Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников.

1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.
   
   Для перевода смешанного числа в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. Разряды дробной части нумеруются слева направо от \(-1\) в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов.

   Пример 1.
   Переведите число \(105,4\) из восьмеричной системы в десятичную.

   Решение:
   Пронумеруем целые разряды числа справа налево от \(0\), дробные – слева направо от \(-1\):

   \({\bf 2}\)	\({\bf 1}\)	\({\bf 0}\)	–\({\bf 1}\)
   \(1\)	\(0\)	\(5,\)	\(4_8\)

   Посчитаем сумму произведений цифр числа на \(8\) (основание системы) в степени разряда числа:

   \(4 \cdot 8^{-1} + 5 \cdot 8^0 + 0 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^2=0,5 + 5 + 0 + 16=21,5_{10}.\)

   Ответ: \(21,5_{10}.\)

2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую.
   
   Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной \(0\) или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.

   Пример 2.
   Переведите десятичное число \(0,816\) в двоичную систему с точностью до сотых.

   Решение:
   Умножаем дробь \(0,816\), а затем дробную часть произведения \((0,632)\) на \(2\) и выписываем целые части, начиная с первой:
   

   \(0,816_{10} = 0,11_2.\)

   Ответ: \(0,11_2.\)

   Пример 3.
   Переведите десятичное число \(0,8125\) в восьмеричную систему.

   Решение:
   Умножаем дробь \(0,8125\), а затем дробную часть произведения \((0,5)\) на \(8\) и выписываем целые части, начиная с первой:

   

   \(0,8125_{10} = 0,64_8.\)

   Ответ: \(0,648.\)

3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую
   
   Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.

   Пример 4.
   Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа \(14,125\)?

   Решение:
   Переведем целую часть числа в двоичную систему:

   

   Переведем дробную часть числа в двоичную систему:

   

   Соединим целую и дробную части:

   \(14,125_{10} = 1110,001_2.\)
   Количество единиц равно \(4\).
   Ответ: \(4.\)