а) Решите уравнение: \(16^x - 7 \cdot 8^x - 2^{x+3}+56=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([2; log_{2} 10].\)
Решение:
\(16^x - 7 \cdot 8^x - 2^{x+3}+56=0.\)
Замена переменной \(2^x = t, \, t \, \textgreater \, 0.\)
Тогда \(16^x=t^4, \, 8^x=t^3.\)
Получим:
\(t^4 - 7t^3 - 8t + 56 = 0;\)
\(t^3(t-7)-8(t-7)=0;\)
\((t-7)(t^3-8)=0. \)
Разложим множитель \(t^3 - 8\) по формуле разности кубов:
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).\)
Получим:
\((t-7)(t-2)(t^2+2t+4)=0;\)
\(t^2+2t+4 \ne 0,\) т.к. \(D=4-16 \, \textless \, 0.\)
Значит, \((t-7)(t-2)=0.\)
Вернёмся к переменной \(x\).
Найдём корни уравнения на отрезке \([2; \log_2 10].\)
\(x_1=1\, \textless \, 2\) - не выходит в указанный отрезок.
\(x_2 = \log_2 7.\)
Так как \(2 = \log_2 4; \, 4\, \textless \, 7\, \textless \, 10,\) а функция \(y = \log_2 7\) монотонно возрастает, и если \(z_1\, \textless \, z_2,\) то \(\log_2 z_1\, \textless \, \log_2 z_2,\) получим:
\(\log_2 4 \, \textless \, \log_2 7 \, \textless \, \log_2 10.\)
Корень \(x_2 = \log_2 7\) лежит на указанном отрезке.
Ответ: а) \(x=1 \) или \(x= \log_2 7.\)
б) \(\log_2 7.\)
