Решите неравенство: \(\displaystyle \sqrt{2 - \log_{\frac{1}{2}x}} \cdot \frac{(x-1)(x+7)}{x+2} \geq 0.\)
Решение:
Запишем решение неравенства как цепочку равносильных переходов.
Так как \(\sqrt{a} \geq 0\) при \(a \geq 0,\) получим:
\(\left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{(x-1)(x+7)}{x+2}\geq 0, \\2-log_{\frac{1}{2}}x> 0,
\end{matrix}\right.\\2-log_{\frac{1}{2}}x= 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{(x-1)(x+7)}{x+2}\geq 0, \\log_{\frac{1}{2}}x< 2,
\end{matrix}\right.\\log_{\frac{1}{2}}x=2;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{(x-1)(x+7)}{x+2}\geq 0, \\log_{\frac{1}{2}}x< \displaystyle log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4},
\end{matrix}\right.\\\displaystyle log_{\frac{1}{2}}x=log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4};
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{(x-1)(x+7)}{x+2}\geq 0, \\\displaystyle x> \frac{1}{4},
\end{matrix}\right. \\\displaystyle x=\frac{1}{4}.
\end{matrix}\right.\)
Метод интервалов:
\( \left[\begin{matrix}
x=\displaystyle\frac{1}{4}, \\x\geq 1.
\end{matrix}\right.\)
Ответ: \(\displaystyle x \in \left \{ \frac{1}{4} \right \}\cup [1; +\infty).\)
Вывод очевиден: такие задачи надо уметь решать.
