previous arrow
next arrow
Slider

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида ax^{2}+bx+c=0, где a\neq 0.

Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: D=b^{2}-4ac.

Если D > 0, квадратное уравнение имеет два корня: x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} и x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.

Если D = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень x=-\frac{b}{2a}.

Если D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

1) 3x^{2}-4x-9=0

В этом уравнении a=3, b=-4, c=-9.

Дискриминант уравнения равен \left ( -4 \right )^{2}-4\cdot 3\cdot \left ( -9 \right )=16+108 > 0. Уравнение имеет два корня.

2) x^{2}+4x+4=0

В этом уравнении a=1,\; b=4,\;c=4.

Дискриминант уравнения равен 4^{2}-4\cdot 1\cdot 4=0. Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения x^{2}+4x+4=0 находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, x^{2}+4x+4=\left ( x+2 \right )^{2}. Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение \left ( x+2 \right )^{2}=0 имеет единственный корень x=-2.

3) 3x^{2}-4x+9=0.

В этом уравнении a=3,\;b=-4,\;c=9.

Дискриминант уравнения равен \left ( -4 \right )^{2}-4\cdot 3\cdot 9=16-108 < 0. Корней нет.

4) Решим уравнение 2x^{2}-3x-20=0.

Дискриминант уравнения равен \left ( -3 \right )^{2}-4\cdot 2\cdot \left ( -20 \right )=9+160=169 > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения

x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+13}{4}=4

x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-13}{4}=-2,5

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если x_{1} и x_{2} – корни уравнения ax^{2}+bx+c=0, то x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}, x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}.

Например, в нашем уравнении 2x^{2}-3x-20=0 сумма корней равна 4-2,5=1,5=-\frac{-3}{2}, а произведение корней равно 4\cdot \left ( -2,5 \right )=-10=\frac{-20}{2} .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение 2x^{2}=0.

В этом уравнении b=0 и c=0. Очевидно, x=0 – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение x^{2}-4=0. Здесь b=0, а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )=0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, x=2  или x=-2.

3) Вот похожее уравнение:
x^{2}-5=0.

Поскольку 5=\left ( \sqrt{5} \right )^{2}, уравнение можно записать в виде:

\left ( x-\sqrt{5} \right )\left ( x+\sqrt{5} \right )=0

Отсюда x=\sqrt{5} или
x=-\sqrt{5}.

4) Пусть теперь b не равно нулю и c=0.

Рассмотрим уравнение
3x^{2}+5x=0.

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся x за скобки. Получим:

x\left ( 3x+5 \right )=0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, x=0 или x=-\frac{5}{3} .

Разложение квадратного трехчлена на множители

ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right ).

Здесь x_{1} и x_{2}– корни квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
2x^{2}-3x-20=0.

Его корни
x_{1}=4,
x_{2}=-2,5.

2x^{2}-3x-20=2\left ( x-4 \right )\left ( x+2,5 \right ).

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
-15x^{2}+11x-2=0.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
15x^{2}-11x+2=0.

Дискриминант этого уравнения равен
11^{2}-4\cdot 15\cdot 2=121-120=1.

Корни уравнения x_{1}=\frac{1}{3},\;x_{2}=0,4.

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
17x^{2}+34x-51=0.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты a,b и c делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

x^{2}+2x-3=0.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: x_{1}=1. А второй корень x_{2}=-3 легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
0,01x^{2}+0,05x-0,06=0.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

x^{2}+5x-6=0.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

 

Смотри также: Квадратичная функция