previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 24

Решите неравенство \displaystyle \lg \frac{4-x}{x-15}+\log_{0,1}(x-4)\geq \log_{\frac{1}{10}} ((x-15)^2)

 

Решение:

\displaystyle \lg \frac{4-x}{x-15}+\log_{0,1}(x-4)\geq \log_{\frac{1}{10}} ((x-15)^2)

Заметим, что \displaystyle \log_{0,1}b = \frac{\lg b}{\lg 0,1} = - \lg b.

\displaystyle \lg \frac{4-x}{x-15}-\lg (x-4)+\lg (x-15)^2\geq 0

Рассмотрим ОДЗ неравенства:

\displaystyle \left\{\begin{matrix}\frac{4-x}{x-15} \, \textgreater \, 0\\x-4 \, \textgreater \, 0\\ (x-15)^2 \, \textgreater \, 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow 4 \, \textless \, x \, \textless \, 15.

При выполнении этого условия воспользуемся формулами

\displaystyle \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c};

\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)

Получим:

\displaystyle \left\{\begin{matrix}\lg \frac{(4-x)\cdot(x-15)^2}{(x-15)\cdot (x-4)}\geq 0\\4 \, \textless \, x \, \textless \, 15\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\lg \frac{(15-x)^2}{15-x}\geq 0\\4 \, \textless \, x \, \textless \, 15\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\lg (15-x)\geq 0\\ 4 \, \textless \, x \, \textless \, 15\end{matrix}\right. ;

\left\{\begin{matrix}15-x \geq 1\\4 \, \textless \, x \, \textless \, 15\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \leq 14\\4 \, \textless \, x \, \textless \, 15\end{matrix}\right. \Leftrightarrow 4 \, \textless \, x \leq 14

Ответ: x \in (4;14].