Автор материала - Анна Малкова
В сборниках для подготовки к ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко есть замечательная задача про пиратов, которые делили сокровища. Многие пытались с ней справиться, но не у всех получилось.
Решать такие задачи – настолько же увлекательно, как разгадывать тайну старательно спрятанного сокровища. Но представим, что у вас в руках карта, и на ней помечено место, где зарыт увесистый сундук с золотыми монетами. Осталось понять, что именно зашифровано на карте, и для этого нужна логика. А чтобы отправиться на поиски сокровища, потребуется смелость.
Надеюсь, что у вас есть и то, и другое. Я буду вашим проводником!
1. Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было \(60\) монет достоинством \(1\) дукат и \(60\) монет достоинством \(5\) дукатов.
а) Получится ли поделить все деньги поровну между \(18\) пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
б) Получится ли поделить все деньги поровну между \(40\) пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?
Решение:
Смело начнем с первого пункта задачи. И сразу получим ответ! Считайте, что вы только начали копать в выбранном месте – и тут же нашли первую золотую монетку, то есть \(1\) балл за пункт (а)!
а) Получится ли поделить все деньги поровну между \(18\) пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
Да, получится. Каждый пират получит по \(20\) дукатов. Потому что всего в сундуке \(60 \cdot 5 + 60 \cdot 1 = 360\) дукатов, и \(360\) отлично делится на \(18\).
Например, дележка может происходить следующим образом:
– Сначала раздаем все монеты по \(5\) дукатов. Ровно \(15\) пиратов получат по \(4\) таких монеты каждый, то есть по \(20\) дукатов, а оставшиеся \(3\) пирата получают по \(20\) дукатов монетами по \(1\) дукату.
Главное – чтобы пираты не перессорились и не укокошили друг друга во время раздачи монет. Но это уже проблема капитана пиратов, а не наша.
А мы продолжим нашу «добычу баллов» за задачу \(19\).
б) Получится ли поделить все деньги поровну между \(40\) пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
Нет, не получится. Если всего \(40\) пиратов, то каждый из них собирается получить \(360 : 40=9\) дукатов. Однако \(9\) не делится на \(5\) нацело. При делении \(9\) на \(5\) мы получаем в остатке \(4\). Это значит, что каждому пирату придется выдать не менее \(4\) монет по \(1\) дукату.
Но такого количества монет по \(1\) дукату в сундуке нет. Предположив, что 40 пиратов смогут разделить сокровище поровну, получаем противоречие с условием.
Что-то подозрительно легко достались нам первые \(2\) балла. Но \(2\) монеты – это еще не клад. Копаем дальше?
в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться \(0\) монет)?
…Именно здесь потерпели поражение многие из тех «кладоискателей», которые опубликовали в интернете решения этой задачи. «В условии ошибка!» - заявляли они. – «Здесь клада нет! Дайте нам другую карту!»
Разберемся с условием задачи.
Вам тоже показалось, что количество пиратов может быть каким угодно? Что мы можем увеличивать его хоть до тысячи чертей, просто добавляя пиратов, которым, согласно условию, будет полагаться \(0\) монет?
Однако не все так просто.
Предположим, что в команде \(40\) пиратов. Конечно, капитан может тайно присвоить все \(360\) дукатов, нейтрализовать с помощью бочки рома остальных пиратов (получивших в итоге по \(0\) монет), удачно скрыться от них и начать новую, умеренную и добропорядочную жизнь. Однако условие задачи в этом случае не выполнено.
По условию, пиратов должно быть столько, чтобы капитан смог «поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать». Какой же способ для капитана будет самым трудным?
Очевидно, такой, при котором ему не хватит монет достоинством в \(1\) дукат. Например, поделить \(360\) дукатов между \(40\) пиратами поровну не получится. Это доказано в пункте (б).
Вот в чем разница! На вопрос: «Существует ли в этой задаче какой-нибудь способ поделить \(360\) монет между \(40\) пиратами?» ответ: «Да». А на вопрос: «Можно ли в условиях задачи поровну поделить \(360\) монет между \(40\) пиратами?» – ответ: «Нет».
В пункте (в) речь идет именно о том, чтобы поделить деньги между пиратами любым возможным способом. Лишь бы в сумме получилось \(60\) монет по \(5\) дукатов и \(60\) монет по \(1\) дукату, и каждый пират получил целое количество дукатов.
Пусть пиратов \(15\). Даже если деньги распределены так, что каждому из \(15\) пиратов придется выдать по \(4\) монеты в \(1\) дукат, мы сможем это сделать, имея \(60 = 15 \cdot 4\) таких монет. Да, похоже, задача составлена по мотивам песни из детской книги «Остров сокровищ»: «\(15\) человек на сундук мертвеца…»
Если пиратов \(17\), то мы можем подобрать такое распределение денег, что раздать их в условиях задачи будет невозможно. Например, капитан захотел каждому из \(16\) членов своей команды выдать по \(4\) дуката, а себе забрать остальное. Сделать этого он не сможет: у него не найдется \(64 = 16 \cdot 4\) монет по \(1\) дукату.
– Значит, ответ: \(15\)?
– Не спешите! Мы еще не проверили, что же будет в случае \(16\) пиратов.
На первый взгляд кажется, что и для \(16\) пиратов можно подобрать такое распределение денег, что капитан не сможет их раздать. Например, поделить нацело 360 монет на 16 пиратов невозможно. Но это и не требуется по условию. Проверим, сможет ли капитан раздать любым способом все \(60\) монет по \(5\) дукатов и \(60\) монет по \(1\) дукату так, что каждый пират получит целое количество дукатов.
Предположим, что все пираты вместе с капитаном построились в одну шеренгу. Пусть \(i\) – порядковый номер пирата в этой шеренге: первый, второй, третий, \(i\)-тый… Да, математики говорят именно так: \(i\)-тый.
Пусть каждый пират получает в результате сумму денег, равную \(s_i. \)
Пусть \(r_i \)– остаток от деления суммы, полученной \(i\)-тым пиратом, на \(5\). Тогда \(s_i = 5 \cdot n_i + r_i.\)
Каждый пират получил некоторую сумму \(5 \cdot n_i,\) кратную \(5\), и еще остаток от деления на \(5\), который равен \(r_i\) и может быть выдан только монетами по \(1\) дукату.
Очевидно, что самый сложный для капитана случай – когда остатки от деления всех \(s_i \) на \(5\) равны \(4\), то есть все \(r_i\) равны \(4\).
Действительно, тогда сумма остатков \(4 \cdot 16 = 64, \) и у капитана не хватит монет по \(1\) дукату.
– Значит, все-таки \(16\) пиратов не смогут разделить деньги, и ответ в пункте (в) – пятнадцать?
– Не спешите! Проверим, возможен ли такой случай, когда все остатки от деления на \(5\), то есть все \(r_i,\) равны \(4\). Сложим все \(s_i\) и все \(r_i.\) Очевидно, что сумма всех \(s_i\) равна \(360\) (общее количество дукатов). В математике это записывается так:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{16}s_{i}=360.\)
Сумму всех остатков от деления на \(5\) обозначим \(R\).
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{16}r_{i}=R.\)
Получим:
\(360 = 5 N + R\), где \(N\) – сумма всех \(n_i.\)
Но тогда \(R = 360 – 5N.\)
Правая часть этого уравнения делится на \(5\). Значит, сумма всех остатков \(R\) делится на \(5\).
Очевидно, для любого распределения монет \(R \leq 4 \cdot 16 = 64,\) и при этом \(R\) делится на \(5\).
Значит, \(R \leq 60.\) Прекрасно! У капитана не будет недостатка в монетах по \(1\) дукату: их понадобится не больше \(60\), и в случае, если пиратов \(16\), трудностей не должно быть.
Как вы думаете – решение задачи закончено или чего-то не хватает?
Конечно, не закончили! Осталось непонятно, как же все-таки нужно раздавать дукаты. С каких монет начинать?
Будем действовать следующим образом.
Сначала вычислим остатки от деления всех \(s_i\) на \(5\). Раздадим эти остатки монетами по \(1\) дукату. Мы выяснили, что это сделать можно, потому что сумма всех остатков \(R \leq 60.\)
Оставшаяся сумма кратна \(5\). Раздаем все \(5\)-дукатные монеты и после этого (если остались) монеты по \(1\) дукату.
Окончательный ответ: \(16\).
Вот еще одна задача с необычными формулировками в пунктах (а) и (б).
2. Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры – прямоугольные параллелепипеды с размером \(1\times 1\times 3\) м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.
а) Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером \(120\) кубометров нельзя?
б) Может ли оказаться, что на склад объемом \(100\) кубометров не удастся поместить \(33\) контейнера?
и) Пусть объем склада равен \(800\) кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантированно заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?
Решение:
а) Так как объем склада \(120\) м\(^{3}\), одно из измерений склада – длина, ширина или высота – делится на \(3\). Пусть, например, длина склада кратна трем. Будем размещать контейнеры длинной стороной вдоль этого измерения. Поместится целое число контейнеров. Остальные контейнеры разместим рядом с этими. Поскольку ширина и высота контейнера равны \(1\), такие контейнеры гарантированно можно разместить по ширине и высоте склада. Склад будет заполнен на \(100\)%.
Ответ: Нет, не может оказаться, что склад объемом \(120\) кубометров нельзя заполнить.
Обратите внимание на необычную формулировку вопроса.
Нас не спрашивают: «Можно ли заполнить...». Вопрос формулируется по-другому: «Может ли оказаться, что нельзя заполнить...»
б) В этом пункте ответ тоже формулируется необычно. «Может ли оказаться, что нельзя поместить \(33\) контейнера на склад объемом \(100\) кубометров?»
Какие же ответы предполагаются на этот вопрос?
«Нет, такой склад можно заполнить в любом случае» или «Да, может, вот пример, когда нельзя заполнить такой склад».
Поищем пример, когда такой склад не получится заполнить контейнерами.
Рассмотрим склад с размерами \(2\times 2\times 25\) м. Длинную сторону контейнера можно поместить только вдоль длинной стороны склада. При этом поместится не более восьми контейнеров. Рядом с ними поместится еще \(8\) контейнеров, на них еще \(16\), то есть поместится \(32\) контейнера и останется \(4\) м\(^{3}\) пустого места. Мы привели пример, когда склад нельзя заполнить на \(100\)%.
в) Подумаем, что помешало в пункте (б) разместить на складе \(33\) контейнера. Ни одно из измерений склада не делилось на \(3\). К тому же два из измерений склада давали остаток \(2\) от деления на \(3\). Вот почему и осталось свободное место.
Вопрос в пункте (в): сколько процентов склада удастся заполнить гарантированно. Это значит – в любом, даже самом неудачном случае. А неудачным для нас будет случай, когда все измерения склада (длина, ширина и высота) дают остаток \(2\) от деления на \(3\).
Рассмотрим склада размерами \(2\times 2\times 200\) м. Положим \(66\) контейнеров длинной стороной вдоль двухсотметровой стороны склада, останется \(2\) м свободных. Рядом с ними положим еще \(66\) контейнеров, на них еще \(132\) контейнера. Незаполненными останется пространство \(2\times 2\times 2\) м или \(1\)% объема склада. Заполнено \(99\)% объема склада.
При любой другой конфигурации склада получится заполнить не менее \(99\)% объема.
Рассмотрим склад размером \(a\times b\times c\) м, и пусть \(a\geq 3\). Положим вдоль этой стороны целое число контейнеров. Останется не более \(2\) метров свободного места, поскольку остаток от деления на \(3\) не больше, чем \(2\). Рядом и сверху укладываем такие же ряды контейнеров. Поскольку остатки от деления \(a, b\) и \(c\) на \(3\) не больше \(2\), остается не более \(2\times 2\times 2\) кубометров пустого пространства, то есть не более \(1\)% объема склада.
Ответ: а)Нет; б) Да; в) \(99\)%.
Мой полный курс по задаче 19 Профильного ЕГЭ по математике – здесь
Анна Малкова
