Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{\log_{\frac{1}{4}}(3x+1)}{\log_{\frac{1}{4}}(6x-1)} \, < \, 2.\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{\log_{\frac{1}{4}}(3x+1)}{\log_{\frac{1}{4}}(6x-1)} \, < \, 2.\)
Применим формулу:
\(\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a};\)
\(\displaystyle \log_\frac{1}{4} b = \frac{\log_4 b}{\log_4 \frac{1}{4}} = - \log_4 b.\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)}{\log_4 (6x-1)} \, < \, 2;\)
\(\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)}{\log_4 (6x-1)}-2 \, < \, 0;\)
\(\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)-2 \log_4(6x-1)}{\log_4 (6x-1)} \, < \, 0.\)
ОДЗ неравенства:
\(\left\{\begin{matrix}
3x+1\, > \, 0\\
6x-1 \, > \, 0\\
6x-1 \ne 1\end{matrix}\right.\)
При выполнении этих условий
\(
2 \log_4 (6x-1) = \log_4 (6x-1)^2;\)
\(\displaystyle \frac{log_4(3x+1)-\log_4(6x-1)^2}{\log_4 (6x-1)} \, < \, 0.\)
Упростим левую часть неравенства по методу замены множителя.
Неравенство равносильно системе:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}\frac{(4-1)(3x+1-(6x-1)^2)}{(4-1)(6x-1-1)}\, < \, 0\\
3x+1\, > \, 0\\
6x-1 \, > \, 0\\
6x-1 \ne 1\end{matrix}\right.\)
Мы заменили множитель вида \(
\log_h f - \log_h g\) на \(
(h-1)(f-g),\)
а множитель вида \(
\log_h f \) на \((h-1)(f-1).\)
Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}\frac{3x+1-36x+12x-1}{3x-1} \, < \, 0\\
x \, > \, -\frac{1}{3}\\
x \, > \, \frac{1}{6}\\
x \ne \frac{1}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\frac{36x^2-15x}{3x-1} \, > \, 0\\
x \, > \, \frac{1}{6}\\
x \ne \frac{1}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}
\frac{x(12x-5)}{3x-1} \, > \, 0\\
x \, > \, \frac{1}{6}\\
x \ne \frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Решим первое неравенство с помощью метода интервалов:
С учётом второго и третьего неравенств получим:
\(\displaystyle x \in \left (\frac{1}{6}; \frac{1}{3} \right )\cup \left (\frac{5}{12}; +\infty \right ).\)
В этой задаче, кроме известных формул перехода к другому основанию логарифма, нам помог метод замены множителя.
Читайте о том, что такое метод замены множителя. Еще его называют методом рационализации.
