Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 12

Решите неравенство $\displaystyle \frac{2^x+8}{2^x-8}+\frac{2^x-8}{2^x+8} \leq \frac{5 \cdot 2^{x+3}-72}{4^x-64}$

Решение:

Сделаем замену $2^x=t, \, t \, \textgreater \, 0$

Получим:

$\displaystyle \frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8} \leq \frac{5 \cdot 8t-72}{t^2-64}$

$\displaystyle \frac{t^2+16t+t^2-16t+64}{t^2-64} \leq \frac{40t-72}{t^2-64}$

$\displaystyle \frac{t^2+64}{t^2-64} \leq \frac{20t-36}{t^2-64}$

$\displaystyle \frac{t^2-20t+100}{(t-8)(t+8)} \leq 0$

$\displaystyle \frac{(t-10)^2}{(t-8)(t+8)} \leq 0$

Умножим обе части неравенства на $t+8 \, \textgreater \, 0$

$\displaystyle \frac{(t-10)^2}{t-8}\leq 0$

Решение неравенства

Вернёмся к переменной x.

Мы воспользовались свойством монотонного возрастания логарифмической функции $y = \log_a x$
при $a \, \textgreater \, 1.$

Ответ: $x\in (-\infty; 3) \cup {\log_2 10}$

Пожалуйста, обратите внимание: сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной х.
Если вы вот так оформите решение задачи 15 на экзамене – вы получите за нее полный балл.

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 12

Это полезно