Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{2^x+8}{2^x-8}+\frac{2^x-8}{2^x+8} \leq \frac{5 \cdot 2^{x+3}-72}{4^x-64}.\)
Решение:
Сделаем замену: \( 2^x=t, \, t > 0.\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8} \leq \frac{5 \cdot 8t-72}{t^2-64};\)
\(\displaystyle \frac{t^2+16t+t^2-16t+64}{t^2-64} \leq \frac{40t-72}{t^2-64};\)
\(\displaystyle \frac{t^2+64}{t^2-64} \leq \frac{20t-36}{t^2-64};\)
\(\displaystyle \frac{t^2-20t+100}{(t-8)(t+8)} \leq 0;\)
\(\displaystyle \frac{(t-10)^2}{(t-8)(t+8)} \leq 0.\)
Умножим обе части неравенства на \( t+8 > 0:\)
\(\displaystyle \frac{(t-10)^2}{t-8}\leq 0.\)
Решение неравенства: \(\left[\begin{matrix}
t< 8, \\t=10.
\end{matrix}\right. \)
Вернёмся к переменной \(x\):
\(\left[\begin{matrix}
2^{x}< 8, \\2^{x}=10;
\end{matrix}\right. \; \left[\begin{matrix}
x< 3, \\x=log_{2}10.
\end{matrix}\right.\)
Мы воспользовались свойством монотонного возрастания логарифмической функции \( y = \log_a x\) при \( a > 1.\)
Ответ: \(x\in (-\infty; 3) \cup {\log_2 10}.\)
Пожалуйста, обратите внимание: сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной \(t\). И только после этого возвращаемся к переменной \(x\).
Если вы вот так оформите решение задачи 15 на экзамене – вы получите за нее полный балл.
