а) Решите уравнение: \(4 \cdot 256^{\sin x}-65 \cdot 16^{\sin x} +16 =0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left [- \frac{5 \pi}{2};-\pi\right ].\)
Решение:
Сделаем замену: \(16^{\sin x}=t, \ t > 0.\)
Тогда \(256^{\sin x}=t^2.\)
Получим: \(4t^2 - 65t+16 = 0;\)
\(D = 65^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 16 = 65^2 - 16^2 = (65-16)(65+16)=49 \cdot 81; \)
\(\sqrt{D} = 7 \cdot 9 = 63;\)
\(\displaystyle t = \frac{65 \pm 63}{8};\)
\(\displaystyle t_1 = \frac{125}{8} = 16; \ \displaystyle t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.\)
Вернёмся к переменной \(x\):
\(\left[\begin{matrix}
16^{sinx}=16, \\16^{sinx}=\displaystyle \frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
sinx=1, \\sinx=-\displaystyle \frac{1}{2};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n, \ n\in Z, \\x=\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k, \ k\in Z,
\\x=-\displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi k.
\end{matrix}\right.\)
б) Найдём корни уравнения на отрезке \(\displaystyle \left [- \frac{5 \pi}{2};-\pi\right ]\) с помощью единичной окружности.
Отметим на ней отрезок \(\displaystyle \left [- \frac{5 \pi}{2};-\pi\right ]\) и найдём серии решений.
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\; \displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; \; - \frac{3 \pi}{2}.\)
Ответ: а) \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2 \pi n, \, n \in Z; \; - \frac{\pi}{6}+2 \pi k ; \; - \frac{5 \pi}{6}+2 \pi k, \, k \in Z.\)
б) \(\displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; \; - \frac{3\pi}{2}.\)
В этой задаче лучше всего в самом начале сделать замену переменной, решить показательное уравнение, а затем вернуться к переменной \(x\) и решить тригонометрические уравнения.
