previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 1

а) Решите уравнение \displaystyle (x^2+2x-2)(log_3(x^2-5)log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{5}-x))=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3,5; -2,8].

Решение:
а) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, уравнение равносильно системе:

Корни уравнения x^2+2x-2=0 - это x=\sqrt{3}-1 или x=\sqrt{3}-1

Получим: 

Левую часть уравнения log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=0 упростим по формуле разности логарифмов:

\displaystyle log_a b - log_a c = log_ a \frac{b}{c}. Получим:

\displaystyle log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=log_3 \frac{x^2-5}{\sqrt{5}-x}=log_3(-x-\sqrt{5})

Так как x-\sqrt{5} \, \textless \, 0, выражение (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}) положительно, только если x+\sqrt{5} \, \textless \,0.

Значит, -x-\sqrt{5}\, \textgreater \, 0.

Система примет вид:

Поскольку x=\sqrt{3}-1 положительные числа, для него не выполняются условия x \, \textless \, -\sqrt{5}.

Если x=-\sqrt{5}-1, получим: -\sqrt{5}-1 \, \textless \, -\sqrt{5}.

Сравним -\sqrt{3}-1 и -\sqrt{5}.

-\sqrt{3}-1 \vee -\sqrt{5}

\sqrt{5}- \sqrt{3} \vee 1

(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \vee 1

5 - 2 \sqrt{15}+3 \vee 1

7 \vee 2\sqrt{15}

49 \vee 4 \cdot 15;

49 \, \textless \, 60, значит, -\sqrt{3} - 1 \, \textless \, -\sqrt{5}.

Уравнение имеет 2 корня:

x = -\sqrt{3}-1 или x=-\sqrt{5}-1.

б) Найдём корни на отрезке x \in [-3,5; -2,8].

1) Для корня x_1 = -\sqrt{3}-1 проверим выполнение неравенства -3,8 \, \textless \, -\sqrt{3}-1 \, \textless \, -2,8

-4,8\, \textless \, \-\sqrt{3}\, \textless \, -1,8

1,8\, \textless \, \sqrt{3}\, \textless \, 4,8

неравенство не выполняется, так как 1,8^2=3,24\, \textgreater \, 3.

Значит, x-1 = -\sqrt{3}-1 не лежит на указанном отрезке.

2) Для корня x_2 = -\sqrt{5}-1 проверим выполнение неравенства:

-3,8\, \textless \, -\sqrt{5}-1\, \textless \, -2,8

-4,8-\sqrt{5}\, \textless \, -1,8

1,8\, \textless \, \sqrt{5}\, \textless \, 4,8

3,24\, \textless \, 5\, \textless \, 23,04 - верно.

Ответ: а) -1-\sqrt{5}; -1-\sqrt{3}
б) -1-\sqrt{5}.

В этом уравнении главное – не забыть об ОДЗ логарифмической функции. Дополнительная сложность: сравнение десятичных дробей и иррациональных чисел в пункте (б).