Решите неравенство: \(\displaystyle \lg \frac{4-x}{x-15}+\log_{0,1}(x-4)\geq \log_{\frac{1}{10}} ((x-15)^2).\)
Решение:
Заметим, что \(\displaystyle \log_{0,1}b = \frac{\lg b}{\lg 0,1} = - \lg b.\)
\(\displaystyle \lg \frac{4-x}{x-15}-\lg (x-4)+\lg (x-15)^2\geq 0.\)
Рассмотрим ОДЗ неравенства: \(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{4-x}{x-15} > 0,\\x-4 > 0,
\\ (x-15)^2 > 0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow 4 < x < 15 .\)
При выполнении этого условия воспользуемся формулами:
\(\displaystyle \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c};\)
\(\log_a b + \log_a c = \log_a (bc).\)
Получим:
\(\left\{\begin{matrix}\lg \displaystyle \frac{(4-x)\cdot(x-15)^2}{(x-15)\cdot (x-4)}\geq 0,
\\4 < x < 15;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}
\lg \displaystyle \frac{(15-x)^2}{15-x}\geq 0,\\4 < x < 15 ;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\lg (15-x)\geq 0,\\ 4 < x < 15 ;\end{matrix}\right. \)
\(\left\{\begin{matrix}
15-x \geq 1,\\4< x < 15; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x \leq 14,\\4< x < 15; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 4 < x \leq 14 .\)
Ответ: \(x \in (4;14].\)
