previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 17

а) Решите уравнение 16^x - 7 \cdot 8^x - 2^{x+3}+56=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; log_{2} 10].

Решение

16^x - 7 \cdot 8^x - 2^{x+3}+56=0.

Замена переменной 2^x = t, \, t \, \textgreater \, 0.

Тогда 16^x=t^4, \, 8^x=t^3.

Получим:

t^4 - 7t^3 - 8t + 56 = 0
t^3(t-7)-8(t-7)=0

(t-7)(t^3-8)=0

Разложим множитель t^3 - 8 по формуле разности кубов:

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).

Получим:

(t-7)(t-2)(t^2+2t+4)=0

t^2+2t+4 \ne 0, т.к. D=4-16 \, \textless \, 0

Значит, (t-7)(t-2)=0;

Вернёмся к переменной x.

Найдём корни уравнения на отрезке [2; \log_2 10].

x_1=1\, \textless \, 2 - не выходит в указанный отрезок

x_2 = \log_2 7.

Так как 2 = \log_2 4; \, 4\, \textless \, 7\, \textless \, 10, а функция y = \log_2 7 монотонно возрастает, и если z_1\, \textless \, z_2, то \log_2 z_1\, \textless \, \log_2 z_2, получим:

\log_2 4 \, \textless \, \log_2 7 \, \textless \, \log_2 10.

Корень x_2 = \log_2 7 лежит на указанном отрезке.

Ответ: а) x=1 или x= \log_2 7

б) \log_2 7.