Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 22

а) Решите уравнение $\displaystyle (3 \sin (\frac{3 \pi}{2}+3x)+4 \cos^3 3x)\sqrt{tg 3x}=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle [\pi; \frac{3\pi}{2}].$

Решение:

а) $\displaystyle (3 \sin (\frac{3 \pi}{2}+3x)+4 \cos^3 3x)\sqrt{tg 3x}=0.$

Сделаем замену переменной $3x = t.$

Применим формулу приведения:

$\displaystyle \sin (\frac{3 \pi}{2}+3x)=\sin (\frac{3 \pi}{2}+t)= -\cos t.$

Получим:

$(4 \cos^3 t - 3 \cos t)\sqrt{tg t}=0;$

$\cos t(4 \cos^2 t-3)\cdot \sqrt{tg t}=0.$

ОДЗ: $\left\{\begin{matrix}tg t \leq 0\\ \cos t \ne 0\end{matrix}\right. .$

Поделим обе части уравнения на cos $t \ne 0.$

$(4 \cos^2 t -3)\sqrt{tg t} = 0 \Leftrightarrow (2\cos t - \sqrt{3})(2 \cos t +\sqrt{3}) \cdot \sqrt {tg t}=0 \Leftrightarrow$

Решим систему с помощью тригонометрического круга

Решение системы:

$\displaystyle t = \frac{\pi}{6}+\pi n \, n \in Z$ или $t = \pi n.$

Вернёмся к переменной $\displaystyle x = \frac{t}{3}.$

$\displaystyle x = \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}$ или $x = \frac{\pi n}{3}, \, n \in z.$

б) Найдём корни на отрезке $\displaystyle [\pi; \frac{3 \pi}{2}]$ с помощью двоинчных неравенств.

1) Серия $\displaystyle x = \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi n}{3}.$

$\displaystyle \pi \leq \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}\leq \frac{3 \pi}{2};$

$\displaystyle 1 \leq \frac{1}{18}+n \leq \frac{9}{2};$

$\displaystyle 3 \leq \frac{1}{6}+n\leq \frac{9}{2};$

$\displaystyle 2 \frac{5}{6}\leq n \leq 4 \frac{1}{3}; [math]n= 3$ или $n = 4.$

Тогда $\displaystyle x = \frac{\pi}{18}+\pi = \frac{19 \pi}{18}$ или $\displaystyle x = \frac{\pi}{18}+\frac{4 \pi}{3} = \frac{25 \pi}{18}.$

2) Серия $\displaystyle x = \frac{\pi n}{3}.$

$\displaystyle \pi \leq \frac{\pi n}{3} \leq \frac{3 \pi}{2};$

$\displaystyle 3 \leq n \leq 4,5; \, n = 3$ или $n = 4;$

$\displaystyle x = \pi$ или $\displaystyle x = \frac{4 \pi}{3}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}; \, \frac{\pi n}{3}, \, n \in Z.$

б) $\displaystyle \frac{19 \pi}{18}; \, \frac{25 \pi}{18}; \, \pi, \, \frac{4 \pi}{3}.$

Обратите внимание на область допустимых значений уравнения. Поскольку в уравнении содержится функция tg x, появляется условие cos x не равен нулю.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 22» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 22

Это полезно