previous arrow
next arrow
Slider

Задача с секретом о пиратах и дукатах из сборника И. В. Ященко

 

Анна Малкова

 

В 2020 году в сборниках для подготовки к ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко появилась замечательная задача про пиратов, которые делили сокровища. Многие пытались с ней справиться, но не у всех получилось.

Это задача № 19 – самая сложная в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Решать такие задачи – настолько же увлекательно, как разгадывать тайну старательно спрятанного сокровища. Но представим, что у вас в руках карта, и на ней помечено место, где зарыт увесистый сундук с золотыми монетами. Осталось понять, что именно зашифровано на карте, и для этого нужна логика. А чтобы отправиться на поиски сокровища, потребуется смелость.

Надеюсь, что у вас есть и то, и другое. Я буду вашим проводником!

Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было 60 монет достоинством 1 дукат и 60 монет достоинством 5 дукатов.
а) Получится ли поделить все деньги поровну между 18 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
б) Получится ли поделить все деньги поровну между 40 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?

 

Смело начнем с первого пункта задачи. И сразу получим ответ! Считайте, что вы только начали копать в выбранном месте – и тут же нашли первую золотую монетку, то есть 1 балл за пункт (а)!

а) Получится ли поделить все деньги поровну между 18 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?

Да, получится. Каждый пират получит по 20 дукатов. Потому что всего в сундуке 60 \cdot 5 + 60 \cdot 1 = 360 дукатов, и 360 отлично делится на 18.

Например, дележка может происходить следующим образом:

– Сначала раздаем все монеты по 5 дукатов. Ровно 15 пиратов получат по 4 таких монеты каждый, то есть по 20 дукатов, а оставшиеся 3 пирата получают по 20 дукатов монетами по 1 дукату.

Главное – чтобы пираты не перессорились и не укокошили друг друга во время раздачи монет. Но это уже проблема капитана пиратов, а не наша.

А мы продолжим нашу «добычу баллов» за задачу 19.

б) Получится ли поделить все деньги поровну между 40 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?


Нет, не получится. Если всего 40 пиратов, то каждый из них собирается получить 360 : 40 = 9 дукатов. Однако 9 не делится на 5 нацело. При делении 9 на 5 мы получаем в остатке 4. Это значит, что каждому пирату придется выдать не менее 4 монет по 1 дукату.

Но такого количества монет по 1 дукату в сундуке нет. Предположив, что 40 пиратов смогут разделить сокровище поровну, получаем противоречие с условием.

Что-то подозрительно легко достались нам первые 2 балла.  Но 2 монеты – это еще не клад. Копаем дальше?

в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?

…Именно здесь потерпели поражение многие из тех «кладоискателей», которые опубликовали в интернете решения этой задачи. «В условии ошибка!» - заявляли они. – «Здесь клада нет! Дайте нам другую карту!»

Разберемся с условием задачи.

Вам тоже показалось, что количество пиратов может быть каким угодно? Что мы можем увеличивать его хоть до тысячи чертей, просто добавляя пиратов, которым, согласно условию, будет полагаться 0 монет?

Однако не все так просто.

Предположим, что в команде 40 пиратов. Конечно, капитан может тайно присвоить все 360 дукатов, нейтрализовать с помощью бочки рома остальных пиратов (получивших в итоге по 0 монет), удачно скрыться от них и начать новую, умеренную и добропорядочную жизнь. Однако условие задачи в этом случае не выполнено.

По условию, пиратов должно быть столько, чтобы капитан смог «поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать». Какой же способ для капитана будет самым трудным?

Очевидно, такой, при котором ему не хватит монет достоинством в 1 дукат. Например, поделить 360 дукатов между 40 пиратами поровну не получится. Это доказано в пункте (б).

Вот в чем разница! На вопрос: «Существует ли в этой задаче какой-нибудь способ поделить 360 монет между 40 пиратами?» ответ: «Да». А на вопрос: «Можно ли в условиях задачи поровну поделить 360 монет между 40 пиратами?» – ответ: «Нет».

В пункте (в) речь идет именно о том, чтобы поделить деньги между пиратами любым возможным способом. Лишь бы в сумме получилось 60 монет по 5 дукатов и 60 монет по 1 дукату, и каждый пират получил целое количество дукатов.

Пусть пиратов 15. Даже если деньги распределены так, что каждому из 15 пиратов придется выдать по 4 монеты в 1 дукат, мы сможем это сделать, имея 60 = 15 \cdot 4 таких монет. Да, похоже, задача составлена по мотивам песни из детской книги «Остров сокровищ»: «15 человек на сундук мертвеца…»

Если пиратов 17, то мы можем подобрать такое распределение денег, что раздать их в условиях задачи будет невозможно. Например, капитан захотел каждому из 16 членов своей команды выдать по 4 дуката, а себе забрать остальное. Сделать этого он не сможет: у него не найдется 64 = 16 \cdot 4 монет по 1 дукату.

– Значит, ответ: 15?

– Не спешите! Мы еще не проверили, что же будет в случае 16 пиратов.

На первый взгляд кажется, что и для 16 пиратов можно подобрать такое распределение денег, что капитан не сможет их раздать. Например, поделить нацело 360 монет на 16 пиратов невозможно. Но это и не требуется по условию. Проверим, сможет ли капитан раздать любым способом все 60 монет по 5 дукатов и 60 монет по 1 дукату, так что каждый пират получит целое количество дукатов.

Предположим, что все пираты вместе с капитаном построились в одну шеренгу. Пусть i – порядковый номер пирата в этой шеренге: первый, второй, третий, i-тый… Да, математики говорят именно так: i-тый.

Пусть каждый пират получает в результате сумму денег, равную s_i 

Пусть r_i – остаток от деления суммы, полученной i-тым пиратом, на 5. Тогда s_i = 5 \cdot n_i + r_i.

Каждый пират получил некоторую сумму 5 \cdot n_i, кратную 5, и еще остаток от деления на 5, который равен r_i и может быть выдан только монетами по 1 дукату.

Очевидно, что самый сложный для капитана случай – когда остатки от деления всех s_i на 5 равны 4, то есть все r_i равны 4.

Действительно, тогда сумма остатков 4 \cdot 16 = 64, и у капитана не хватит монет по 1 дукату.

– Значит, все-таки 16 пиратов не смогут разделить деньги, и ответ в пункте (в) – пятнадцать?

– Не спешите! Проверим, возможен ли такой случай, когда все остатки от деления на 5, то есть все r_i, равны 4. Сложим все s_i  и все r_i. Очевидно, что сумма всех s_i равна 360 (общее количество дукатов). В математике это записывается так:

Сумму всех остатков от деления на 5 обозначим R.

Получим:

360 = 5 N + R, где N – сумма всех n_i.

Но тогда R = 360 – 5N.

Правая часть этого уравнения делится на 5. Значит, сумма всех остатков R делится на 5.

Очевидно, для любого распределения монет R \leq  4 \cdot 16 = 64, и при этом R  делится на 5.

Значит, R \leq 60. Прекрасно! У капитана не будет недостатка в монетах по 1 дукату: их понадобится не больше 60, и в случае, если пиратов 16, трудностей не должно быть.

Как вы думаете – решение задачи закончено или чего-то не хватает?

Конечно, не закончили! Осталось непонятно, как же все-таки нужно раздавать дукаты. С каких монет начинать?

Будем действовать следующим образом.

Сначала вычислим остатки от деления всех s_i на 5. Раздадим эти остатки монетами по 1 дукату. Мы выяснили, что это сделать можно, потому что сумма всех остатков R \leq 60.

Оставшаяся сумма кратна 5. Раздаем все 5-дукатные монеты и после этого (если остались) монеты по 1 дукату.

Окончательный ответ: 16.

Мой полный курс по задаче 19 Профильного ЕГЭ по математике – здесь

 

 

Анна Малкова