Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 1

а) Решите уравнение: $\displaystyle (x^2+2x-2)(log_3(x^2-5)+log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{5}-x))=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3,5; -2,8].

Решение:
а) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, уравнение равносильно системе:

Корни уравнения $x^2+2x-2=0$ - это $x=\sqrt{3}-1$ или $x=\sqrt{3}-1.$

Получим: .

Левую часть уравнения $log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=0$ упростим по формуле разности логарифмов:

$\displaystyle log_a b - log_a c = log_ a \frac{b}{c}.$

Получим: $\displaystyle log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=log_3 \frac{x^2-5}{\sqrt{5}-x}=log_3(-x-\sqrt{5}).$

Так как $x-\sqrt{5} \, \textless \, 0,$ выражение $(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$ положительно, только если $x+\sqrt{5} \, \textless \,0.$

Значит, $-x-\sqrt{5}\, \textgreater \, 0.$

Система примет вид:

Поскольку $x=\sqrt{3}-1$ положительные числа, для него не выполняются условия $x \, \textless \, -\sqrt{5}.$

Если $x=-\sqrt{5}-1,$ получим: $-\sqrt{5}-1 \, \textless \, -\sqrt{5}.$

Сравним $-\sqrt{3}-1$ и $-\sqrt{5}.$

$-\sqrt{3}-1 \vee -\sqrt{5};$

$\sqrt{5}- \sqrt{3} \vee 1;$

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \vee 1;$

$5 - 2 \sqrt{15}+3 \vee 1;$

$7 \vee 2\sqrt{15};$

$49 \vee 4 \cdot 15;$

$49 \, \textless \, 60,$ значит, $-\sqrt{3} - 1 \, \textless \, -\sqrt{5}.$

Уравнение имеет 2 корня:

$x = -\sqrt{3}-1$ или $x=-\sqrt{5}-1.$

б) Найдём корни на отрезке $x \in [-3,5; -2,8].$

1) Для корня $x_1 = -\sqrt{3}-1$ проверим выполнение неравенства:

$-3,8 \, \textless \, -\sqrt{3}-1 \, \textless \, -2,8;$

$-4,8\, \textless \, \-\sqrt{3}\, \textless \, -1,8;$

$1,8\, \textless \, \sqrt{3}\, \textless \, 4,8.$

Неравенство не выполняется, так как $1,8^2=3,24\, \textgreater \, 3.$

Значит, $x-1 = -\sqrt{3}-1$ не лежит на указанном отрезке.

2) Для корня $x_2 = -\sqrt{5}-1$ проверим выполнение неравенства:

$-3,8\, \textless \, -\sqrt{5}-1\, \textless \, -2,8;$

$-4,8-\sqrt{5}\, \textless \, -1,8;$

$1,8\, \textless \, \sqrt{5}\, \textless \, 4,8;$

$3,24\, \textless \, 5\, \textless \, 23,04$ - верно.

Ответ: а) $-1-\sqrt{5}; -1-\sqrt{3}.$
б) $-1-\sqrt{5}.$

В этом уравнении главное – не забыть об ОДЗ логарифмической функции. Дополнительная сложность: сравнение десятичных дробей и иррациональных чисел в пункте (б).

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 1» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 06.09.2023

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 1

Это полезно