Биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника – это луч, исходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

На рисунке \(AK\) – биссектриса угла \(A\) треугольника \(ABC\).

Есть и другое, неофициальное определение:

Биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол по полам.

Высота может лежать снаружи треугольника. А биссектриса угла треугольника всегда лежит внутри него.

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Докажем эту теорему.

Пусть биссектрисы углов \(A\) и \(B\) треугольника пересекаются в точке \(P\). Тогда точка \(P\) равноудалена от сторон \(AB\) и \(AC\), поскольку лежит на биссектрисе угла \(A\), а также от сторон \(BC\) и \(BA\), поскольку лежит на биссектрисе угла \(B\). А это значит, что точка \(P\) равноудалена и от прямых \(AC\) и \(BC\), то есть лежит на биссектрисе угла \(C\).

Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство биссектрисы треугольника.

Задача ЕГЭ по теме «Биссектрисы углов треугольника»

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть биссектрисы треугольника \(ABC\) (в котором угол \(C\) равен \(90 ^{\circ}\)) пересекаются в точке \(M\).

Рассмотрим треугольник \(ABM\).

\(\angle MAB=0,5\angle BAC; \)

\(\angle ABM=0,5\angle ABC,\) тогда \(\angle AMB=180^{\circ}-\angle MAB-\angle ABМ=180^{\circ}-0,5(\angle ABC+\angle BAC).\)

Острый угол медлу биссектрисами на рисунке обозначен \(\varphi \).

Угол \(\varphi \) смежный с углом \(AMB\), следовательно, \(\varphi =0,5(\angle ABC+\angle BAC).\)

Поскольку треугольник \(ABC\) – прямоугольный, то \(\angle ABC+\angle BAC=90 ^{\circ}.\)

Тогда \(\varphi =0,5(\angle ABC+\angle BAC)=90 ^{\circ}:2=45 ^{\circ}.\)

Ответ: 45.

2. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(58 ^{\circ}, \; AD\) и \(BE\) – юиссектрисы, пересекающиеся в точке \(O\). Найдите
угол \(AOB\). Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в треугольнике \(ABC\) угол \(BAC\) равен \(A\), угол \(ABC\) равен \(B\).

Рассмотрим треугольник \(AOB\).

\(\angle OAB=\angle A; \)

\(\angle ABO=\angle B\), тогда \(\angle AOB=180^{\circ}-(\angle A+\angle B).\)

Из треугольника \(ABC\) получим, что \(\angle A+\angle B=180^{\circ}-58^{\circ}=122^{\circ}.\)

Тогда \(\angle AOB=180^{\circ}-(\angle A+\angle B)=180^{\circ} - 61^{\circ}=119^{\circ}.\)

Ответ: 119.

3. В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(60 ^{\circ}\), угол \(B\) равен \(82 ^{\circ}\). \(AD, \; BD\) и \(CF\) — биссектрисы, пересекающиеся в точке \(A\). Найдите угол \(AOF\). Ответ дайте в градусах.

Решение:

Найдем угол \(ACB\). Он равен \(38 ^{\circ}\).

Тогда \(\angle ACF=\angle ACB =19^{\circ}.\)

Из треугольника \(ACF\) найдем угол \( \angle AFC=\angle ACB=19^{\circ}\). Он равен \(101^{\circ}.\)

Рассмотрим треугольник \(AOF\).

\(\angle AFO=101^{\circ}, \; \angle FAO\angle BAC=30^{\circ}.\)

Значит, \(\angle AOF=49^{\circ}\).

Ответ: 49.

4. В треугольнике \(ABC\) \(AD\) — биссектриса, угол \(C\) равен \(50 ^{\circ}\). Угол \(CAD\) равен \(28 ^{\circ}\). Найдите угол \(B\). Ответ дайте в градусах.

Решение:

Поскольку \(AD\) – биссектриса, то \(\angle A=2\cdot \angle CAD=2\cdot 28^{\circ }=56^{\circ }.\)

Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), следовательно,

\(\angle B=180^{\circ }- \angle A-\angle C=180^{\circ }-50^{\circ }-56^{\circ }=74^{\circ }.\)

Ответ: 74.

5. В треугольнике \(ABC\) \(CH\) – высота, \(AD\) – биссектриса, \(O\) – точка пересечения прямых \(CH\) и \(AD\), угол \(BAD\) равен \(26^{\circ}\). Найдите угол \(AOC\). Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \(AOC\) – внешний в треугольнике \(AHO\), следовательно,

\(\angle AOC=\angle OAH+\angle AHO=26^{\circ }+90^{\circ }=116^{\circ }.\)

Ответ: 116.

6. В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AD\) и \(AB = AD = CD\). Найдите меньший угол
треугольника \(ABC\). Ответ дайте в градусах.

Решение:

\(AD = CD\), следовательно, треугольник \(ADC\) – равнобедренный и \(\angle DAC=\angle ACD=\alpha .\)

\(AD\) – биссектриса, следовательно, \(\angle BAD=\angle DAC=\alpha .\)

\(AB = AD\), следовательно, треугольник \(ABD\) – равнобедренный и \(\angle ABD=\angle ADB=\beta .\)

\(\angle ADB\) – внешний в треугольнике \(ADC\), следовательно, \(\angle ADB=\angle DAC+\angle ACD=2\alpha .\)

Таким образом, наименьшим углом треугольника \(ABC\) является \(\angle C=\alpha \), два других угла – в два раза больше.

Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника \(ABC\) равна \(180^{\circ}\):

\(\angle A+\angle B+\angle C=2\alpha +2\alpha +\alpha =5\alpha =180^{\circ }\), откуда получаем: \(\alpha =180^{\circ }:5=36^{\circ }.\)

Наименьший угол треугольника \(ABC\) равен \(36^{\circ}\).

Ответ: 36.

7. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки \(2,8\) и \(4,2\). Периметр треугольника равен \(22\). Найдите стороны треугольника.

Решение: