previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 22

а) Решите уравнение \displaystyle (3 \sin (\frac{3 \pi}{2}+3x)+4 \cos^3 3x)\sqrt{tg 3x}=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle [\pi; \frac{3\pi}{2}]

Решение: а) \displaystyle (3 \sin (\frac{3 \pi}{2}+3x)+4 \cos^3 3x)\sqrt{tg 3x}=0.

Сделаем замену переменной 3x = t.

Применим формулу приведения

\displaystyle \sin (\frac{3 \pi}{2}+3x)=\sin (\frac{3 \pi}{2}+t)= -\cos t

Получим:
(4 \cos^3 t - 3 \cos t)\sqrt{tg t}=0

\cos t(4 \cos^2 t-3)\cdot \sqrt{tg t}=0

ОДЗ: \left\{\begin{matrix}tg t \leq 0\\ \cos t \ne 0\end{matrix}\right. .

Поделим обе части уравнения на cos t \ne 0

(4 \cos^2 t -3)\sqrt{tg t} = 0 \Leftrightarrow (2\cos t - \sqrt{3})(2 \cos t +\sqrt{3}) \cdot \sqrt {tg t}=0 \Leftrightarrow

Решим систему с помощью тригонометрического круга

Решение системы:

\displaystyle t = \frac{\pi}{6}+\pi n \, n \in Z или t = \pi n.

Вернёмся к переменной \displaystyle x = \frac{t}{3}.

\displaystyle x = \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3} или x = \frac{\pi n}{3}, \, n \in z.

б) Найдём корни на отрезке \displaystyle [\pi; \frac{3 \pi}{2}] с помощью двоинчных неравенств.

1) серия \displaystyle x = \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi n}{3}.

\displaystyle \pi \leq \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}\leq \frac{3 \pi}{2}

\displaystyle 1 \leq \frac{1}{18}+n \leq \frac{9}{2}

\displaystyle 3 \leq \frac{1}{6}+n\leq \frac{9}{2}

\displaystyle 2 \frac{5}{6}\leq n \leq 4 \frac{1}{3}; \, n= 3 или n = 4

Тогда \displaystyle x = \frac{\pi}{18}+\pi = \frac{19 \pi}{18} или \displaystyle x = \frac{\pi}{18}+\frac{4 \pi}{3} = \frac{25 \pi}{18}

2) Серия \displaystyle x = \frac{\pi n}{3};

\displaystyle \pi \leq \frac{\pi n}{3} \leq \frac{3 \pi}{2}

\displaystyle 3 \leq n \leq 4,5; \, n = 3 или n = 4,

\displaystyle x = \pi или \displaystyle x = \frac{4 \pi}{3}.

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}; \, \frac{\pi n}{3}, \, n \in Z

б) \displaystyle \frac{19 \pi}{18}; \, \frac{25 \pi}{18}; \, \pi, \, \frac{4 \pi}{3}.

Обратите внимание на область допустимых значений уравнения. Поскольку в уравнении содержится функция tg x, появляется условие cos x не равен нулю.