Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{2^x+8}{2^x-8}+\frac{2^x-8}{2^x+8} \leq \frac{5 \cdot 2^{x+3}-72}{4^x-64}.\)
Решение:
Сделаем замену \(
2^x=t, \, t > 0.\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8} \leq \frac{5 \cdot 8t-72}{t^2-64};\)
\(\displaystyle \frac{t^2+16t+t^2-16t+64}{t^2-64} \leq \frac{40t-72}{t^2-64};\)
\(\displaystyle \frac{t^2+64}{t^2-64} \leq \frac{20t-36}{t^2-64};\)
\(\displaystyle \frac{t^2-20t+100}{(t-8)(t+8)} \leq 0;\)
\(\displaystyle \frac{(t-10)^2}{(t-8)(t+8)} \leq 0.\)
Умножим обе части неравенства на \(
t+8> 0:\)
\(\displaystyle \frac{(t-10)^2}{t-8}\leq 0.\)
Решение неравенства:
.
Вернёмся к переменной \(x\).
.
Мы воспользовались свойством монотонного возрастания показательной функции \(
y = \log_a x\)
при \(
a>1.\)
Ответ: \(
x\in (-\infty; 3) \cup\) {\(\log_2 10\)}
Пожалуйста, обратите внимание: сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной \(t\). И только после этого возвращаемся к переменной \(x\).
Если вы вот так оформите решение задачи 15 на экзамене – вы получите за нее полный балл.
