а) Решите уравнение: \((-2 \cos^2 x+ \sin x+1) \cdot log_{0,5}(- 0,8 \cos x)=0.\)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-6 \pi; -4 \pi].\)
Решение:
а) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, уравнение равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
-2cos^{2}x+sinx+1=0, \\log_{0,5}(-0,8cosx)=0,
\end{matrix}\right. \\-0,8cosx> 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
2cos^{2}x-sinx-1=0, \\-0,8cosx=1,
\end{matrix}\right. \\cosx< 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
2(1-sin^{2}x)-sinx-1=0, \\cosx=-\displaystyle\frac{5}{4},
\end{matrix}\right. \\cosx< 0.
\end{matrix}\right.\)
Уравнение \(\displaystyle \cos x = -\frac{5}{4}\) не имеет решений, так как \(|\cos x|\leq q.\)
Решим уравнение: \(2(1 - \sin^2 x)-\sin x-1=0\).
\(2 - 2 \sin^2 x- \sin x -1=0.\)
Сделаем замену: \(\sin x = t, \, |t|\leq 1.\)
\(-2t^2 - t+1 = 0;\)
\(\displaystyle 2t^2+t-1=0; \, D = 9; \, t = \frac{1}{2}\) или \(t = -1.\)
Получим: \(\left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
sinx=\displaystyle \frac{1}{2},\\sinx=-1,
\end{matrix}\right. \\cosx< 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x=\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n, \ n\in Z, \\x=\displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi n,
\\x=-\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k, \ k\in Z
\end{matrix}\right. \\ cosx< 0.
\end{matrix}\right.\)
Условию \(\displaystyle \cos x < 0\) удовлетворяет только серия \(x = \displaystyle \frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, \, n \in Z.\)
б) Найдём корни на отрезке \(x \in [-6 \pi ; - 4\pi]\) с помощью двойного неравенства:
\(\displaystyle -6 \pi \leq \frac{5 \pi}{6} +2 \pi n \leq -4 \pi;\)
\(\displaystyle -6 \leq \frac{5}{6}+2n \leq -4;\)
\(\displaystyle -6 \frac{5}{6}\leq 2n \leq - 4 \frac{5}{6};\)
\(\displaystyle -\frac{41}{12}\leq n \leq \frac{29}{12}; \, n \in Z,\) значит \(n = -3.\)
Тогда \(\displaystyle x = \frac{5 \pi}{6}-6 \pi = - \frac{31 \pi }{6}.\)
