previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 12

Решите неравенство: \displaystyle \frac{2^x+8}{2^x-8}+\frac{2^x-8}{2^x+8} \leq \frac{5 \cdot 2^{x+3}-72}{4^x-64}.

Решение:

Сделаем замену 2^x=t, \, t \, \textgreater \, 0.

Получим:

\displaystyle \frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8} \leq \frac{5 \cdot 8t-72}{t^2-64};

\displaystyle \frac{t^2+16t+t^2-16t+64}{t^2-64} \leq \frac{40t-72}{t^2-64};

\displaystyle \frac{t^2+64}{t^2-64} \leq \frac{20t-36}{t^2-64};

\displaystyle \frac{t^2-20t+100}{(t-8)(t+8)} \leq 0;

\displaystyle \frac{(t-10)^2}{(t-8)(t+8)} \leq 0.

Умножим обе части неравенства на t+8 \, \textgreater \, 0:

\displaystyle \frac{(t-10)^2}{t-8}\leq 0.

Решение неравенства:

.

Вернёмся к переменной x.

.

Мы воспользовались свойством монотонного возрастания логарифмической функции y = \log_a x
при a \, \textgreater \, 1.

Ответ: x\in (-\infty; 3) \cup {\log_2 10}.

Пожалуйста, обратите внимание: сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x.
Если вы вот так оформите решение задачи 15 на экзамене – вы получите за нее полный балл.