4 \right )= 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x+2=0 \\ x^{2}-5x+4 = 0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$

Ответ: -2; 1; 4.

У нас появилось новое обозначение: $\left[ \begin{array}{ccc} \\ \\ \end{array} \right.$ - знак совокупности.

Такой знак означает «или».

Запись $\left[ \begin{array}{ccc} x=-2 \\ x=4 \\ x=1 \\ \end{array} \right.$ читается как « $x=-2$ или $x=4$ или $x=1$ ».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

5. Решите уравнение $x^{3}-9x^{2}+26x-24=0$

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при $x=2$ получаем верное равенство:

$2^{3}-9\cdot 2^{2}+26\cdot 2-24=0$

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

$x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot P\left ( x \right )$ , где $P\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$ .

Чтобы найти $P\left ( x \right )$ , поделим выражение $x^{3}-9x^{2}+26x-24$ на $x-2$ . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

$x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot \left ( x^{2}-7x+12 \right )\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x-2=0 \\ x^{2}-7x+12=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=2 \\ x=3 \\ x=4 \\ \end{array} \right.$