Пусть О – центр окружности S, Р – точка пересечения окружности S и отрезка АО. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Значит, АО – биссектриса угла ВАС.
Пусть угол ОАВ равен . Тогда угол АОС равен
, а угол СВР равен
– как вписанный угол, опирающийся на дугу СР, - то есть половине угла АВМ. Это значит, что ВР – биссектриса угла АВС и Р – точка пересечения биссектрис треугольника АВС и центр окружности, вписанной в треугольник АВС.