Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, разложение на множители, группировка, использование симметрии, однородности, деление многочлена на многочлен. Они вполне могут встретиться на ЕГЭ и олимпиадах в уравнениях, неравенствах и задачах с параметрами.
Также мы рассматриваем применение свойств функций, метод оценки, выделение полного квадрата, графический способ.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения $\left ( x^{2}-1 \right )\left ( x^{2}+3 \right)=0$ и $x^{2}=1$ равносильны. Их корни совпадают: $x=1$ или $x=-1.$

В этой статье мы рассмотрим рациональные уравнения. В них переменная х входит в целой степени. Стандартный вид такого уравнения: слева многочлен, справа ноль.
Например, уравнение первой степени имеет вид $ax+b=0$ , где $a \neq 0.$ По-другому оно называется линейным уравнением, и вы с ним хорошо знакомы.

Уравнение второй степени приводится к виду $ax^2+bx+c=0$ , где $a \neq 0.$ Это квадратное уравнение, и с ним тоже все просто.

Уравнение третьей степени имеет вид $ax^3+bx^2+cx+d=0$ , где $a \neq 0.$

В общем виде такие уравнения n-й степени можно записать так:
$ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\dots + mx+p=0$ , где х — переменная, $a, b, c,\dots,m, p$ — некоторые числа, причём $a \neq 0.$

Теорема. Уравнение n-й степени имеет не более n действительных корней.

Это значит, что у квадратного уравнения не более двух корней. У уравнения третьей степени не более трех корней.
Как же найти эти корни?

Метод замены переменной

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Самый простой пример – биквадратное уравнение.

Так называется уравнение вида $ax^4+bx^2+c=0$ . Оно решается с помощью замены $x^2=t$ , где $t \geqslant 0.$

1. Решим уравнение $9x^4-37x^2+4=0$ .

Решение:

Сделаем замену $x^2=t, t \geqslant 0$ , тогда

$9t^2-37t+4=0; D=37^2-12^2=(37-12)(37+12)=1225;$

$t_{1,2}=\frac{37\pm35}{18};$ $t=4$ или $t=-\frac{1}{9}$

Значение переменной $t=-\frac{1}{9}$ не удовлетворяет условию замены, так как $-\frac{1}{9}<0.$

Значит, $x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm2.$

Ответ: $x=\pm 2$

2.Решим уравнение $x^4+10x^2+9=0.$

Решение:

Пусть $x^2=t; t\geqslant 0; t^2+10t+9=0.$ Это уравнение имеет два корня: $t=-9$ или $t=-1$ . Оба корня отрицательны и не удовлетворяют условию $t \geqslant 0$ . Значит, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $\emptyset$

Такой символ означает, что корней нет, множество корней исходного уравнения является пустым.

3. Решим уравнение:

$\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{x}{x^{2}+1}=2,9$

Решение:

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену $\frac{x^{2}+1}{x}=t.$ Тогда $\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{t},t\neq 0.$

С новой переменной уравнение стало проще:

$t+\frac{1}{t}=2,9$

$t+\frac{1}{t}-2,9=0$

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

$10t^{2}-29t+10=0$

Корни этого уравнения: $t=\frac{5}{2}$ или $t=\frac{2}{5}.$

Вернемся к переменной $x.$

Если $t=\frac{2}{5}$ , то $\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{2}{5}.$

Отсюда $5x^{2}-2x+5=0.$

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если $t=\frac{5}{2}$ , то $\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{5}{2}.$ Получим квадратное уравнение для $x$ : $2x^{2}-5x+2=0.$

У этого уравнения два корня: $x=2$ или $x=0,5.$ Это ответ.

4. Решим уравнение $(4x^2-5x)^2+4(4x^2-5x)+3=0$

Решение:
Мы видим, что выражение $4x^2-5x$ в уравнении встречается дважды. Хорошо бы обозначить его новой переменной, сделать замену.

Введем новую переменную $t=4x^2-5x.$

Уравнение примет вид: $t^2+4t+3=0, t=-1$ или $t=-3.$

Возвращаемся к переменной х:

$\left[ \begin{gathered} 4x^2-5x=-1 \\ 4x^2-5x=-3 \end{gathered} \right.$

У нас появилось новое обозначение: $[$ - знак совокупности.
Такой знак означает «или».

Мы получили совокупность из двух квадратных уравнений.

$\left[ \begin{gathered} 4x^2-5x+1=0 \\ 4x^2-5x+3=0 \end{gathered} \right.$

Решим эти уравнения по очереди.

$1)~~4x^2-5x+1=0; D = 25-16=9;x_{1,2}=\frac{5\pm3}{8}; \left[ \begin{gathered} x=1 \\ x=0,25 \end{gathered} \right.$

2) Уравнение $~~4x^2-5x+3=0$ не имеет корней. Его дискриминант отрицателен.

Ответ: 1; 0,25

5. Решим уравнение

$\left ( x-1 \right )\cdot \left ( x-3 \right )\cdot \left ( x+5 \right )\cdot \left ( x+7 \right )=297$

Решение:

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки $x=-2.$

Сделаем замену $x+2=t$ , тогда $x=t-2$ .

Тогда:

$x-1=t-3$

$x-3=t-5$

$x+5=t+3$

$x+7=t+5$

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

$\left ( t-3 \right )\cdot \left ( t-5 \right )\cdot \left ( t+3 \right )\cdot \left ( t+5 \right )=297$

$\left ( t^{2}-9 \right )\cdot \left ( t^{2}-25 \right )=297$

И еще одна замена: $t^{2}-9=z$ .

$z\cdot \left ( z-16 \right )=297$

$z^{2}-16z-297=0.$ Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что $297 = 27 \cdot 11.$

$\left\{\begin{matrix} z_{1}+z_{2}=16\\ z_{1}\cdot z_{2}=-297 \end{matrix}\right.$ ; отсюда $z_{1}=27$ , $z_{2}=-11$ .

Если $z=t^{2}-9=-11$ , то $t^{2}=-2,$ нет решений.

Если $z=t^{2}-9=27$ , то $t^{2}=36.$ Тогда $t=6$ или $t=-6$

Если $x+2=6$ , то $x=4$ .

Если $x+2=-6$ , то $x=-8$ .

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

6. Решите уравнение $\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=10\cdot \left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )$

Решение:

Сделаем замену $\frac{x}{3}-\frac{4}{x} =t$ . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

$t^{2}=\left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )^{2}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{16}{x^{2}}-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\left ( \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8 \right )$

$\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8=3t^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=3t^{2}+8$ .

Получили квадратное уравнение:

$3t^{2}+8=10t$

$3t^{2}-10t+8=0$

$D=10^{2}-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4$

$t_{1}=\frac{10-2}{6}=\frac{4}{3}$

$t_{2}=\frac{10+2}{6}=2$

Если $\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{4}{3}$ , то $x^{2}-4x-12=0 \Rightarrow x_{1}=-2, \; x_{2}=6.$

Если $\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=2$ , то $x^{2}-6x-12=0.$

$D=36-4\cdot \left ( -12 \right )=84,$

$x_{3,4}=\frac{6\pm \sqrt{84}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{21}}{2}=3\pm \sqrt{21}.$

Ответ: $-2;3;3\pm \sqrt{21}$

Метод разложения на множители

Этот метод удобен, когда в правой части уравнения стоит ноль, а в левой – выражение, зависящее от переменной.

Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла.

7. Решим уравнение $x(x-2)(x-3)(x-5)=0$ .

Конечно, не нужно перемножать все «скобки». Левая часть уравнения равна нулю, если х=0 или х=2 или х=3 или х=5. Все эти значения переменной – корни уравнения.

Ответ: 0; 2; 3; 5.

8. Решим уравнение $x^6+8x^3=0$

Решение:

Вынесем за скобки $x^3$ ,то есть разложим левую часть на множители.

$x^3(x^3+8)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^3=0 \\ x^3+8=0 \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0 \\ x=-2 \end{gathered}\right.$

Ответ: $\{-2;0\}$

Мы записали корни уравнения в виде множества из двух значений переменной, -2 и 0. Это одна из возможных форм записи ответа.
Метод разложения на множители часто применяется вместе с методом группировки.

Метод группировки слагаемых

9. Решите уравнение $x^{3}-3x^{2}-6x+8=0$

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

$x^{3}+2^{3}-3x^{2}-6x=0$

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: $a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )$ . Получим:

$\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right )-3x\left ( x+2 \right )=0$

$\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 -3x\right )=0$

$\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4\right )=0$ .

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

$\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4 \right )= 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x+2=0 \\ x^{2}-5x+4 = 0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$

Ответ: -2; 1; 4.

Здесь мы тоже использовали знак совокупности.

Запись $\left[ \begin{array}{ccc} x=-2 \\ x=4 \\ x=1 \\ \end{array} \right.$ читается как « $x=-2$ или $x=4$ или $x=1$ ».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

10. Решите уравнение $9x^3-9x^2-x+1=0.$

Решение:

Разложим левую часть уравнения множители методом группировки.

$9x^2(x-1)-(x-1)=0 \Leftrightarrow (x-1) \cdot (9x^2-1)=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x-1=0 \\ 9x^2-1=0 \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=1 \\ x=\pm \frac{1}{3} \end{gathered} \right.$

Ответ: $\pm\frac{1}{3}; 1$

11. Решите уравнение $x^{2}+2x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}=1$

Решение:

Сгруппируем слагаемые:

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\left (x+\frac{1}{x} \right )-1=0$

А если сделать замену $x+\frac{1}{x}=t$ ?

Тогда $t^{2}=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$ .

Получаем квадратное уравнение: $t^{2}-2+2t-1=0$ . Удачная замена!

$t^{2}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} t=-3 \\ t=1 \\ \end{array} \right.$

Если $x+\frac{1}{x}=1$ , то , нет решений.

Если $x+\frac{1}{x}=-3$ , то $x^{2}+3x+1=0$

$D=9-4=5$ , $x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$ .

Ответ: $\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$ .

Подбор целого корня и деление многочлена на многочлен уголком

Рассмотрим еще один метод решения уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней.

12. Решите уравнение $x^{3}-9x^{2}+26x-24=0$

Решение:

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при $x=2$ получаем верное равенство:

$2^{3}-9\cdot 2^{2}+26\cdot 2-24=0$

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

$x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot P\left ( x \right )$ , где $P\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$ .

Чтобы найти $P\left ( x \right )$ , поделим выражение $x^{3}-9x^{2}+26x-24$ на $x-2$ . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

$x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot \left ( x^{2}-7x+12 \right )\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x-2=0 \\ x^{2}-7x+12=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=2 \\ x=3 \\ x=4 \\ \end{array} \right.$

Ответ: 2; 3; 4.

13. Решите уравнение $x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+1=0$

Решение:

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, - 5, 4, - 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим, или возвратным.

Разделим обе его части на $x^{2}\neq 0$ . Мы можем это сделать, поскольку $x=0$ не является корнем нашего уравнения.

$x^{2}-5x+4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$

Теперь группируем слагаемые:

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-5\left (x-\frac{1}{x} \right )+4=0$

Сделаем замену $x-\frac{1}{x}=t$ .

Тогда $t^{2}=\left ( x-\frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$

Получили уравнение $t^{2}+2-5t+4=0$ . Легко!

$x-\frac{1}{x}=3\Rightarrow x^{2}-3x-1=0, \;D_{1}=9+4=13,\; x_{3,4}=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$

Ответ: $1\pm \sqrt{2}, \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$

14. Решите уравнение $x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$

Решение:

Разделив обе части уравнения на $x^2\neq 0$ , получим:

$x^2-5x+6-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0.$

Группируем слагаемые:

$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0.$

Сделаем замену $x+\frac{1}{x}=t$ , тогда $t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2 \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.$

Наше уравнение примет вид:

$(t^2-2)-5t+6=0 \Leftrightarrow t^2-5t+4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t=4 \\ t=1 \end{gathered} \right.$

Обратная замена:

$1)~ x+\frac{1}{x}=1 \Leftrightarrow x^2-x+1=0; D = 1-4=-3<0 \Rightarrow x \in \emptyset$

$2)~ x+\frac{1}{x}=4 \Leftrightarrow x^2-4x+1=0; D = 4-1=3; x_{1,2}=2\pm \sqrt{3}$

Ответ: $2\pm \sqrt{3}$

Однородные уравнения

В школьном курсе математики проходят однородные показательные и однородные тригонометрические уравнения. Однородные алгебраические уравнения решаются тем же методом: делением на старшую степень.

15. Решите уравнение

Решение:

$(x^2+2x)^2-(x^2+2x)(2x-1)-6(2x-1)^2=0$

Это однородное уравнение. Разделим каждое слагаемое на $(2x-1)^2$ при условии $(2x-1)^2 \neq0$ .

Получим: $\left(\frac{x^2+2x}{2x-1}\right)^2-\frac{x^2+2x}{2x-1}-6=0$

Выполним замену: $\frac{x^2+2x}{2x-1}=t.$

Получим уравнение:

$t^2-t-6=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t=3 \\ t=-2 \end{gathered} \right.$

Обратная замена приведет нас к совокупности квадратных уравнений:

$\left[ \begin{gathered} x^2-4x+3-0 \\ x^2+6x-2=0 \end{gathered} \right.$

Решим эти квадратные уравнения.

$1)~x^2+6x-2=0; x=-3\pm \sqrt{11}$

$2)~x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=3 \\ x=1 \end{gathered} \right.$

Мы сказали, что поделить обе части уравнения на $2x-1$ можно, только если $2x-1 \neq 0.$ Проверим, что будет, если $2x-1 = 0$ . Тогда $x=0,5$ . Такое значение переменной не является корнем уравнения.

Ответ: $\{-3\pm\sqrt{11};1;3 \}$

Рассмотрим еще одно однородное уравнение.

16. Решите уравнение

$3(x+8)^2-4(x+8)(x^2+2x+2)+(x^2+2x+2)^2=0.$

Решение:

$x=-8$ не является корнем уравнения, поэтому разделим уравнение на $(x+8)$ и получим

$\left(\frac{x^2+2x+2}{x+8}\right)^2-4\cdot\frac{x^2+2x+2}{x+8}+3=0.$

Замена $\frac{x^2+2x+2}{x+8}=t$ приводит к квадратному уравнению:

$t^2-4t+3=0.$ Его корни $t=3$ и $t=1.$

Обратная замена дает совокупность квадратных уравнений:

$2)~x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2-x-22=0 \\ x^2+x-6=0 \end{gathered} \right.$

Решив эти квадратные уравнения, получаем корни:

$x=\frac{1\pm \sqrt{89}}{2}; x=-3; x=2.$

Ответ: $\frac{1\pm \sqrt{89}}{2}; -3; 2.$

Покажем еще несколько методов решения алгебраических уравнений. Они встречаются также в задачах с параметрами.

Выделение полного квадрата

17. Решите уравнение $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=3$

Решение:

В правой части уравнения сумма двух квадратов. Добавим и вычтем удвоенное произведение двух выражений:

$x^2+2\cdot x\cdot\frac{x}{x+1}+\frac{x^2}{(x+1)^2}-2\cdot x\cdot\frac{x}{x+1}=3.$

Свернем полный квадрат по формуле сокращенного умножения.

$\left(x+\frac{x}{x+1}\right)^2-\frac{2x^2}{x+1}=3; ~\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2-\frac{2x^2}{x+1}=3$

Замена $\frac{x^2}{x+1}=t$ приведет уравнение к виду:

$t^2-2t-3=0; ~t=3$ или $t=-1.$

Обратная замена дает совокупность двух квадратных уравнений:

$\left[ \begin{gathered} x^2-3x-3=0 \\ x^2+x+1=0 \end{gathered} \right.$

Корни первого из этих уравнений:

$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$

Второе уравнение не имеет корней, его дискриминант отрицателен.

Ответ: $\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$

Метод оценки

18. Решим уравнение $(x-3)^6+2=4x-x^2-2.$

Решение:

Преобразуем правую часть уравнения:

$4x-x^2-x=-(x^2-4x+4)+2=-(x-2)^2+2.$

Уравнение примет вид:

$(x-3)^6+2=2-(x-2)^2;$

$(x-3)^6=-(x-2)^2.$ Оценим левую и правую части уравнения.

Так как $(x-3)^6 \geqslant 0, -(x-2)^2 \leqslant 0,$ то равенство выполняется, только если и левая, и правая его части равны нулю.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (x-3)^6=0 \\ -(x-2)^2=0 \end{cases}$ ; $\begin{cases} x=6 \\ x=2 \end{cases}$

Система решений не имеет.

Ответ: корней нет.

При решении мы пользовались следующей теоремой:
Теорема. Если в уравнении $f(x)=g(x)$ функция $y=f(x)$ ограничена сверху и $f(x)\leqslant m$ , а функция $y=g(x)$ ограничена снизу, причем $g(x)\geqslant m$ , то уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} f(x)=m \\ g(x)=m \end{cases}$

Если система решений не имеет, то у данного уравнения $f(x)=g(x)$ корней нет.

Читайте о том, как метод оценки применяется в задачах с параметрами.

Использование свойств функций

Еще один нетривиальный метод решения уравнений – подобрать корень и доказать, что других корней нет.

Здесь нам поможет следующая теорема:
Теорема. Если в уравнении $f(x)=g(x)$ функция $y=f(x)$ является монотонно возрастающей, а функция $y=g(x)$ монотонно убывающей или постоянной, то уравнение не может иметь более одного корня.

19. Решите уравнение $x^3+7x^5+2x=-10$

Решение:

Левая часть уравнения представляет собой функцию, монотонно возрастающую при любом значении переменной х, т.к. является суммой монотонно возрастающих функций, а правая часть постоянна. Поэтому, если уравнения имеет корень, то он единственный.

Подбором находим, что $x=-1$ т.к. $-1-7-2=-10$

Ответ: -1.

20. Решите уравнение $x^9+5x=6.$

Решение:

Функция $y=x^9+5x$ является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), а правая часть постоянна. Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что $x=1$ — корень, так как
$19+5\cdot 1=6.$
Других корней быть не может.
Ответ: 1.

Графический метод решения уравнений

Чтобы решить графически уравнение $f(x)=g(x)$ , строим в одной системе координат графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ и находим точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения графиков — это корни уравнения $f(x)=g(x)$ .

21. Решите графически уравнение $x^3-x-6=0.$