а) Решите уравнение: \(\displaystyle \left(3 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}+3x\right)+4 \cos^3 3x\right)\sqrt{tg 3x}=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right].\)
Решение:
а) \(\displaystyle \left(3 \sin \left (\frac{3 \pi}{2}+3x\right)+4 \cos^3 3x\right)\sqrt{tg 3x}=0.\)
Сделаем замену переменной: \(3x = t.\)
Применим формулу приведения: \(\displaystyle \sin \left (\frac{3 \pi}{2}+3x\right )=\sin \left (\frac{3 \pi}{2}+t\right )= -\cos t.\)
Получим:
\((4 \cos^3 t - 3 \cos t)\sqrt{tg t}=0;\)
\(\cos t(4 \cos^2 t-3)\cdot \sqrt{tg t}=0.\)
ОДЗ: \(\left\{\begin{matrix} tg t \leq 0,\\ \cos t \ne 0. \end{matrix}\right. \)
Поделим обе части уравнения на cos \(t \ne 0.\)
\((4 \cos^2 t -3)\sqrt{tg t} = 0 \Leftrightarrow (2\cos t - \sqrt{3})(2 \cos t +\sqrt{3}) \cdot \sqrt {tg t}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
cost=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, \\cost=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2},
\\tgt=0,
\end{matrix}\right. \\tgt\geq 0.
\end{matrix}\right.\)
Решим систему с помощью тригонометрического круга:
Решение системы:
\(\displaystyle t = \frac{\pi}{6}+\pi n \, n \in Z\) или \(t = \pi n.\)
Вернёмся к переменной \(\displaystyle x = \frac{t}{3}.\)
\(\displaystyle x = \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}\) или \(x = \displaystyle \frac{\pi n}{3}, \, n \in z.\)
б) Найдём корни на отрезке \(\displaystyle \left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]\) с помощью двоинчных неравенств.
1) Серия \(\displaystyle x = \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi n}{3}.\)
\(\displaystyle \pi \leq \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}\leq \frac{3 \pi}{2};\)
\(\displaystyle 1 \leq \frac{1}{18}+n \leq \frac{9}{2};\)
\(\displaystyle 3 \leq \frac{1}{6}+n\leq \frac{9}{2};\)
\(\displaystyle 2 \frac{5}{6}\leq n \leq 4 \frac{1}{3};\)
\(n= 3\) или \(n = 4. \)
Тогда \(\displaystyle x = \frac{\pi}{18}+\pi = \frac{19 \pi}{18}\) или \(\displaystyle x = \frac{\pi}{18}+\frac{4 \pi}{3} = \frac{25 \pi}{18}.\)
2) Серия \(\displaystyle x = \frac{\pi n}{3}.\)
\(\displaystyle \pi \leq \frac{\pi n}{3} \leq \frac{3 \pi}{2};\)
\(\displaystyle 3 \leq n \leq 4,5; \, n = 3\) или \(n = 4;\)
\(\displaystyle x = \pi\) или \(\displaystyle x = \frac{4 \pi}{3}.\)
Ответ: а) \(\displaystyle \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}; \, \frac{\pi n}{3}, \, n \in Z.\)
б) \(\displaystyle \frac{19 \pi}{18}; \, \frac{25 \pi}{18}; \, \pi, \, \frac{4 \pi}{3}.\)
Обратите внимание на область допустимых значений уравнения. Поскольку в уравнении содержится функция \(tg x\), появляется условие \(cosx\) не равен нулю.