Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 3

Решите неравенство $\displaystyle \frac{\log_{\frac{1}{4}}(3x+1)}{\log_{\frac{1}{4}}(6x-1)} \, \textless \, 2$

Решение: $\displaystyle \frac{\log_{\frac{1}{4}}(3x+1)}{\log_{\frac{1}{4}}(6x-1)} \, \textless \, 2$

Применим формулу:

$\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a};$

$\displaystyle \log_\frac{1}{4} b = \frac{\log_4 b}{\log_4 \frac{1}{4}} = - \log_4 b$

Получим:

$\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)}{\log_4 (6x-1)} \, \textless \, 2$

$\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)}{\log_4 (6x-1)}-2 \, \textless \, 0$

$\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)-2 \log_4(6x-1)}{\log_4 (6x-1)} \, \textless \, 0$

ОДЗ неравенства:

$\left\{\begin{matrix}3x+1\, \textgreater \, 0\\6x-1 \, \textgreater \, 0\\6x-1 \ne 1\end{matrix}\right.$

При выполнении этих условий

$2 \log_4 (6x-1) = \log_4 (6x-1)^2;$

$\displaystyle \frac{log_4(3x+1)-\log_4(6x-1)^2}{\log_4 (6x-1)} \, \textless \, 0$

Упростим левую часть неравенства по методу замены множителя.

Метод замены множителя.

Неравенство равносильно системе:

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}\frac{(4-1)(3x+1-(6x-1)^2)}{(4-1)(6x-1-1)}\, \textless \, 0\\3x+1\, \textgreater \, 0\\6x-1 \, \textgreater \, 0\\6x-1 \ne 1\end{matrix}\right.$

Мы заменили множитель вида $\log_h f - \log_h g$
на $(h-1)(f-g),$
а множитель вида $\log_h f$ на $(h-1)(f-1)$

Получим:

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}\frac{3x+1-36x+12x-1}{3x-1} \, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -\frac{1}{3}\\ x \, \textgreater \, \frac{1}{6}\\x \ne \frac{1}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{36x^2-15x}{3x-1} \, \textgreater \, 0\\x \, \textgreater \, \frac{1}{6}\\x \ne \frac{1}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{x(12x-5)}{3x-1} \, \textgreater \, 0\\ x \, \textgreater \, \frac{1}{6}\\x \ne \frac{1}{3}\end{matrix}\right.$

Решим первое неравенство с помощью метода интервалов.

С учётом второго и третьего неравенств получим:

$\displaystyle x \in \left (\frac{1}{6}; \frac{1}{3} \right )\cup \left (\frac{5}{12}; +\infty. \right )$

В этой задаче, кроме известных формул перехода к другому основанию логарифма, нам помог метод замены множителя.
Читайте о том, что такое метод замены множителя. Еще его называют методом рационализации:

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 3

Это полезно