previous arrow
next arrow
Slider

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2020 года это №18. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где коэффициент а не равен нулю.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: D=b^2-4ac.

Если , квадратное уравнение имеет два корня: x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} и x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.

Если D = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень {\mathbf x}{\mathbf =-}\frac{{\mathbf b}}{{\mathbf 2}{\mathbf a}}.

Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение x^2 + 2x + c = 0. Его дискриминант равен 4 - 4c. Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

Если 4 - 4c = 0 при c = 1, уравнение имеет единственный корень.

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение 3x^2-2px-p+6=0 имеет 2 различных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

Найдем дискриминант уравнения 3x^2-2px-p+6=0.

В нем a=3, \, b=-2p, \, c=6-p.

D=b^2-4ac={\left(-2p\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(6-p\right)=4p^2+12p-72.

Т.к. , получим:

4p^2+12p-72 \, \textgreater\, 0 \Leftrightarrow p^2+3p-18 \, \textgreater\, 0.

Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

Найдем корни квадратного уравнения p^2+3p-18=0. Это p=3 и p=-6.

Разложим левую часть неравенства на множители:

p^2+3p-18=\left(p-3\right)\left(p+6\right).

Значит,

p^2+3p-18 \, \textgreater \,0 \Leftrightarrow (p-3)(p+6)\, \textgreater \, 0

Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках p=-6 и p=3.

Записываем ответ: p \in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(3;+\infty \right)

3. При каких значениях параметра k система уравнений \left\{\begin{matrix} kx+5y=3\\2x+y=4 \hfill \end{matrix}\right. не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

\left\{\begin{matrix} y=-\frac{k}{5}x+\frac{3}{5}\\ y=-2x+4 \end{matrix}\right.

Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом -\frac{k}{5}. Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что -\frac{k}{5}=-2 и k = 10.

Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую y = - 2x +\frac{3}{5}, а второе — параллельную ей прямую y = - 2x + 4.

Ответ: 10

Читаем дальше:

Графический метод решения задач с параметрами.