previous arrow
next arrow
Slider

Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС

Пусть Р – точка касания окружности со стороной ВС треугольника АВС, M и N – точки касания с продолжениями сторон АВ и АС.

Докажем, что AN=\frac{1}{2}P_{ABC}..

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

Значит, AN=AМ;

AN=AC+CN=AC+CР;

AМ=AB+BМ=AB+BР;
АN = АМ,

2AN=AC+AB+CР+BР =AC+AB+BC;

AN=\frac{1}{2}P_{ABC}..

Задача ЕГЭ №16, Профильный уровень

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АВС, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Пусть L, K, M, N, P, Q – точки касания

а) Докажем, что AN=\frac{1}{2}P_{ABC}.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

Значит, AN=AP;

AN=AC+CN=AC+CQ;

AP=AB+BP=AB+BQ;

2AN=AC+AB+CQ+BQ =AC+AB+BC;

AN=\frac{1}{2}P_{ABC}.

б) Найдем S_{\triangle ABC}, если, r

O_1 M=4,R=O_2 N=8.

Поскольку CMO_1K и CNO_2Q – квадраты, МС=4, QC=8,

C\in O_1O_2, \, O_1C=4\sqrt{2}, \, O_2C=8\sqrt{2}.

Рассмотрим трапецию O_1O_2PL.

{{\rm O}}_{{\rm 1}}{\rm L}{\rm =4,\ }{{\rm \ O}}_{{\rm 2}}{\rm P}{\rm =8,\ \ \ }{\rm O}{{\rm O}}_{{\rm 1}}{\rm =4}\sqrt{{\rm 2}}{\rm +8}\sqrt{{\rm 2}}{\rm =12}\sqrt{{\rm 2}}.

Точка С делит сторону O_1O_2 в отношении O_1 C: O_2 C=1:2 Тогда CF=\frac{4}{3}.

Проведем СН, причем СН – высота треугольника АВС.

CH=CF+FN=\frac{4}{3}+4=\frac{16}{3}.

Из пункта (а):

\left\{\begin{matrix} AN=AC+8=\frac{1}{2}P_{ABC} \, \left ( 1 \right )\\ BK=BC+4=\frac{1}{2}P_{ABC}\, \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.

Отсюда ВС=АС+4,

AC+8=\frac{1}{2}\left ( AB+AC+BC \right ),

AC+8=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}\cdot 4

\frac{1}{2}AB=6;\, AB=12;

S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot CH=\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{3}\cdot 12=32