Среднее арифметическое двух или нескольких чисел равно сумме этих чисел, деленных на их количество:
\(m=\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}.\)
Если в задаче ЕГЭ на числа и их свойства вам встретилось среднее арифметическое число - удобнее перейти от него к сумме чисел.
1. На доске написано \(11\) различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них рано \(5\), а среднее арифметическое шести наибольших равно \(15...\)
а) Можно ли наименьшее из этих одиннадцати чисел разделить на \(3\)?
б) Можно ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться \(9\)?
в) Пусть \(B\) - шестое по величине число, а \(S\) - среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение \(S-B\).
Решение:
а) Пусть на доске написаны числа \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{11}\), причем \(x_{1}< x_{2}< ... x_{11}\).
По условию, среднее арифметическое шести наименьших чисел равно \(5\).
Значит, сумма шести наименьших чисел \(Z_{6}=x_{1}+x_{2}+ ... +x_{6}=30\).
Предположим, что \(x_{1}=3\).
Поскольку числа различны, \(Z_{6}\geq 3+4+5+6+7+8; \; Z_{6}\geq 33\).
Мы получили противоречие, и \(x_{1}\) не может быть равно \(3\).
б) Поскольку среднее арифметическое шести наибольших чисел равно \(15\), их сумма равна \(90\).
Имеем:
\(x_{1}+x_{2}+ ... +x_{6}=30;\)
\(x_{6}+x_{7}+ ... +x_{11}=90.\)
Сложим эти два равенства, получим, что \((x_{1}+x_{2}+...+x_{11})+x_{6}=120.\)
Обозначим \(x_{1}+x_{2}+...+x_{11}=Z_{11}\). Это сумма всех \(11\) чисел на доске.
Предположим, что среднее арифметическое всех \(11\) чисел равно \(9\).
Тогда их сумма \(Z_{11}=99\), и \(x_{6}=120-99=21.\)
Значит, \(x_{6}+x_{7}+x_{8}+ ... +x_{11}\geq 21+22+...+26.\)
\(x_{6}+x_{7}+x_{8}+ ... +x_{11}\geq \displaystyle \frac{21+26}{2}\cdot 6\) (по формуле арифметической прогрессии).
\(x_{6}+x_{7}+x_{8}+ ... +x_{11}\geq141.\)
По условию, \(x_{6}+x_{7}+x_{8}+ ... +x_{11}=90.\)
Мы снова получили противоречие, и значит, среднее арифметическое всех \(11\) чисел не может быть равно \(9\).
в) Пусть \(x_{6}=B,\)
\(\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}+ ... +x_{11}}{11}=S\) - среднее арифметическое всех \(11\) чисел.
Найдем наибольшее значение выражения \(S-B\).
По условию,
\(x_{1}+x_{2}+ ... +x_{5}+B=30;\)
\(B+ x_{7}+ ... +x_{11}=90;\)
\(x_{1}+x_{2}+ ... +x_{11}=11S.\)
Отсюда \(11S+B=120\) и \(S-B=\displaystyle \frac{120-12B}{11}.\)
В самом начале речения задачи мы записали, что \(x_{1}< x_{2}< ... x_{11}.\)
Перейдем от строгих неравенств к нестрогим (напомним: это один из приемов, помогающий в решении задачи 19).
\(B> x_{5}\Rightarrow B\geq x_{5}+1;\)
\(x_{5}\geq x_{4}+1\), тогда \(B\geq x_{5}+1\geq x_{4}+2.\)
Получим:
\(x_{5}\leq B-1;\)
\(x_{4}\leq B-2;\)
\(x_{3}\leq B-3;\)
\(x_{2}\leq B-4;\)
\(x_{1}\leq B-5.\)
Тогда \(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}\leq 5B-15;\)
\(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+B\leq 6B-15;\)
\(6B-15\geq 30;\)
\(6B\geq45;\)
\(B\geq \frac{15}{2}.\)
Поскольку \(B\) - целое, \(B\geq 8\). Это оценка.
Приведем пример для \(B=8\), написав на доске числа \(2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40\). Все условия выполнены.
Тогда \(S-B=\displaystyle \frac{120-12B}{11}=S-B=\frac{120-96}{11}=\frac{24}{11}.\)
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) \(8\).
2. Последовательность \(a_{1}, a_{2}, ..., a_{6}\) состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть \(M_{k}\) - среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме \(k\)-го. Известно, что \(M_{1}=1, \; M_{2}=2\).
а) Приведите пример такой последовательности, для которой \(M_{3}=1,6\).
б) Существует ли такая последовательность, для которой \(M_{3}=3\)?
в) Найдите наибольшее возможное значение \(M_{3}\).
Решение:
Пусть \(a, b, c, d, e, f\) - члены последовательности.
\(M_{1}=\displaystyle \frac{b+c+d+e+f}{5}=1.\)
Значит, \(b+c+d+e+f=5.\)
\(M_{2}=2\), значит, \(a+c+d+e+f=10.\)
а) Пусть \(M_{3}=1,6\). Тогда \(a+b+d+e+f=1,6\cdot 5=8.\)
Обозначим \(d+e+f=p.\)
Получим систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
b+c+p=5, \\a+c+p=10,
\\a+b+p=8;
\end{matrix}\right. \;\) отсюда \(\left\{\begin{matrix}
a=b+5, \\c=b+2,
\\a=c+3.
\end{matrix}\right.\)
Возьмем \(b=1\). Тогда \(c=3, \; a=6, \; p=1.\)
Подойдет, например, набор чисел \(6; 1; 3; 0; 0; 1.\)
б) Как и в пункте (а), обозначим \(d+e+f=p\) и запишем систему уравнений. Если \(M_{3}=3\), то \(a+b+p=3\cdot 5=15.\)
\(\left\{\begin{matrix}
b+c+p=5, \\a+c+p=10,
\\a+b+p=15;
\end{matrix}\right. \;\) отсюда \(\left\{\begin{matrix}
a=b+5, \\c=b-5,
\\a=c+10.
\end{matrix}\right.\)
Мы получили противоречие с условием, поскольку \(a\), как и все члены последовательности, - число однозначное.
в) Найдем наибольшее возможное \(M_{3}\).
Система будет иметь вид:
\(\left\{\begin{matrix}
b+c+p=5, \\a+c+p=10,
\\a+b+p=5M_{3}.
\end{matrix}\right.\)
Обозначим \(5M_{3}=z\). Тогда:
\(\left\{\begin{matrix}
a-b=5, \\b-c=z-10,
\\a-c=z-5.
\end{matrix}\right.\)
Поскольку числа \(a, \; b, \; c\) - однозначные, разница между любыми двумя из них не превышает \(9\). Это значит, что \(z-5\leq 9; \; z\leq 14.\)
\(5M_{3}\leq 14, \; M_{3}\leq 2,8\). Это оценка.
Приведем пример, пользуясь условиями:
\(\left\{\begin{matrix}
a=b+5, \\b=c+4,
\\a=c+9.
\end{matrix}\right.\)
Подходят \(c=0, \; a=9, \; b=4.\)
Тогда \(p=d+e+f=1.\)
Пусть \(d=1, \; e=0, \; f=0.\) Получим последовательность: \(9, 4, 0, 1, 0, 0.\)
Для нее \(M_{3}=2,8.\)
3. В наборе \(70\) гирек массой \(1, 2, ..., 70\) граммов. Их разложили на кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в пурвую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на \(1\) грамм.
а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с веcами \(11\) г, \(15\) г, \(19\) г?
б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться \(9,5\) грамма?
в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?
Решение:
Заметим, что правильнее говорить не о «весах», а о массе гирек. Именно они измеряются в граммах.
а) Нет, не могла.
Предположим, что в первой кучке были три гирьки массами \(11\), \(15\), \(19\) граммов.
Их средняя масса равна \(\displaystyle \frac{11+15+19}{3}=15\) граммов, а общая масса \(11+15+19=45\) граммов.
Если добавить еще одну гирьку, их станет \(4\) штуки. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличится ровно на один грамм, то есть станет \(15+1=16\), а их общая масса станет \(16\cdot 4=64\).
Значит, добавили гирьку массой \(64-45=19\) - противоречие, так как гирька массой \(19\) граммов уже была в первой кучке. Поэтому ответ: нет, не могла быть.
б) Нет, не могла быть.
Пусть \(x\) - средняя масса гирек в первой кучке до перекладывания, и пусть их было \(n\) штук, тогда \(x=9,5\) и общая масса гирек в первой кучке равна \(9,5\cdot n\) граммов.
После перекладывания одной гирьки средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм, то есть стала \(9,5+1=10,5\) и гирек уже \(n+1\). Значит, общая масса стала \(10,5\cdot (n+1)\).
Получается, что добавили гирьку массой \(m=10,5\cdot (n+1)-9,5n=n+10,5\) - противоречие, так как все массы целые.
Ответ: нет, не могло быть.
в) Всего \(70\) гирек массой \(1, 2, 3, ..., 70\) граммов. Пусть в первой кучке было \(n\) гирек и средняя масса в первой кучке была \(x\), тогда их общая масса была равна \(x\cdot n\).
После того, как добавили одну гирьку, их стало \(n+1\), а их общая масса стала равна \((x+1)(n+1)\).
Значит, добавили гирьку массой \(m=(x+1)(n+1)-xn=x+n+1\).
Оценим массу гирьки, которую добавили.
У нас есть условия: \(m=x+n+1\) и \(1\leq m\leq 70\).
Общая масса гирек в кучке \(x\cdot n\geq 1+2+3+...+n\), в правой части неравенства - сумма \(n\) членов арифметической прогрессии.
Получим: \(x\cdot n\geq \displaystyle \frac{1+n}{2}\cdot n.\)
Обе части неравенства разделим на положительное \(n\). Так как, по условию задачи, в каждой кучке есть хотя бы одна гирька, \(n\geq 1\); получим \(x\geq \displaystyle \frac{1+n}{2}\).
Тогда \(m\geq \displaystyle \frac{1+n}{2}+n+1; \; m\geq \frac{3}{2}(n+1)\). Здесь \(m\) - масса гирьки, которую добавили, а добавить могли любое \(m\), что \(1\leq m\leq 70\).
Получили: \(\displaystyle \frac{3}{2}(n+1)\leq m\leq 70,\) тогда \(3n+3\leq 70\cdot 2; \; 3n\leq 137; \; n\leq \displaystyle \frac{137}{3}.\)
То есть \(n\leq 45\), так как \(n\) - целое.
Значит, \(n\leq 45\) - это оценка. Приведем пример для \(n=45\).
Берем гирьки \(1, 2, 3, ..., 45\). Их средняя масса \((1+2+3+...+45):45=\left (\displaystyle \frac{1+45}{2}\cdot 45\right ):45=23\) г.
Добавим гирьку массой \(\displaystyle \frac{3}{2}(45+1)=69\) г, тогда средняя масса стала:
\(\displaystyle \frac{23\cdot 45+69}{46}=\frac{23\cdot 45+23\cdot 3}{46}=\frac{23(45+3)}{46}=\frac{23\cdot 48}{46}=24=23+1\) граммов.
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) \(45\).
При решении этих задач мы пользовались методом «Оценка плюс пример», сравнением с суммой арифметической прогрессии, а также работали с неравенствами.
