previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 6

а) Решите уравнение 4 \cdot 256^{\sin x}-65 \cdot 16^{\sin x} +16 =0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle [- \frac{5 \pi}{2};-\pi].

Решение:

Сделаем замену 16^{\sin x}=t, t \, \textgreater \, 0.

Тогда 256^{\sin x}=t^2.

Получим: 4t^2 - 65t+16 = 0

D = 65^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 16 = 65^2 - 16^2 =

= (65-16)(65+16)=49 \cdot 81;

\sqrt{D} = 7 \cdot 9 = 63

\displaystyle t = \frac{65 \pm 63}{8};

\displaystyle t_1 = \frac{125}{8} = 16,

\displaystyle t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

Вернёмся к переменной x.

б) Найдём корни уравнения на отрезке \displaystyle [- \frac{5 \pi }{2}; - \pi] с помощью единичной окружности. Отметим на ней отрезок [- \frac{5 \pi }{2}; - \pi] и найдём серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; - \frac{3 \pi}{2}.

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi}{2}+2 \pi n, \, n \in Z; - \frac{\pi}{6}+2 \pi k,- \frac{5 \pi}{6}+2 \pi k, \, k \in Z;

б) \displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; - \frac{3\pi}{2}.

В этой задаче лучше всего в самом начале сделать замену переменной, решить показательной уравнение, а затем вернуться к переменной х и решить тригонометрические уравнения.