а) Решите уравнение: \(\displaystyle (x^2+2x-2)(log_3(x^2-5)+log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{5}-x))=0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3,5; -2,8].
Решение:
а) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, уравнение равносильно системе:
.
Корни уравнения \(x^2+2x-2=0\) - это \(x=\sqrt{3}-1\) или \(x=\sqrt{3}-1.\)
Получим: 
.
Левую часть уравнения \(log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=0\) упростим по формуле разности логарифмов:
\(\displaystyle log_a b - log_a c = log_ a \frac{b}{c}.\)
Получим: \(\displaystyle log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=log_3 \frac{x^2-5}{\sqrt{5}-x}=log_3(-x-\sqrt{5}).\)
Так как \(x-\sqrt{5} \, \textless \, 0,\) выражение \((x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})\) положительно, только если \(x+\sqrt{5} \, \textless \,0.\)
Значит, \(-x-\sqrt{5}\, \textgreater \, 0.\)
Система примет вид:
.
Поскольку \(x=\sqrt{3}-1\) положительные числа, для него не выполняются условия \(x \, \textless \, -\sqrt{5}.\)
Если \(x=-\sqrt{5}-1,\) получим: \(-\sqrt{5}-1 \, \textless \, -\sqrt{5}.\)
Сравним \(-\sqrt{3}-1\) и \(-\sqrt{5}.\)
\(-\sqrt{3}-1 \vee -\sqrt{5};\)
\(\sqrt{5}- \sqrt{3} \vee 1;\)
\((\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \vee 1;\)
\(5 - 2 \sqrt{15}+3 \vee 1;\)
\(7 \vee 2\sqrt{15};\)
\(49 \vee 4 \cdot 15;\)
\(49 \, \textless \, 60,\) значит, \(-\sqrt{3} - 1 \, \textless \, -\sqrt{5}. \)
Уравнение имеет 2 корня:
\(x = -\sqrt{3}-1\) или \(x=-\sqrt{5}-1.\)
б) Найдём корни на отрезке \(x \in [-3,5; -2,8].\)
1) Для корня \(x_1 = -\sqrt{3}-1\) проверим выполнение неравенства:
\(-3,8 \, \textless \, -\sqrt{3}-1 \, \textless \, -2,8;\)
\(-4,8\, \textless \, \-\sqrt{3}\, \textless \, -1,8;\)
\(1,8\, \textless \, \sqrt{3}\, \textless \, 4,8.\)
Неравенство не выполняется, так как \(1,8^2=3,24\, \textgreater \, 3.\)
Значит, \(x-1 = -\sqrt{3}-1\) не лежит на указанном отрезке.
2) Для корня \(x_2 = -\sqrt{5}-1\) проверим выполнение неравенства:
\(-3,8\, \textless \, -\sqrt{5}-1\, \textless \, -2,8;\)
\(-4,8-\sqrt{5}\, \textless \, -1,8;\)
\(1,8\, \textless \, \sqrt{5}\, \textless \, 4,8;\)
\(3,24\, \textless \, 5\, \textless \, 23,04\) - верно.
Ответ: а) \(-1-\sqrt{5}; -1-\sqrt{3}.\)
б) \(-1-\sqrt{5}.\)
В этом уравнении главное – не забыть об ОДЗ логарифмической функции. Дополнительная сложность: сравнение десятичных дробей и иррациональных чисел в пункте (б).
