Slider

Графический метод решения задач с параметрами

Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.

Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.

Вот список тем, которые стоит повторить:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.

Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).

1. При каких значениях параметра a уравнение \frac{x^2+a^2-4a}{x-a}=0.  имеет ровно 2 различных решения?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Получим систему:

\left\{ \begin{array}{c}x^2+a^2-4a=0 \\x-a\ne 0 \end{array}\right.

В первом уравнении выделим полный квадрат:

x^2+a^2-4a+4=4

x^2+{(a}^{\ }-2)^2=4

Это уравнение окружности с центром в точке P (0; 2) и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.

Уравнение a= x задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.

Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.

Кроме того, точка не должна лежать на прямой a= x, которая пересекает окружность в точках A(0; 0) и B (2; 2). Координаты этих точек легко найти, подставим a= x в уравнение окружности.

Точка С также не подходит нам, поскольку при a = 4 мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.

Это значит, что a\in \left(0;2\right)\cup \left(2;4\right).

2. Найдите все значения a, при которых уравнение \sqrt{a-2x}=y-x+7 имеет единственное решение.

Уравнение равносильно системе:

\left\{ \begin{array}{c}a-2xy={\left(y-x+7\right)}^2 \\y-x+7\ge 0 \end{array}\right.

Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что y-x+7\ge 0 (смотри тему «Иррациональные уравнения»).

Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.

\left\{ \begin{array}{c}a-2xy=y^2+x^2+49+14y-14x-2xy \\y\ge x-7 \end{array}\right.

Приводим подобные слагаемые в уравнении.

\left\{ \begin{array}{c}a=y^2+x^2+49+14y-14x \\y\ge x-7 \end{array}\right.

Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:

\left\{ \begin{array}{c}a+49={x^2-14x+49+y}^2+14y+49 \\y\ge x-7 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{\left(x-7\right)}^2+{\left(y+7\right)}^2=a+49 \\y\ge x-7 \end{array}\right.

Решим систему графически:

Уравнение {\left(x-7\right)}^2+{\left(y+7\right)}^2=a+49 задает окружность с центром в точке P\ \left(7;\ -7\right), где радиус R=\sqrt{a+49}.

Неравенство y\ge x-7 задает полуплоскость, которая расположена выше прямой y=x-7, вместе с самой этой прямой.

Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением y=\ x-7.

Пусть С — точка касания.

На координатной плоскости отметим точкиA\left(0;-7\right) и B\left(7;0\right), в которых прямая y=\ x-7 пересекает оси Y и Х.

Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит PC=\frac{AB}{2} по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.

AB=\sqrt{{AP}^2+{BP}^2}

AB=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}. Тогда

\ PC=\frac{AB}{2}

\sqrt{a+49}=\frac{7\sqrt{2}}{2};

Решая это уравнение, получаем, что a=-24,5.

Ответ: a=-24,5.

3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

\left\{ \begin{array}{c}{(\left|x\right|-5)}^2+{(y-4)}^2=4 \\{(x-2)}^2+y^2=a^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}\right.

График уравнения{(x-5)}^2+{(y-4)}^2=4 - окружность \omega _1 с центром P\ (5;4) и радиусом равным 2.

График уравнения {(\left|x\right|-5)}^2+{(y-4)}^2=4 - две симметричные окружности \omega _1 и \omega _2 радиуса 2 c центрами в точках P\ (5;4) и Q(-5;4)

Второе уравнение при a \textgreater 0 задает окружность \omega с центром в точке M(2;0) и радиусом a.

Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.

Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность \omega , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности \omega _2 или только правой \omega _1 .

Если a - радиус окружности \omega , то это значит, что a=MA (только правая) или a=MB (только левая).

Пусть А - точка касания окружности \omega и окружности \omega _1;

Для точки А:

MA + AP = MP, MP = 5 (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4), MA=\ a=MP-AP=\ 5-2=3.

В — точка касания окружности \omega и окружности \omega _2;

Для точки В:

MB=MQ+QB; длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; MQ = \sqrt{65}. Тогда для точки В получим: a=MB=\sqrt{65}+2.\

Есть еще точки С и D, в которых окружность \omega касается окружности \omega _1 или окружности \omega _2 соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:

MC=MA+AC=\ 3+4= 7, но \ 7 \textless \sqrt{65}+2 и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность \omega _2 и система будет иметь не одно, а три решения.

Аналогично, для точки D:

MD=MQ-QD=\sqrt{65}-2\ \textgreater 3, и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность \omega _1 и система будет иметь три решения.

Ответ: a=3 или a=\sqrt{65}+2.

4. При каких значениях a система уравнений \left\{ \begin{array}{c}4\left|y-3\right|=12-3\left|x\right| \\y^2-a^2=3\left(2y-3\right)-x^2 \end{array}\right.\ имеет 4 решения?

Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)

И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!

\left\{ \begin{array}{c}3\left|x\right|+4\left|y-3\right|=12 \\x^2+y^2-6y+9=a^2 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}3\left|x\right|+4\left|y-3\right|=12 \\x^2+{\left(y-3\right)}^2=a^2 \end{array}\right.

Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.

Сделаем замену y-3=t. Система примет вид:

\left\{ \begin{array}{c}3\left|x\right|+4\left|t\right|=12 \\x^2+t^2=a^2 \end{array}\right.

Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах (x; t).

Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами (0; 3); (0; -3); (4; 0) и (-4; 0).

Графиком второго уравнения является окружность с радиусом R=\left|a\right| и центром в начале координат.

Когда же система имеет ровно 4 решения?

1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.

Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит, 

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то

 При этом h=2R. Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда R=\frac{12}{5} = \left|a\right|.

Мы получили ответ:

a=\pm \frac{12}{5}

2)  Есть второй случай, и мы его найдем.

Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав R \textless \frac{12}{5}, окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.

Пусть радиус окружности больше, чем \frac{12}{5}, но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.

Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.

А что, если 3 \textless R \textless 4? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!

Значит, 3 \textless \left|a\right| \textless 4. Объединим случаи и запишем ответ:

Ответ: \left[ \begin{array}{c}\left|a\right|=\frac{12}{5} \\3 \textless \left|a\right| \textless 4 \end{array}\right.

Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.

 

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных