Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 3

Решите неравенство: $\displaystyle \frac{\log_{\frac{1}{4}}(3x+1)}{\log_{\frac{1}{4}}(6x-1)} \, \textless \, 2.$

Решение:

$\displaystyle \frac{\log_{\frac{1}{4}}(3x+1)}{\log_{\frac{1}{4}}(6x-1)} \, \textless \, 2.$

Применим формулу:

$\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a};$

$\displaystyle \log_\frac{1}{4} b = \frac{\log_4 b}{\log_4 \frac{1}{4}} = - \log_4 b.$

Получим:

$\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)}{\log_4 (6x-1)} \, \textless \, 2;$

$\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)}{\log_4 (6x-1)}-2 \, \textless \, 0;$

$\displaystyle \frac{\log_4 (3x+1)-2 \log_4(6x-1)}{\log_4 (6x-1)} \, \textless \, 0.$

ОДЗ неравенства:

$\left\{\begin{matrix}3x+1\, \textgreater \, 0\\6x-1 \, \textgreater \, 0\\6x-1 \ne 1\end{matrix}\right. .$

При выполнении этих условий

$2 \log_4 (6x-1) = \log_4 (6x-1)^2;$

$\displaystyle \frac{log_4(3x+1)-\log_4(6x-1)^2}{\log_4 (6x-1)} \, \textless \, 0.$

Упростим левую часть неравенства по методу замены множителя.

Метод замены множителя.

Неравенство равносильно системе:

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}\frac{(4-1)(3x+1-(6x-1)^2)}{(4-1)(6x-1-1)}\, \textless \, 0\\3x+1\, \textgreater \, 0\\6x-1 \, \textgreater \, 0\\6x-1 \ne 1\end{matrix}\right. .$

Мы заменили множитель вида $\log_h f - \log_h g$ на $(h-1)(f-g),$

а множитель вида $\log_h f$ на $(h-1)(f-1).$

Получим:

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}\frac{3x+1-36x+12x-1}{3x-1} \, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -\frac{1}{3}\\ x \, \textgreater \, \frac{1}{6}\\x \ne \frac{1}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{36x^2-15x}{3x-1} \, \textgreater \, 0\\x \, \textgreater \, \frac{1}{6}\\x \ne \frac{1}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{x(12x-5)}{3x-1} \, \textgreater \, 0\\ x \, \textgreater \, \frac{1}{6}\\x \ne \frac{1}{3}\end{matrix}\right. .$

Решим первое неравенство с помощью метода интервалов:

С учётом второго и третьего неравенств получим:

$\displaystyle x \in \left (\frac{1}{6}; \frac{1}{3} \right )\cup \left (\frac{5}{12}; +\infty \right ).$

В этой задаче, кроме известных формул перехода к другому основанию логарифма, нам помог метод замены множителя.
Читайте о том, что такое метод замены множителя. Еще его называют методом рационализации.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 3» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 3

Это полезно