Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 17

а) Решите уравнение: $16^x - 7 \cdot 8^x - 2^{x+3}+56=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2; log_{2} 10].$

Решение:

$16^x - 7 \cdot 8^x - 2^{x+3}+56=0.$

Замена переменной $2^x = t, \, t \, \textgreater \, 0.$

Тогда $16^x=t^4, \, 8^x=t^3.$

Получим:

$t^4 - 7t^3 - 8t + 56 = 0;$

$t^3(t-7)-8(t-7)=0;$

$(t-7)(t^3-8)=0.$

Разложим множитель $t^3 - 8$ по формуле разности кубов:

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$

Получим:

$(t-7)(t-2)(t^2+2t+4)=0;$

$t^2+2t+4 \ne 0,$ т.к. $D=4-16 \, \textless \, 0.$

Значит, $(t-7)(t-2)=0.$

Вернёмся к переменной $x$ .

Найдём корни уравнения на отрезке $[2; \log_2 10].$

$x_1=1\, \textless \, 2$ - не выходит в указанный отрезок.

$x_2 = \log_2 7.$

Так как $2 = \log_2 4; \, 4\, \textless \, 7\, \textless \, 10,$ а функция $y = \log_2 7$ монотонно возрастает, и если $z_1\, \textless \, z_2,$ то $\log_2 z_1\, \textless \, \log_2 z_2,$ получим:

$\log_2 4 \, \textless \, \log_2 7 \, \textless \, \log_2 10.$

Корень $x_2 = \log_2 7$ лежит на указанном отрезке.

Ответ: а) $x=1$ или $x= \log_2 7.$

б) $\log_2 7.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 17» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 17

Это полезно