previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 6

а) Решите уравнение: 4 \cdot 256^{\sin x}-65 \cdot 16^{\sin x} +16 =0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle [- \frac{5 \pi}{2};-\pi].

Решение:

Сделаем замену 16^{\sin x}=t, t \, \textgreater \, 0.

Тогда 256^{\sin x}=t^2.

Получим: 4t^2 - 65t+16 = 0;

D = 65^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 16 = 65^2 - 16^2 =

= (65-16)(65+16)=49 \cdot 81;

\sqrt{D} = 7 \cdot 9 = 63;

\displaystyle t = \frac{65 \pm 63}{8};

\displaystyle t_1 = \frac{125}{8} = 16;

\displaystyle t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.

Вернёмся к переменной x.

.

б) Найдём корни уравнения на отрезке \displaystyle [- \frac{5 \pi }{2}; - \pi] с помощью единичной окружности. Отметим на ней отрезок [- \frac{5 \pi }{2}; - \pi] и найдём серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; - \frac{3 \pi}{2}.

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi}{2}+2 \pi n, \, n \in Z; - \frac{\pi}{6}+2 \pi k,- \frac{5 \pi}{6}+2 \pi k, \, k \in Z.

б) \displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; - \frac{3\pi}{2}.

В этой задаче лучше всего в самом начале сделать замену переменной, решить показательное уравнение, а затем вернуться к переменной x и решить тригонометрические уравнения.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 6» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023