Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 12

Решите неравенство: $\displaystyle \frac{2^x+8}{2^x-8}+\frac{2^x-8}{2^x+8} \leq \frac{5 \cdot 2^{x+3}-72}{4^x-64}.$

Решение:

Сделаем замену $2^x=t, \, t \, \textgreater \, 0.$

Получим:

$\displaystyle \frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8} \leq \frac{5 \cdot 8t-72}{t^2-64};$

$\displaystyle \frac{t^2+16t+t^2-16t+64}{t^2-64} \leq \frac{40t-72}{t^2-64};$

$\displaystyle \frac{t^2+64}{t^2-64} \leq \frac{20t-36}{t^2-64};$

$\displaystyle \frac{t^2-20t+100}{(t-8)(t+8)} \leq 0;$

$\displaystyle \frac{(t-10)^2}{(t-8)(t+8)} \leq 0.$

Умножим обе части неравенства на $t+8 \, \textgreater \, 0:$

$\displaystyle \frac{(t-10)^2}{t-8}\leq 0.$

Решение неравенства:

Вернёмся к переменной $x$ .

Мы воспользовались свойством монотонного возрастания логарифмической функции $y = \log_a x$
при $a \, \textgreater \, 1.$

Ответ: $x\in (-\infty; 3) \cup {\log_2 10}.$

Пожалуйста, обратите внимание: сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной $t$ . И только после этого возвращаемся к переменной $x$ .
Если вы вот так оформите решение задачи 15 на экзамене – вы получите за нее полный балл.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 12» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 12

Это полезно