Slider

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида ax^{2}+bx+c=0, где a\neq 0.

Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: D=b^{2}-4ac.

Если D > 0, квадратное уравнение имеет два корня: x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} и x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.

Если D = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень x=-\frac{b}{2a}.

Если D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

1) 3x^{2}-4x-9=0

В этом уравнении a=3, b=-4, c=-9.

Дискриминант уравнения равен \left ( -4 \right )^{2}-4\cdot 3\cdot \left ( -9 \right )=16+108 > 0. Уравнение имеет два корня.

2) x^{2}+4x+4=0

В этом уравнении a=1,\; b=4,\;c=4.

Дискриминант уравнения равен 4^{2}-4\cdot 1\cdot 4=0. Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения x^{2}+4x+4=0 находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, x^{2}+4x+4=\left ( x+2 \right )^{2}. Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение \left ( x+2 \right )^{2}=0 имеет единственный корень x=-2.

3) 3x^{2}-4x+9=0.

В этом уравнении a=3,\;b=-4,\;c=9.

Дискриминант уравнения равен \left ( -4 \right )^{2}-4\cdot 3\cdot 9=16-108 < 0. Корней нет.

4) Решим уравнение 2x^{2}-3x-20=0.

Дискриминант уравнения равен \left ( -3 \right )^{2}-4\cdot 2\cdot \left ( -20 \right )=9+160=169 > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения

x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+13}{4}=4

x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-13}{4}=-2,5

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если x_{1} и x_{2} – корни уравнения ax^{2}+bx+c=0, то x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}, x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}.

Например, в нашем уравнении 2x^{2}-3x-20=0 сумма корней равна 4-2,5=1,5=-\frac{-3}{2}, а произведение корней равно 4\cdot \left ( -2,5 \right )=-10=\frac{-20}{2} .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение 2x^{2}=0.

В этом уравнении b=0 и c=0. Очевидно, x=0 – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение x^{2}-4=0. Здесь b=0, а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )=0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, x=2  или x=-2.

3) Вот похожее уравнение:
x^{2}-5=0.

Поскольку 5=\left ( \sqrt{5} \right )^{2}, уравнение можно записать в виде:

\left ( x-\sqrt{5} \right )\left ( x+\sqrt{5} \right )=0

Отсюда x=\sqrt{5} или
x=-\sqrt{5}.

4) Пусть теперь b не равно нулю и c=0.

Рассмотрим уравнение
3x^{2}+5x=0.

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся x за скобки. Получим:

x\left ( 3x+5 \right )=0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, x=0 или x=-\frac{5}{3} .

Разложение квадратного трехчлена на множители

ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right ).

Здесь x_{1} и x_{2}– корни квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
2x^{2}-3x-20=0.

Его корни
x_{1}=4,
x_{2}=-2,5.

2x^{2}-3x-20=2\left ( x-4 \right )\left ( x+2,5 \right ).

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
-15x^{2}+11x-2=0.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
15x^{2}-11x+2=0.

Дискриминант этого уравнения равен
11^{2}-4\cdot 15\cdot 2=121-120=1.

Корни уравнения x_{1}=\frac{1}{3},\;x_{2}=0,4.

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
17x^{2}+34x-51=0.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты a,b и c делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

x^{2}+2x-3=0.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: x_{1}=1. А второй корень x_{2}=-3 легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
0,01x^{2}+0,05x-0,06=0.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

x^{2}+5x-6=0.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

 

Смотри также: Квадратичная функция

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных