Вспомним, как выглядит квадратное уравнение.
Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\) не равно нулю.
Например: \(3x^2+4x-8=0\). Здесь \(a=3\), \(\; b=4\), \(\; c=-8.\)
Числа \(a\) и \(b\) называют коэффициентами квадратного уравнения, число \(c\) - свободным членом.
Чтобы решить квадратное уравнение, мы вычисляем выражение, которое называется дискриминант и обозначается \(D\).
Дискриминант находим по формуле:
\(D=b^2-4ac.\)
Если \(D>0\), то квадратное уравнение имеет два различных корня.
Они вычисляются по формуле \(x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\)
Если \(D=0\), уравнение имеет один корень, который вычисляем так: \(x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b}{2a}.\)
Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
Пример 1.
Решим уравнение: \(x^2+5x-14=0.\)
Решение:
\(a=1; \; b=5; \; c=-14.\)
\(D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81.\)
\(D>0;\)
\(x_1=\displaystyle \frac{-5-\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{-5-9}{2}=-7;\)
\(x_2=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{-5+9}{2}=2.\)
Ответ: \(-7\) и \(2.\)
Пример 2.
Решим уравнение: \(7x^2-6x+3=0.\)
Решение:
\(a=7; \;\) \(b=-6; \; \) \(c=3.\)
\(D=(-6)^2-4\cdot 7\cdot 3=36-84=-48<0\), уравнение не имеет корней.
Если один из коэффициентов квадратного уравнения, \(b\) или \(c\), равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Если \(a=0\), то уравнение не квадратное, а линейное.
Если \(b=0\), то уравнение принимает вид \(ax^2+c=0\) и решается так:
\(ax^2=-c;\)
\(x^2=-\displaystyle\frac{c}{a}.\)
Если \(-\displaystyle\frac{c}{a}>0,\) то \(x_{1,2}=\pm \sqrt{-\displaystyle\frac{c}{a}}.\)
Если \( -\displaystyle\frac{c}{a}<0,\) то решений нет.
Пример 3.
\( \displaystyle\frac{25}{49} x^2-1=0.\)
Решение:
\( \displaystyle\frac{25}{49} x^2=1;\)
\( x^2=1:\displaystyle\frac{25}{49};\)
\( x^2=\displaystyle\frac{49}{25}.\)
\( x_{1,2}=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{49}{25}};\)
\( x_{1,2}=\pm \displaystyle\frac{7}{5}.\)
Ответ: \( \displaystyle-\frac{7}{5}\) и \( \displaystyle\frac{7}{5}.\)
Пример 4.
\(9x^2+1=0.\)
Решение:
\(9x^2=-1;\)
\(x^2=-\displaystyle\frac{1}{9},\)
т. к. \(-\displaystyle\frac{1}{9}<0\), то решений нет.
2) Если \(c=0\), то уравнение принимает вид \(ax^2+bx=0\). Здесь два слагаемых, оба они содержат множитель \(x\), и его можно вынести за скобки:
\(x(ax+b)=0.\)
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\(x=0\) или \(ax+b=0\). Корни уравнения:
\(x=0\) или \(x=-\displaystyle\frac{b}{a}.\)
Ответ: \( 0\) и \(-\displaystyle\frac{b}{a}.\)
Пример 5.
\(-x^2-5x=0.\)
Решение:
\(-x(x+5)=0;\)
\(-x=0\) или \(x=-5.\)
Ответ: \( 0\) и \( -5.\)
Пример 6.
\(2x^2+6x=0.\)
Решение:
Разделим обе части уравнения на \(2\). Уравнение станет проще.
\(x(x+3)=0;\)
\(x=0\) или \(x=-3.\)
Ответ: \(0\) и \(-3.\)
Теорема Виета: Если \(x_1\) и \(x_2\) корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\), то \(x_1+x_2=-\displaystyle\frac{b}{a}, \; \) \(x_1 x_2=\displaystyle\frac{c}{a}.\)
Удобнее всего применять теорему Виета, если квадратное уравнения является приведенным, то есть когда \(a=1\).
Сумма корней \(x^2+bx+c=0\) равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Найти их можно простым подбором.
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-b, \\ x_1\cdot x_2=c\end{matrix}\right. \; \) при \(a=1\).
Пример 7.
\(x^2-7x+12=0.\)
Решение:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=7, \\ x_1\cdot x_2=12.\end{matrix}\right.\)
\(x_1=3; \; x_2=4.\)
Проверим: \(3+4=7\) и \(3\cdot 4=12.\)
Ответ: \(3\) и \(4.\)
Пример 8.
\( 2x^2-6x+4=0.\)
Решение:
Поделим обе части уравнения на \(2\), чтобы получилось приведенное квадратное уравнение.
\(x^2-3x+2=0.\)
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=3, \\ x_1\cdot x_2=2.\end{matrix}\right.\)
\(x_1=2; \; x_2=1.\)
Действительно, \(2+1=3\) и \(2\cdot 1=2.\)
Ответ: \(2\) и \(1.\)
Рассмотрим уравнения, которые сводятся к квадратным.
Пример 9.
Решим уравнение: \(\displaystyle \frac{x^2-6}{x-3}=\frac{x}{x-3}.\)
Решение:
В этом уравнении переменная \(x\) находится в знаменателе, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю (на ноль делить нельзя). Значит, для переменной \(x\) появляется условие:
\(x-3\neq0.\)
Это условие называется областью допустимых значений уравнения, сокращенно ОДЗ.
Область допустимых значений уравнения - это множество тех значений переменной, при которых уравнение имеет смысл.
Очевидно, что если какое-либо значение х не входит в ОДЗ, то оно никак не может быть корнем уравнения.
Мы получаем:
\(x\neq3.\)
Теперь решим само уравнение.
Дроби равны, их знаменатели равны, значит, равны и числители:
v\(x^2-6=x;\)
\(x^2-x-6=0.\)
Это полное квадратное уравнение. Можно решить его с помощью дискриминанта или воспользоваться теоремой Виета:
\(\left\{\begin{matrix} x_1\cdot x_2=-6, \\ x_1+x_2=1.\end{matrix}\right.\)
\(x_1=3; \; x_2=-2.\)
Действительно, \(-2\cdot 3=-6\) и \(3+(-2)=-1.\)
Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений уравнения.
Видим, что \(x=3\notin \) ОДЗ, а значит, не является корнем уравнения.
Ответ: \(-2.\)
Пример 10.
\(\displaystyle \frac{x-4}{x}=\frac{2x+10}{x+4}.\)
Решение:
Такое уравнение называют дробно-рациональным. Оно выглядит как пропорция.
Знаменатели дробей не должны быть равны нулю. Поэтому область допустимых значений (ОДЗ) уравнения – это система условий:
\(\left\{\begin{matrix} x\neq 0, \\ x+4\neq 0;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 0, \\ x\neq -4.\end{matrix}\right. \)
Решим уравнение, применив основное свойство пропорции:
\((x-4)\cdot (x+4)=x\cdot(2x+10).\)
В левой части формула сокращенного умножения.
\( x^2-16=2x^2+10x;\)
\( x^2-2x^2-10x-16=0;\)
\( -x^2-10x-16=0.\)
Умножим обе части уравнения на \((-1)\), чтобы получить приведенное квадратное уравнение.
\( x^2+10x+16=0.\)
По теореме Виета:
\(\left\{\begin{matrix} x_1\cdot x_2=16, \\ x_1+x_2=-10.\end{matrix}\right.\)
\( x_1=-2;\) \( x_2=-8.\)
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: \(-2\) и \(-8.\)
Еще несколько квадратных уравнений из заданий ОГЭ и ЕГЭ:
Задача 1. \(3x^{2}-4x-9=0.\)
Решение:
В этом уравнении \(a=3, \; b=-4, \; c=-9\).
Дискриминант уравнения равен \(\left ( -4 \right )^{2}-4\cdot 3\cdot \left ( -9 \right )=16+108> 0\). Уравнение имеет два корня.
Задача 2. \(x^{2}+4x+4=0.\)
Решение:
В этом уравнении \(a=1, \; b=4, \; c=4\).
Дискриминант уравнения равен \(4^{2}-4\cdot 1\cdot 4=0\). Уравнение имеет единственный корень.
Заметим, что в левой части уравнения \(x^{2}+4x+4=0\) находится выражение, которое называют полным квадратом.
В самом деле, \(x^{2}+4x+4=\left ( x+2 \right )^{2}\). Мы применили формулу сокращенного умножения.
Уравнение \(\left ( x+2 \right )^{2}=0\) имеет единственный корень \(x=-2\).
Задача 3. \(3x^{2}-4x+9=0.\)
Решение:
В этом уравнении \(a=3, \; b=-4, \; c=9\).
Дискриминант уравнения равен \(\left ( -4 \right )^{2}-4\cdot 3\cdot 9=16-108< 0\). Корней нет.
Задача 4. Решим уравнение: \(2x^{2}-3x-20=0.\)
Решение:
Дискриминант уравнения равен \(\left ( -3 \right )^{2}-4\cdot 2\cdot \left ( -20 \right )=9+160=169> 0\).
Уравнение имеет два корня.
Корни уравнения:
\(\displaystyle x_{1}=\displaystyle \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+13}{4}=4;\)
\(\displaystyle x_{2}=\displaystyle \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-13}{4}=-2,5.\)
Задача 5. Решим уравнение: \(-2x^{2}+5x-2=0.\)
Решение:
\(D=5^{2}-4\cdot (-2)\cdot (-2)=25-16=9>0.\)
Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два корня:
\(\displaystyle x_{1}=\frac{-5+\sqrt{9}}{2\cdot (-2)}=\frac{-5+3}{-4}=\frac{-2}{-4}=-\frac{1}{2};\)
\(\displaystyle x_{2}=\frac{-5-\sqrt{9}}{2\cdot (-2)}=\frac{-5-3}{-4}=\frac{-8}{-4}=-2.\)
Рассмотрим другой пример.
Задача 6. \(x^{2}-x-3=0.\)
Решение:
\(D=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)=1+12=13> 0.\)
Дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле корней квадратного уравнения:
\(\displaystyle x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2};\)
\(\displaystyle x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}.\)
Что делать в том случае, если корень из дискриминанта не является целым числом? Тогда корни квадратного уравнения будут записаны выражением, в котором содержится квадратный корень. Такие выражения называются иррациональными.
Задача 7. \(10x+1+25x^{2}=0.\)
Решение:
Обратите внимание, что слагаемые в правой части записаны не в том порядке, в котором они указаны в общем виде квадратного уравнения.
Поэтому, прежде чем начать решать, перепишем уравнение в следующем виде: \(25x^{2}+10x+1=0.\)
Найдем дискриминант: \(10^{2}-4\cdot 25\cdot 1=100-100=0.\) Уравнение имеет один корень:
\(\displaystyle \frac{-10}{2\cdot 25}=\frac{-10}{50}=-\frac{1}{5}.\)
Задача 8. \(7x^{2}-2x+1=0.\)
Решение:
Найдем дискриминант \((-2)^{2}-4\cdot 7\cdot 1=4-28=-24.\)
Дискриминант отрицательный, поэтому квадратное уравнение не имеет корней.
Так и запишем в ответе: корней нет.
Задача 9. \(2x^{2}=0.\)
Решение:
В этом уравнении \(b=0\) и \(c=0\). Очевидно, \(x=0\) – единственный корень уравнения.
Задача 10. \(x^{2}-4=0\).
Решение:
Здесь \(b=0\), а другие коэффициенты нулю не равны.
Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:
\(\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )=0.\)
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Значит, \(x=2\) или \(x=-2.\)
Вот похожее уравнение: \(x^{2}-5=0\).
Поскольку \(5=\left ( \sqrt{5} \right )^{2}\), уравнение можно записать в виде:
\(\left ( x-\sqrt{5} \right )\left ( x+\sqrt{5} \right )=0.\)
Отсюда \(x=\sqrt{5}\) или \(x=-\sqrt{5}\).
Пусть теперь \(b\) не равно нулю и \(c=0\).
Задача 11. \(3x^{2}+5x=0\).
Решение:
Левую часть уравнения можно разложить на множители, вынеся \(x\) за скобки. Получим:
\(x\left ( 3x+5 \right )=0\).
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Значит, \(x=0\) или \(\displaystyle x=-\frac{5}{3}\).
Задача 12. Решим уравнение: \(x^{2}+4x=0\).
Решение:
Разложить по формуле разности квадрата не получится, тогда попробуем перенести слагаемое 4 в правую часть уравнения.
\(x^{2}=-4\).
Мы знаем, что нет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным числом. Значит, уравнение не имеет действительных корней.
Напомним, что решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Задача 13. \(17x^{2}+34x-51=0\).
Решение:
Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты \(a, \; b\) и \(c \) делятся на \(17\).
Поделив обе части уравнения на \(17\), получим:
\(x^{2}+2x-3=0\).
Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: \(x_{1}=1\). А второй корень \(x_{2}=-3\) легко находится по теореме Виета.
Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
\(0,01x^{2}+0,05x-0,06=0\).
Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на \(100\)! Получим:
\(x^{2}+5x-6=0\).
Корни этого уравнения равны \(1\) и \(-6\).
Задача 14. Решим уравнение: \(\displaystyle \frac{x_{2}}{2}+6x+5,5=0.\)
Решение:
Умножим обе части уравнения на \(2\). Получим:
\(x^{2}+12x+11=0\).
Теперь решение этого квадратного уравнения можно осуществить с помощью любого уже известного нам способа. Корни этого уравнения \(-11\) и \(-1\).
Смотри также: Квадратичная функция
