previous arrow
next arrow
Slider

Иррациональные неравенства

Так называются неравенства, содержащие знак корня.

В решении иррациональных неравенств главное – логика и внимательность.

И конечно, надо повторить следующие темы:

1) Арифметический квадратный корень.

2) Решение неравенств. Основные ошибки и полезные лайфхаки.

Напоминаем, что решение лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов.

1.Решите неравенство 

Правая часть неравенства неотрицательна:
\sqrt{3x+10}\geqslant 0 (по определению корня квадратного).

Поскольку  левая часть положительна: 

Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Неравенство равносильно системе:

Ответ: (5;+∞)

2.Решите неравенство \sqrt{4x-8}\geq x-5.

Как вы думаете – это неравенство такое же, как предыдущее, или отличается от него? Ведь здесь правая часть может быть и положительной, и отрицательной, и равной нулю. И надо рассмотреть все эти случаи.

1) Пусть правая часть неравенства неотрицательна. И левая тоже неотрицательна (по определению арифметического квадратного корня). И подкоренное выражение неотрицательно. Значит, при x-5\geq 0 обе части неравенства можно возвести в квадрат.

Получим:

\left\{\begin{matrix}x-5\geq 0\\4x-8\geq 0\\4x-8\geq \left ( x-5 \right )^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!x\geq 5\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!x\geq 2\\x^{2}-14x+33\leq 0\end{matrix}\right.

Разложим выражение x^{2}-14x+33 на множители. Корни уравнения x^{2}-14x+33=0 – это x=3 и x=11.

Получаем систему:

\left\{\begin{matrix}x\geq 5\\x\geq 2\\\left ( x-3 \right )\left ( x-11 \right )\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 5\leq x\leq 11

2) Пусть теперь правая часть неравенства отрицательна. Если  то неравенство выполняется. В самом деле, \sqrt{a}\geq 0 по определению. Значит, \sqrt{4x-8}\geq 0

Нам нужно только, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно: 4x-8\geq 0.

Получим:

Объединим полученные интервалы и запишем ответ.

Ответ: \left [ 2;11 \right ].

3.Решите неравенство 

Ответ: x \in [1;2)

4.Решите неравенство 

Ответ:  

5.Решите неравенство \frac{1}{8x^{2}+6x}\geq \frac{1}{\sqrt{8x^{2}+6x+1}-1}

Сделаем замену \sqrt{8x^{2}+6x+1}=t, \;t\geq 0, тогда 8x^{2}+6x=t^{2}-1

\left\{\begin{matrix}\frac{1}{t^{2}-1}\geq \frac{1}{t-1}\\t\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{1}{\left ( t-1 \right )\left ( t+1 \right )}-\frac{1}{t-1}\geq 0\\t\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1-t-1}{\left ( t-1 \right )\left ( t+1 \right )}\geq 0\\t\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow

8x^{2}+6x+1=0

D=36-32=4

x_{1}=\frac{-6+2}{16}=-\frac{1}{4}

x_{2}=\frac{-6-2}{16}=-\frac{1}{2}

Ответ: x \in \left ( -\frac{3}{4};\;-\frac{1}{2} \right )\cup \left ( -\frac{1}{4} ;\;0\right )

6. Решите неравенство

\left ( \frac{1}{x^{2}-7x+12} +\frac{x-4}{3-x}\right )\sqrt{6x-x^{2}}\leq 0

\left ( \frac{1}{x^{2}-7x+12} +\frac{x-4}{3-x}\right )\sqrt{6x-x^{2}}\leq 0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}-7x+12\neq 0\\x\neq 3\\6x-x^{2}\geq 0\\\left[\begin{array}{ccc}6x-x^{2}=0 \\\frac{1}{x^{2}-7x+12}+\frac{x-4}{3-x} \leq 0 \\\end{array}\right.\end{matrix}\right.
\left\{\begin{matrix}x\neq 4\\x\neq 3\\6x-x^{2}\geq 0\\\left[\begin{array}{ccc}x=0 \\x=6\\\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x-4 \right )}-\frac{x-4}{x-3} \leq 0 \\\end{array}\right.\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}x\neq 4\\x\neq 3\\x\left ( x-6 \right )\leq 0\\\left[\begin{array}{ccc}x=0 \\x=6\\\frac{1-\left ( x-4 \right )^{2}}{\left ( x-3 \right )\left ( x-4 \right )} \leq 0\\\end{array}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x\neq 4\\x\neq 3\\x\left ( x-6 \right )\leq 0\\\left[\begin{array}{ccc}x=0 \\x=6\\\frac{\left ( 1-x+4 \right )\left ( 1+x-4 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x-4 \right )} \leq 0\\\end{array}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x\neq 4\\x\neq 3\\x\left ( x-6 \right )\leq 0\\\left[\begin{array}{ccc}x=0 \\x=6\\\frac{\left ( x-3 \right )\left ( x-5 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x-4 \right )} \geq 0\\\end{array}\right.\end{matrix}\right.

Ответ: x \in [0;3)\cup (3;4)\cup [5;6]