В апреле 2020 года И. В. Ященко, автор книги, задачи из которой мы сейчас разбираем, и составитель задач ЕГЭ, дал интервью, в котором пообещал, что на реальном ЕГЭ иррациональных неравенств в задаче 15 не будет, однако не исключил, что они могут встретиться в тренировочных и контрольных работах. Как видим, в сборнике «30 тренировочных вариантов под редакцией И. В. Ященко», 2021 год, такие неравенства есть.
Решите неравенство: \(\displaystyle \sqrt{2 - \log_{\frac{1}{2}x}} \cdot \frac{(x-1)(x+7)}{x+2} \geq 0.\)
Запишем решение неравенства как цепочку равносильных переходов.
Так как \(
\sqrt{a} \geq 0\) при \(
a \geq 0,\)
получим:
.
Метод интервалов:
.
Ответ: \(\displaystyle x \in \left \{ \frac{1}{4} \right \}\cup [1; +\infty).\)
Вывод очевиден: такие задачи надо уметь решать.
