Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S

Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S

Пусть О – центр окружности S, Р – точка пересечения окружности S и отрезка АО. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Значит, АО – биссектриса угла ВАС.

Пусть угол ОАВ равен $\varphi$ . Тогда угол АОС равен $90^{\circ}-\varphi$ , а угол СВР равен $\frac{1}{2}\left ( 90^{\circ}-\varphi \right )$ – как вписанный угол, опирающийся на дугу СР, - то есть половине угла АВМ. Это значит, что ВР – биссектриса угла АВС и Р – точка пересечения биссектрис треугольника АВС и центр окружности, вписанной в треугольник АВС.