Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 6

а) Решите уравнение: $4 \cdot 256^{\sin x}-65 \cdot 16^{\sin x} +16 =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle [- \frac{5 \pi}{2};-\pi].$

Решение:

Сделаем замену $16^{\sin x}=t, t \, \textgreater \, 0.$

Тогда $256^{\sin x}=t^2.$

Получим: $4t^2 - 65t+16 = 0;$

$D = 65^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 16 = 65^2 - 16^2 =$

$= (65-16)(65+16)=49 \cdot 81;$

$\sqrt{D} = 7 \cdot 9 = 63;$

$\displaystyle t = \frac{65 \pm 63}{8};$

$\displaystyle t_1 = \frac{125}{8} = 16;$

$\displaystyle t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$

Вернёмся к переменной $x$ .

б) Найдём корни уравнения на отрезке $\displaystyle [- \frac{5 \pi }{2}; - \pi]$ с помощью единичной окружности. Отметим на ней отрезок $[- \frac{5 \pi }{2}; - \pi]$ и найдём серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $\displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; - \frac{3 \pi}{2}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi}{2}+2 \pi n, \, n \in Z; - \frac{\pi}{6}+2 \pi k,- \frac{5 \pi}{6}+2 \pi k, \, k \in Z.$

б) $\displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; - \frac{3\pi}{2}.$

В этой задаче лучше всего в самом начале сделать замену переменной, решить показательное уравнение, а затем вернуться к переменной $x$ и решить тригонометрические уравнения.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 6» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 6

Это полезно