previous arrow
next arrow
Slider

Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС

Пусть М, К, Р – точки касания вписанной окружности со сторонами АС, ВС и АВ соответственно.
Периметр треугольника АВС равен
АВ + ВС + АС = АМ + АР + СМ + СК + ВК + ВР = 2 ( АМ + СК + ВК),
так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Но это значит, что периметр треугольника АВС равен 2 (АМ + ВС).
Отсюда АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС.

Задача ЕГЭ на тему «Описанный треугольник»

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 8, 12, 18. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ: 38.

Периметр треугольника ABC равен AD + DE + EF + FC + CH + HK + KL + LB + BN + NO + OP + PA.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
DE = DR, EF = FG, HK = HG, KL = LM…
Мы получили, что периметр треугольника ABC равен сумме периметров отсеченных от окружности треугольников, то есть 8+12+18=38 .