previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 11

а) Решите уравнение (-2 \cos^2 x+ \sin x+1) \cdot log_{0,5}(- \cos x)=0.
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-6 \pi; -4 \pi].

Решение:
а) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, уравнение равносильно системе:

Уравнение \displaystyle \cos x = -\frac{5}{4} не имеет решений, так как |\cos x|\leq q.

Решим уравнение 2(1 - \sin^2 x)-\sin x-1=0

2 - 2 \sin^2 x- \sin x -1=0

Сделаем замену \sin x = t, \, \, |t|\leq 1.

-2t^2 - t+1 = 0

\displaystyle 2t^2+t-1=0; \, \, \, D = 9; \, \, \, t = \frac{1}{2} или t = -1.

Получим:

Условию \displaystyle \cos x \, \textless \, 0 удовлетворяет только серия x = \frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, \, n \in Z.

б) Найдём корни на отрезке x \in [-6 \pi ; - 4\pi] с помощью двойного неравенства.

\displaystyle -6 \pi \leq \frac{5 \pi}{6} +2 \pi n \leq -4 \pi

\displaystyle -6 \leq \frac{5}{6}+2n \leq -4

\displaystyle -6 \frac{5}{6}\leq 2n \leq - 4 \frac{5}{6}

\displaystyle -\frac{41}{12}\leq n \leq \frac{29}{12}; \, n \in Z, значит n = -3

Тогда \displaystyle x = \frac{5 \pi}{6}-6 \pi = - \frac{31 \pi }{6}.