а) Решите уравнение: \((\sqrt{2} \cos^2 x- \cos x)\sqrt{- 6 \sin x}=0.\)
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\displaystyle \left[\frac{5 \pi}{2};4 \pi \right).\)
Решение:
\((\sqrt{2} \cos^2 x- \cos x)\sqrt{- 6 \sin x}=0. \Leftrightarrow \cos x \cdot (\sqrt{2} \cos x - 1)\cdot \sqrt{- 6 \sin x}=0 \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
cosx=0, \\cosx=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2},
\\sinx=0,
\end{matrix}\right. \\sinx\leq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n, \ n\in Z, \\x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi k, \ k\in Z,
\\x=\pi m, \ m\in Z,
\end{matrix}\right. \\sinx\leq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x=-\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n, \ n \in Z,\\x=- \displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi k, \ k\in Z,
\\x=\pi m, \ m\in Z.
\end{matrix}\right.\)
б) Найдём корни на интервале \(\displaystyle \left[\frac{5 \pi}{2};4 \pi \right)\) с помощью единичной окружности.
Видим, что указанному интервалу принадлежат корни:
\(\displaystyle \frac{7 \pi}{2}; \ 3 \pi; \ \frac{15 \pi}{4}.\)
