previous arrow
next arrow
Slider

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида ax^{2}+bx+c=0, где a\neq 0.

Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: D=b^{2}-4ac.

Если D > 0, квадратное уравнение имеет два корня: \displaystyle x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} и x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.

Если D = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень \displaystyle x=-\frac{b}{2a}.

Если D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Чтобы решать квадратные уравнения, надо уметь:

  1. Правильно определять коэффициенты квадратного уравнения.
  2. Находить дискриминант и определять количество корней.
  3. Находить корни уравнения по формуле.

Определим коэффициенты в следующих квадратных уравнениях.

1) 3x^{2}-5x+1=0.

Коэффициентом является числа:  a=3, b=-5, c=1.

2) x^{2}-x-\sqrt{3}=0.

В этом уравнении коэффициенты – это числа: a=1, b=-1, c=-\sqrt{3}.

Обратите внимание на слагаемые ax^{2} и bx: x - это не коэффициент, а переменная.

3) \displaystyle \frac{2x^{2}}{3}+\frac{x}{2}-0,1=0.

А в этом уравнееии нужно быть внимательными, потому что коэффициенты - дробные числа: \displaystyle a=\frac{2}{3}, b={1}{2}, c=0,1.

Квадратные уравнения вида x^{2}+bx+c=0, в которых коэффициент a=1, называются приведенными.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

Задача 1. 3x^{2}-4x-9=0.

Решение:

В этом уравнении a=3, b=-4, c=-9.

Дискриминант уравнения равен \left ( -4 \right )^{2}-4\cdot 3\cdot \left ( -9 \right )=16+108 > 0. Уравнение имеет два корня.

Задача 2. x^{2}+4x+4=0.

Решение:

В этом уравнении a=1,\; b=4,\;c=4.

Дискриминант уравнения равен 4^{2}-4\cdot 1\cdot 4=0. Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения x^{2}+4x+4=0 находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, x^{2}+4x+4=\left ( x+2 \right )^{2}. Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение \left ( x+2 \right )^{2}=0 имеет единственный корень x=-2.

Задача 3. 3x^{2}-4x+9=0.

Решение:

В этом уравнении a=3,\;b=-4,\;c=9.

Дискриминант уравнения равен \left ( -4 \right )^{2}-4\cdot 3\cdot 9=16-108 < 0. Корней нет.

Задача 4. Решим уравнение: 2x^{2}-3x-20=0.

Решение:

Дискриминант уравнения равен \left ( -3 \right )^{2}-4\cdot 2\cdot \left ( -20 \right )=9+160=169 > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения:

\displaystyle x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+13}{4}=4;

\displaystyle x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-13}{4}=-2,5.

Задача 5. Решим уравнение: -2x^{2}+5x-2=0.

Решение:

D=5^{2}-4\cdot (-2)\cdot (-2)=25-16=9\textless 0.

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два корня:

\displaystyle x_{1}=\frac{-5+\sqrt{9}}{2\cdot (-2)}=\frac{-5+3}{-4}=\frac{-2}{-4}=-\frac{1}{2};

\displaystyle x_{2}=\frac{-5-\sqrt{9}}{2\cdot (-2)}=\frac{-5-3}{-4}=\frac{-8}{-4}=-2.

Рассмотрим другой пример.

Задача 6. x^{2}-x-3=0.

D=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)=1+12=13\textless 0.

Дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле корней квадратного уравнения:

\displaystyle x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2};

\displaystyle x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}.

Что делать в том случае, если корень из дискриминанта не является целым числом? Тогда корни квадратного уравнения будут записаны выражением, в котором содержится квадратный корень. Такие выражения называются иррациональными.

Задача 7. Решим уравнение: 10x+1+25x^{2}=0.

Решение:

Обратите внимание, что слагаемые в правой части записаны не в том порядке, в котором они указаны в общем виде квадратного уравнения. Поэтому, прежде чем начать решать, перепишем уравнение в следующем виде: 25x^{2}+10x+1=0.

Найдем дискриминант: 10^{2}-4\cdot 25\cdot 1=100-100=0. Уравнение имеет один корень:

\displaystyle \frac{-10}{2\cdot 25}=\frac{-10}{50}=-\frac{1}{5}.

Задача 8. И еще одно уравнение:  7x^{2}-2x+1=0.

Решение:

Найдем дискриминант (-2)^{2}-4\cdot 7\cdot 1=4-28=-24.

Дискриминант отрицательный, поэтому квадратное уравнение не имеет корней.

Так и запишем в ответе: корней нет.

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если x_{1} и x_{2} – корни уравнения ax^{2}+bx+c=0, то \displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}, \displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}.

Теорему Виета удобно использовать, когда коэффициент при x^{2} равен 1, то есть квадратное уравнение приведенное.

Например, x^{2}-5x+6=0.

Коэффициенты этого уравнения a = 1, b = -5, c = 6. Значит, сумма корней x_{1} и x_{2} равна 5, а произведение корней равно 6. Эти два числа подобрать нетрудно, потому что 2+3=5, 2\cdot 3=6.

Тогда x_{1}=2, x_{2}=3.

Теорема Виета помогает проверить, правильно ли мы решили квадратное уравнение.

Например, в нашем уравнении 2x^{2}-3x-20=0 сумма корней равна \displaystyle 4-2,5=1,5=-\frac{-3}{2}, а произведение корней равно \displaystyle 4\cdot \left ( -2,5 \right )=-10=\frac{-20}{2} .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

Задача 9. Рассмотрим уравнение: 2x^{2}=0.

Решение:

В этом уравнении b=0 и c=0. Очевидно, x=0 – единственный корень уравнения.

Задача 10. Рассмотрим квадратное уравнение: x^{2}-4=0. Здесь b=0, а другие коэффициенты нулю не равны.

Решение:

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )=0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, x=2  или x=-2.

Вот похожее уравнение: x^{2}-5=0.

Поскольку 5=\left ( \sqrt{5} \right )^{2}, уравнение можно записать в виде:

\left ( x-\sqrt{5} \right )\left ( x+\sqrt{5} \right )=0.

Отсюда x=\sqrt{5} или
x=-\sqrt{5}.

Пусть теперь b не равно нулю и c=0.

Задача 11.  Рассмотрим квадратное уравнение: 3x^{2}+5x=0.

Левую часть уравнения можно разложить на множители, вынеся x за скобки. Получим:

x\left ( 3x+5 \right )=0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, x=0 или \displaystyle x=-\frac{5}{3}.

Задача 12.  Решим уравнение: x^{2}+4x=0.

Разложить по формуле разности квадрата не получится, тогда попробуем перенести слагаемое 4 в правую часть уравнения.

x^{2}=-4.

Мы знаем, что нет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным числом. Значит, уравнение не имеет действительных корней.

Напомним, что решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Разложение квадратного трехчлена на множители

ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right ).

Здесь x_{1} и x_{2}– корни квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, уравнение

2x^{2}-3x-20=0.

Его корни

x_{1}=4,

x_{2}=-2,5.

2x^{2}-3x-20=2\left ( x-4 \right )\left ( x+2,5 \right ).

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент a, который умножается на x^{2}, положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
-15x^{2}+11x-2=0.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент a стал положительным. Получим:
15x^{2}-11x+2=0.

Дискриминант этого уравнения равен
11^{2}-4\cdot 15\cdot 2=121-120=1.

Корни уравнения: \displaystyle x_{1}=\frac{1}{3},\; x_{2}=0,4.

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение 10x^{2}-5x-15=0.

Разделим все коэффициенты этого квадратного уравнения на 5. Получим 2x^{2}-x-3=0.

Уравнение упростилось. Остается решить его.

D=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot (-3)=1+24=25\textless 0.

\displaystyle x_{1}=\frac{1+\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{1+5}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5;

\displaystyle x_{2}=\frac{1-\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{1-5}{4}=\frac{-4}{4}=-1.

Или такое уравнение.

Задача 13.  17x^{2}+34x-51=0.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты a,b и c делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

x^{2}+2x-3=0.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: x_{1}=1. А второй корень x_{2}=-3 легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
0,01x^{2}+0,05x-0,06=0.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

x^{2}+5x-6=0.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

Задача 14.  Решим уравнение: \displaystyle \frac{x_{2}}{2}+6x+5,5=0.

Умножим обе части уравнения на 2. Получим:

x^{2}+12x+11=0.

Теперь решение этого квадратного уравнения можно осуществить с помощью любого уже известного нам способа. Корни этого уравнения -11 и -1.

Смотри также: Квадратичная функция