Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник
Биссектриса угла треугольника - это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.
Биссектриса угла треугольника – это множество точек, равноудаленных от его сторон. Это значит, что от любой точки, лежащей на биссектрисе угла, расстояния до сторон угла равны.
Пусть точка О лежит на биссектрисе угла АВС. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, поэтому треугольники ВОС и ВОА на рисунке – прямоугольные.
Здесь отрезки ОА и ОС – расстояния от точки О до сторон ВА и ВС угла АВС.
Прямоугольные треугольники ВОС и ВОА равны по острому углу и гипотенузе. Значит, ОА = ОС и любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.
Пусть биссектрисы углов А и В треугольника пересекаются в точке Р. Тогда точка Р равноудалена от сторон АВ и АС, поскольку лежит на биссектрисе угла А, а также от сторон ВС и ВА, поскольку лежит на биссектрисе угла В. А это значит, что точка Р равноудалена и от прямых АС и ВС, то есть лежит на биссектрисе угла C.
Задача ЕГЭ по теме «Биссектрисы углов треугольника»
В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен
. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Найдем третий угол треугольника ABC – угол C. Он равен
.
Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть и
.
Угол AOF – внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть .
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Свойства биссектрис треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.09.2023