Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. Что же означает это слово — параметр?
Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».
Хорошо, параметр — это характеристика, свойство системы или процесса, которая может принимать различные числовые значения.
Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?
Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.
Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.
А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».
Скорость космического корабля — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.
1. Теперь пример из школьной математики.
Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где коэффициент \(a\) не равен нулю.
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
Дискриминант квадратного уравнения: \(D=b^2-4ac.\)
Если \(D>0\), квадратное уравнение имеет два корня: \(x_1=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.\)
Если \( D = 0\), квадратное уравнение имеет единственный корень \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}.\)
Если \(D<0\), квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Рассмотрим уравнение \(x^2 + 2x + c = 0\). Его дискриминант равен \( 4 - 4c.\)
Если \( 4 - 4c>0\), то есть \(c<1\), это квадратное уравнение имеет два корня.
Если \(4 - 4c = 0\) при \( c = 1\), уравнение имеет единственный корень.
Если \(4 - 4c<0\), то есть \(c> 1\), корней нет.
В нашем уравнении \(c\) — параметр, величина, которая может принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.
Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.
И еще две простые задачи с параметром.
2. Найдите значение параметра \(p\), при котором уравнение \(3x^2-2px-p+6=0\) имеет \(2\) различных корня.
Решение:
Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда \(D>0\).
Найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2px-p+6=0.\)
В нем \( a=3, \; b=-2p, \; c=6-p.\)
\(D=b^2-4ac={\left(-2p\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(6-p\right)=4p^2+12p-72. \)
Т. к. \(D>0\), получим:
\(4p^2+12p-72>0 \Leftrightarrow p^2+3p-18>0.\)
Вспомним, как решаются квадратные неравенства (вы проходили это в 9 классе).
Найдем корни квадратного уравнения \(p^2+3p-18=0\).
Это \(p=3\) и \( p=-6.\)
Разложим левую часть неравенства на множители:
\(p^2+3p-18=\left(p-3\right)\left(p+6\right). \)
Значит,
\(p^2+3p-18>0 \Leftrightarrow (p-3)(p+6)>0.\)
Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось \(p\) в точках \(p=-6\) и \(p=3.\)
Записываем ответ: \(p \in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(3;+\infty \right).\)
3. При каких значениях параметра \(k\) система уравнений \(\left\{\begin{matrix} kx+5y=3,\\2x+y=4 \hfill \end{matrix}\right.\) не имеет решений?
Решение:
Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив \(y\) через \(x\):
\(\left\{\begin{matrix} y=-\displaystyle\frac{k}{5}x+\displaystyle\frac{3}{5},\\ y=-2x+4. \end{matrix}\right.\)
Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом \(-\displaystyle \frac{k}{5}\).
Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом \(-2\).
Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны.
Это значит, что \(-\displaystyle\frac{k}{5}=-2\) и \(k = 10\).
Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую \(y = - 2x +\displaystyle \frac{3}{5}\), а второе — параллельную ей прямую \(y = - 2x + 4.\)
Ответ: 10
Читаем дальше:
