Решите неравенство: \(\displaystyle \lg \frac{4-x}{x-15}+\log_{0,1}(x-4)\geq \log_{\frac{1}{10}} ((x-15)^2).\)
Решение:
\(\displaystyle \lg \frac{4-x}{x-15}+\log_{0,1}(x-4)\geq \log_{\frac{1}{10}} ((x-15)^2).\)
Заметим, что \(\displaystyle \log_{0,1}b = \frac{\lg b}{\lg 0,1} = - \lg b.\)
\(\displaystyle \lg \frac{4-x}{x-15}-\lg (x-4)+\lg (x-15)^2\geq 0.\)
Рассмотрим ОДЗ неравенства:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\frac{4-x}{x-15} \, \textgreater \, 0\\x-4 \, \textgreater \, 0
\\ (x-15)^2 \, \textgreater \, 0
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow 4 \, \textless \, x \, \textless \, 15 .\)
При выполнении этого условия воспользуемся формулами:
\(\displaystyle \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c};\)
\(
\log_a b + \log_a c = \log_a (bc).\)
Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}\lg \frac{(4-x)\cdot(x-15)^2}{(x-15)\cdot (x-4)}\geq 0
\\4 \, \textless \, x \, \textless \, 15
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}
\lg \frac{(15-x)^2}{15-x}\geq 0\\4 \, \textless \, x \, \textless \, 15
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\lg (15-x)\geq 0\\ 4 \, \textless \, x \, \textless \, 15
\end{matrix}\right. ;\)
\(\left\{\begin{matrix}
15-x \geq 1\\4 \, \textless \, x \, \textless \, 15
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x \leq 14\\4 \, \textless \, x \, \textless \, 15
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow 4 \, \textless \, x \leq 14 .\)
Ответ: \(
x \in (4;14].\)
