Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{\log_{\frac{1}{4}}(3x+1)}{\log_{\frac{1}{4}}(6x-1)} < 2.\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{\log_{\frac{1}{4}}(3x+1)}{\log_{\frac{1}{4}}(6x-1)} < 2.\)
Применим формулу:
\(\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a};\)
\(\displaystyle \log_\frac{1}{4} b = \frac{\log_4 b}{\log_4 \frac{1}{4}} = - \log_4 b.\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)}{\log_4 (6x-1)} < 2;\)
\(\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)}{\log_4 (6x-1)}-2< 0;\)
\(\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)-2 \log_4(6x-1)}{\log_4 (6x-1)}< 0.\)
ОДЗ неравенства:\(\left\{\begin{matrix}
3x+1 > 0,\\6x-1 > 0,
\\6x-1 \ne 1. \end{matrix}\right. \)
При выполнении этих условий \( 2 \log_4 (6x-1) = \log_4 (6x-1)^2;\)
\(\displaystyle \frac{log_4(3x+1)-\log_4(6x-1)^2}{\log_4 (6x-1)} <0.\)
Упростим левую часть неравенства по методу замены множителя.
Неравенство равносильно системе: \(\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{(4-1)(3x+1-(6x-1)^2)}{(4-1)(6x-1-1)}< 0,\\
3x+1> 0, \\6x-1 > 0,
\\6x-1 \ne 1.\end{matrix}\right. \)
Мы заменили множитель вида \( \log_h f - \log_h g\) на \( (h-1)(f-g),\) а множитель вида \(\log_h f \) на \((h-1)(f-1).\)
Получим:
\( \left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{3x+1-36x+12x-1}{3x-1} 0, \\ x >-\displaystyle \frac{1}{3}, \\ x > \displaystyle \frac{1}{6}, \\x \ne \displaystyle \frac{1}{3}; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{36x^2-15x}{3x-1} >0,\\x > \displaystyle \frac{1}{6}, \\x \ne \displaystyle \frac{1}{3}; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{x(12x-5)}{3x-1} > 0,\\ x > \displaystyle \frac{1}{6}, \\ x \ne \displaystyle \frac{1}{3}. \end{matrix}\right. \)
Решим первое неравенство с помощью метода интервалов:
С учётом второго и третьего неравенств получим:
\(\displaystyle x \in \left (\frac{1}{6}; \frac{1}{3} \right )\cup \left (\frac{5}{12}; +\infty \right ).\)
В этой задаче, кроме известных формул перехода к другому основанию логарифма, нам помог метод замены множителя.
Читайте о том, что такое метод замены множителя. Еще его называют методом рационализации.
