Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС

Пусть Р – точка касания окружности со стороной ВС треугольника АВС, M и N – точки касания с продолжениями сторон АВ и АС.

Докажем, что $AN=\frac{1}{2}P_{ABC}.$ .

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

Значит, AN=AМ;

AN=AC+CN=AC+CР;

AМ=AB+BМ=AB+BР;
АN = АМ,

2AN=AC+AB+CР+BР =AC+AB+BC;

$AN=\frac{1}{2}P_{ABC}.$ .

Задача ЕГЭ №16, Профильный уровень

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АВС, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Пусть L, K, M, N, P, Q – точки касания

а) Докажем, что $AN=\frac{1}{2}P_{ABC}.$

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

Значит, AN=AP;

AN=AC+CN=AC+CQ;

AP=AB+BP=AB+BQ;

2AN=AC+AB+CQ+BQ =AC+AB+BC;

$AN=\frac{1}{2}P_{ABC}.$

б) Найдем $S_{\triangle ABC}$ , если, r

$O_1$ M=4,R= $O_2$ N=8.

Поскольку $CMO_1K$ и $CNO_2Q$ – квадраты, МС=4, QC=8,

$C\in O_1O_2, \, O_1C=4\sqrt{2}, \, O_2C=8\sqrt{2}.$

Рассмотрим трапецию $O_1O_2PL.$

${{\rm O}}_{{\rm 1}}{\rm L}{\rm =4,\ }{{\rm \ O}}_{{\rm 2}}{\rm P}{\rm =8,\ \ \ }{\rm O}{{\rm O}}_{{\rm 1}}{\rm =4}\sqrt{{\rm 2}}{\rm +8}\sqrt{{\rm 2}}{\rm =12}\sqrt{{\rm 2}}.$

Точка С делит сторону $O_1O_2$ в отношении $O_1 C: O_2 C=1:2$ Тогда $CF=\frac{4}{3}$ .

Проведем СН, причем СН – высота треугольника АВС.

$CH=CF+FN=\frac{4}{3}+4=\frac{16}{3}.$

Из пункта (а):

$\left\{\begin{matrix} AN=AC+8=\frac{1}{2}P_{ABC} \, \left ( 1 \right )\\ BK=BC+4=\frac{1}{2}P_{ABC}\, \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$

Отсюда ВС=АС+4,

$AC+8=\frac{1}{2}\left ( AB+AC+BC \right ),$

$AC+8=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}\cdot 4$

$\frac{1}{2}AB=6;\, AB=12;$

$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot CH=\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{3}\cdot 12=32$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Это полезно