В задачах ЕГЭ по математике на числа и их свойства иногда нужно оценивать сумму \(n\) различных натуральных чисел. Причем про эти числа ничего не известно, кроме того, что они различные.
Оказывается, что сумма \(n\) различных натуральных чисел не меньше, чем \(1+2+3+4... +n\). Поскольку числа натуральные, наименьшее из них не меньше, чем \(1\), и отличаются они друг от друга не меньше, чем на \(1\).
Другими словами, сумма \(n\) различных натуральных чисел не меньше, чем \(1+2+3... +n=\displaystyle \frac{n+1}{2}\cdot n\).
Мы применили формулу суммы \(n\) членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен \(1\) и разность равна \(1\).
1. На доске написано \(30\) различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру \(7\). Сумма написанных чисел равна \(810\).
а) Может ли быть \(24\) четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на \(7\)?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой \(7\) может быть на доске?
Решение:
а) Пусть на доске \(24\) четных числа. Возьмем числа\(2; 4; 6; 8; ...; 48\). Они образуют арифметическую прогрессию, в которой первый член равен \(2\) и разность прогрессии тоже равна \(2\).
Вспомним формулу суммы арифметической прогрессии, \(S_{n}=\displaystyle \frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n.\)
Получим, что сумма этих чисел равна \(\displaystyle \frac{2+48}{2}\cdot 24=600.\)
Возьмем \(6\) различных чисел, которые оканчиваются на \(7\). Например, \(7; 17; 27; 37; 47; 57\). Они также образуют арифметическую прогрессию, в которой первый член равен \(7\), а разность прогрессии равна \(10\).
Сумма этих шести членов равна \(\displaystyle \frac{7+57}{2}\cdot 6=192.\)
Сложим \(600\) и \(192\), получим \(792\). Сумма чисел на доске должна быть равна \(810\), поэтому вместо числа \(48\) (самое большое из четных) возьмем число \(66\). Мы получили \(30\) чисел, \(6\) из которых оканчивается на \(7\), а остальные \(24\) числа четные, и их сумма равна \(810\).
\(\underset{6 \; чисел}{\underbrace{7; 17; 27; 37; 47; 57;}}\underset{23 \; числа}{\underbrace{\; 2; 4; 6; 8; ...; 46;}} \; 66.\)
Напомним, что если в задаче на числа и их свойства задан вопрос : «Может ли выполняться то или иное утверждение?» - мы можем ответить: «Да, может. Вот пример». Мы не обязаны объяснять, как получился этот пример.
б) Если ровно два числа на доске оканчиваются на \(7\), то на доске \(28\) четных чисел. Их сумма \(S\) не меньше, чем сумма \(28\) членов арифметической прогрессии, в которой \(a_{1}=2, \; d=2\).
\(S\geq \displaystyle \frac{2\cdot 2+2\cdot 27}{2}\cdot 28; \; S\geq 812\) - противоречие с условием.
Мы применили формулу суммы \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_{n}=\displaystyle \frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n.\)
Обратите внимание, как аккуратно мы сравниваем с суммой арифметической прогрессии. Мы говорим, что сумма \(28\) различных натуральных чисел не меньше, чем \(2+4+6+8+...+56\). Другими словами, не меньше, чем сумма \(28\) членов арифметической прогрессии, в которой \(a_{1}=2, \; d=2\).
в) Из пункта (б) следует, что количество чисел, оканчивающихся на \(7\), должно быть больше двух.
Кроме того, количество чисел, оканчивающихся на \(7\), должно быть четно, поскольку \(810\) - четное число, и сумма любого количества четных чисел также четна.
Подберем пример для \(4\) чисел, оканчивающихся на \(7\).
\(\underset{4 \; числа}{\underbrace{7; 17; 27; 37;}}\underset{25 \; чисел}{\underbrace{\; 2; 4; 6; ...; 48; 50;}} \; 72.\)
Сумма этих чисел равна \(810\).
Ответ: а) Да; б) Нет; в) \(4\).
2. На доске написаны числа \(1, 2, 3, ..., 30\). За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше \(35\) и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательности \(5\) ходов.
б) Можно ли сделать \(10\) ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Решение:
Заметим, что сумма чисел в каждой тройке \(S_{i}\leq 34\). Запомним: в задачах такого типа удобнее пользоваться нестрогим неравенством, чем строгим.
а) Пример привести легко:
\(30, 1, 3\) (сумма \(34\));
\(2, 4, 27 \) (сумма \(33\));
\(5, 6, 21\) (сумма \(32\));
\(7, 8, 16\) (сумма \(31\));
\(9, 10, 11\) (сумма \(30\)).
б) Выясним, можно ли сделать \(10\) ходов. Ведь у нас \(30\) чисел, и сделав \(10\) ходов, мы сотрем с доски их все. А значит, вопрос можно переформулировать следующим образом:
«Можно ли разбить натуральные числа от \(1\) до \(30\) на тройки так, чтобы суммы чисел в каждой тройке были различны и каждая из них не превышала \(34\)?»
Предположим, что такое разбиение возможно. Обозначим суммы чисел в каждой тройке \(S_{i}\), где \(i\) принимает значение от \(1\) до \(10\). Расставим эти суммы в порядке убывания. Пусть \(S_{1}\) - максимальная сумма, причем она не превосходит \(34\), и каждая следующая меньше предыдущей.
Тогда \(S_{2}\leq 33, \; S_{3}\leq 32, \; ..., \; S_{10}\leq 25.\)
Суммирую по всем десяти тройкам, получим, что сумма всех тридцати чисел не превосходит \(34+33+32+31+ ... +25\), то есть \(295\).
Мы применили формулу суммы \(n\) членов арифметической прогрессии \(S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}(a_{1}+a_{n})\cdot n\).
С другой стороны, мы задействовали все \(30\) чисел. Их сумму легко найти - это сумма арифметической прогрессии, члены которой - натуральные числа от \(1\) до \(30\). Обозначим ее \(S_{30}\):
\(S_{30}=\displaystyle \frac{(1+30)}{2}\cdot 30=465.\)
Получим, что \(S_{30}> 295\) - противоречие.
Значит, \(10\) ходов сделать нельзя.
в) Какое же максимальное число ходов можно сделать? В пункте (а) мы выяснили, что \(5\) ходов сделать можно. В пункте (б) доказали, что \(10\) ходов сделать нельзя. Нам осталось проверить, можно ли сделать \(9, 8, 7\) или \(6\) ходов.
Повторим рассуждения, аналогичные пункту (б), для случаев \(n=9, 8, 7\) и \(6\).
Если \(n\) (число ходов) равно \(9\), то \(S=S_{1}+S_{2}+ ... +S_{9}\) не превосходит \(34+33+ ... +26\), то есть \(S \leq 270\).
С другой стороны, из чисел от \(1\) до \(30\) мы выбираем \(9\) троек, то есть \(27\) чисел, и их сумма не меньше, чем \(1+2+3+4+...+27\), то есть \(S \geq 378\) - противоречие.
Аналогично, для \(n=8\) получим, что \(S\leq 244\) и \(S\geq 300\) - тоже противоречие.
Для \(n=7\) имеем: \(S\leq 217\) и \(S\geq 231\), значит, и \(7\) ходов сделать нельзя.
Для \(n=6\) противоречия нет. Итак, число ходов \(n\leq 6\).
Закончено ли решение? Еще нет. Мы доказали, что \(n\leq 6\) (сделали оценку). Осталось привести пример \(n=6\).
Приведем этот пример.
Тройки чисел:
\(12, 11, 10\) (сумма \(33\));
\(13, 14, 7\) (сумма \(34\));
\(15, 16, 1\) (сумма \(32\));
\(17, 2, 3\) (сумма \(22\));
\(4, 8, 9\) (сумма \(21\));
\(18, 5, 6\) (сумма \(29\)).
Итак, наибольшее число ходов - \(6\).
Ответ: а) Да; б) Нет; в) \(6\).
Метод, которым мы сейчас пользуемся, называется «Оценка плюс пример».
«Оценка плюс пример» - это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений.
Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины \(A\). Действуем в два этапа:
1. Оценка. Показываем, что выполнено неравенство \(A\geq a\).
2. Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство \(A= a\).
3. В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по \(100\) грамм, второй - по \(200\) г, третий - по \(300\) г, а четвертый - по \(400\) г.
а) Может ли оказаться, что кроликов было \(15\) и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было \(15\) и все они получили различное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Решение:
а) Да, может. Например, первый и четвертый ученики кормят семь кроликов. Каждый из этих семи кроликов получит по \(100+400=500\) г корма. Второй и третий ученики кормят восьмерых оставшихся кроликов, которые также получат по \(200+300=500\) г корма.
б) Нет, не может.
Пусть среди кроликов есть «счастливец», которого покормили все школьники. Он получит максимально возможное количество корма, равное \(100+200+300+400=1000\) г.
Среди кроликов также может быть «невезучий», которого никто не покормил. Он получил \(0\) грамм корма. Значит, количество корма для одного кролика может принимать \(11\) значений: \(0, 100, 200, 300, ..., 1000\) грамм.
Поскольку кроликов \(15\), а возможных значений только \(11\), среди этих пятнадцати найдутся кролики, получившие одинаковое количество корма.
в) Если каждый ученик насыпал корм четверым кроликам, то всего ученики раздали кроликам \(4 \cdot (100+200+300+400)=4000\) г корма.
В пункте (б) мы выяснили, что всего может быть \(11\) различных значений для количества корма, которое получили кролики. Но если \(11\) кроликов получают различное количество корма, то общее количество корма равно \(0+100+200+...+1000=5500\) грамм. Это на \(1500\) грамм больше, чем \(4000\) грамм.
Значит, накормить \(11\) кроликов, соблюдая все условия пункта (в), школьники не смогут.
Вариант с \(10\) кроликами также невозможен. Если кроликов \(10\), они съедят не меньше, чем \(0+100+200+...+900=4500\) граммов корма (опять сравнение с суммой арифметической прогрессии). Поскольку школьники могут раздать только \(4000\) граммов корма, \(10\) кроликов не может быть.
Получится, что число кроликов не больше, чем \(9\). Мы оценили количество кроликов. Приведем пример, когда кроликов именно \(9\). Варианты \(1000\) г и \(500\) г отсутствуют. Все условия задачи выполнены - каждый ученик покормит \(4\) кроликов, и все кролики получили различное количество корма.
| \(0\) | \(100\) | \(200\) | \(300\) | \(400\) | \(600\) | \(700\) | \(800\) | \(900\) | |
| \(1\) ученик - по \(100\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | |||||
| \(2\) ученик - по \(200\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | |||||
| \(3\) ученик - по \(300\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | |||||
| \(4\) ученик - по \(400\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Ответ: а) Да; б) Нет; в) \(9\).
4. На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на \(3\) и оканчиваются на \(4\).
а) Может ли сумма составлять \(282\)?
б) Может ли их сумма составлять \(390\)?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна \(2226\)?
Решение:
а) Да, может. Например,
\(54+84+144=282.\)
Как мы получили пример?
Числа \(A\), которые делятся на \(3\) и оканчиваются на \(4\) можно представить как \(A = 3k\) или \(A = 10n+4,\) где \(k\) и \(n\) – целые. Очевидно, \(3k = 10n+4.\)
Это значит, что \((10n+4) \vdots 3;\)
\(10n+4=9n+n+3+1;\)
\(9n+3\) делится на \(3\), значит \(n+1\) делится на \(3\).
Выпишем несколько чисел \(n\), таких, что \((n+1) \vdots 3,\) и найдём, чему будут в этих случаях равны \(k\) и \(A\).
| \(n\) | \(k\) | \(a\) |
| \(2\) | \(8\) | \(24\) |
| \(5\) | \(18\) | \(54\) |
| \(8\) | \(28\) | \(84\) |
| \(11\) | \(38\) | \(114\) |
| \(14\) | \(48\) | \(144\) |
| \(17\) | \(58\) | \(174\) |
Заметим, что \(282 = 3 \cdot 94,\) и что \(18+28+48=94.\)
Подходят числа \(54; 84; 144\), их сумма \(282\).
б) Предположим, что сумма нескольких таких чисел равна \(390\).
Заметим, что наши числа \(A\) образуют арифметическую прогрессию, где \(a_1 = 24, \; d = 30, \; a_m = 24+30m, \; m \in N.\)
При этом значения \(k\) также образуют арифметическую прогрессию, где \(k_1 = 8, \; k_m = 8+10(m-1), \; m \in N.\)
\(390 = 3 \cdot 130; \; 130 \vdots 5.\)
Это значит, что нужно взять не менее \(5\) чисел вида \(k_m.\) Здесь \(k_1 = 8,\; k_2 = 18, \; k_3 = 28...\)
Однако сумма этих чисел будет не меньше, чем \(8+18+28+38+48=140> 130.\)
Значит, предположение было неверно, сумма не может быть равна \(390\).
в) Найдём, сколько чисел на доске, если их сумма равна \(2226\).
Заметим, что \(2226 = 742 \cdot 3.\)
Если взять \(m\) чисел вида \(k_i,\) где \(1 \leq i \leq m,\) то их сумма не меньше, чем сумма \(m\) членов арифметической прогрессии, в которой \(k_1 = 8, d =10.\)
\(S \geq S_m;\)
\(\displaystyle S_m = \frac{2 \cdot 8+10 \cdot (m-1)}{2} \cdot m;\) с другой стороны, \(S = 742.\) Получим:
\(\displaystyle \frac{16+10(m-1)}{2} \cdot m \leq 742;\)
\((3+5m) \cdot m \leq 742;\)
\(5m^2 +3m \leq 742.\)
Мы можем решить это квадратичное неравенство (у соответствующего квадратичного уравнения ужасный дискриминант!) А можем подобрать наибольшее натуральное \(m\), для которого неравенство выполняется.
Если \(m \geq 12,\) неравенство не выполняется. Если \(m \leq 11, \) выполняется. Значит, \(m \leq 11.\) Это оценка.
Однако, если взять \(11\) чисел \(k_i,\) каждое из которых оканчивается на \(8\), их сумма оканчивается на \(8\) и не может быть равна \(742\).
Для \(10\) чисел, каждое из которых оканчивается на \(8\), сумма оканчивается на ноль и не равна \(742\).
Для \(9\) чисел противоречия нет, так как \(8 \cdot 9 = 72.\)
Приведём пример для \(9\) чисел, оканчивающихся на \(8\), сумма которых равна \(742\).
Возьмём числа \(8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 398,\) их сумма \(742\). Тогда на доске числа:
\(24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 1194.\)
Ответ: а) Да; б) Нет; в) \(9\).
