а) Решите уравнение: \(\displaystyle (x^2+2x-2)(log_3(x^2-5)+log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{5}-x))=0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3,5; -2,8].\)
Решение:
а) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, уравнение равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x^{2}+2x-2=0, \\log_{3}(x^{2}-5)+log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{5}-x)=0,
\end{matrix}\right. \\x^{2}-5> 0,
\\\sqrt{5}-x> 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x^{2}+2x-2=0, \\log_{3}(x^{2}-5)-log_{3}(\sqrt{5}-x)=0,
\end{matrix}\right. \\(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})> 0,
\\x-\sqrt{5}> 0.
\end{matrix}\right. \)
Корни уравнения \(x^2+2x-2=0\) — это \(x=\sqrt{3}-1\) или \(x=\sqrt{3}-1.\)
Получим: \(x^2+2x-2 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x=\sqrt{3}-1, \\x=-\sqrt{3}-1.
\end{matrix}\right.\)
Левую часть уравнения \(log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=0\) упростим по формуле разности логарифмов:
\(\displaystyle log_a b - log_a c = log_ a \frac{b}{c}.\)
Получим: \(\displaystyle log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=log_3 \frac{x^2-5}{\sqrt{5}-x}=log_3(-x-\sqrt{5}).\)
Так как \(x-\sqrt{5} < 0,\) выражение \((x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})\) положительно, только если \(x+\sqrt{5} < 0.\)
Значит, \(-x-\sqrt{5} > 0.\)
Система примет вид:
\(\left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x=\sqrt{3}-1 ,\\x=-\sqrt{3}-1,
\\log_{3}(-x-\sqrt{5})=0,
\end{matrix}\right. \\x-\sqrt{5}< 0,
\\-x-\sqrt{5}> 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x=\sqrt{3}-1 ,\\x=-\sqrt{3}-1,
\\-x-\sqrt{5}=1,
\end{matrix}\right. \\x< \sqrt{5},
\\x< -\sqrt{5};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x=\sqrt{3}-1, \\x=-\sqrt{3}-1,
\\x=-\sqrt{5}-1,
\end{matrix}\right. \\x< -\sqrt{5}.
\end{matrix}\right.\)
Поскольку \(x=\sqrt{3}-1\) положительные числа, для него не выполняются условия \(x < -\sqrt{5}.\)
Если \(x=-\sqrt{5}-1,\) получим: \(-\sqrt{5}-1 < -\sqrt{5}.\)
Сравним \(-\sqrt{3}-1\) и \(-\sqrt{5}.\)
\(-\sqrt{3}-1 \vee -\sqrt{5};\)
\(\sqrt{5}- \sqrt{3} \vee 1;\)
\((\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \vee 1;\)
\(5 - 2 \sqrt{15}+3 \vee 1;\)
\(7 \vee 2\sqrt{15};\)
\(49 \vee 4 \cdot 15;\)
\(49 < 60,\) значит, \(-\sqrt{3} - 1 < -\sqrt{5}. \)
Уравнение имеет 2 корня:
\(x = -\sqrt{3}-1\) или \(x=-\sqrt{5}-1.\)
б) Найдём корни на отрезке \(x \in [-3,5; -2,8].\)
1) Для корня \(x_1 = -\sqrt{3}-1\) проверим выполнение неравенства:
\(-3,8 < -\sqrt{3}-1 < -2,8;\)
\(-4,8< -\sqrt{3}< -1,8;\)
\(1,8< \sqrt{3}< 4,8.\)
Неравенство не выполняется, так как \(1,8^2=3,24 > 3.\)
Значит, \(x-1 = -\sqrt{3}-1\) не лежит на указанном отрезке.
2) Для корня \(x_2 = -\sqrt{5}-1\) проверим выполнение неравенства:
\(-3,8< -\sqrt{5}-1 < -2,8;\)
\(-4,8-\sqrt{5} < -1,8;\)
\(1,8 < \sqrt{5} < 4,8;\)
\(3,24 < 5 < 23,04\) — верно.
Ответ: а) \(-1-\sqrt{5}; -1-\sqrt{3}.\)
б) \(-1-\sqrt{5}.\)
В этом уравнении главное – не забыть об ОДЗ логарифмической функции. Дополнительная сложность: сравнение десятичных дробей и иррациональных чисел в пункте (б).
