Решите неравенство: \(\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.\)
Решение:
\(\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.\)
Заметим, что \( (2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4-3=1,\) значит, \(\displaystyle 2- \sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}.\)
Получим: \(\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2+\sqrt{3})^x.\)
Показательная функция \( y = a^t\) монотонно возрастает при \( a > 1,\) и если \( a^{t_1}\leq a^{t_2},\) то \(t_1 \leq t_2.\)
Так как \( 2+\sqrt{3}\geq 1,\) получим:
\(\displaystyle \frac{6-5x}{x}\leq x;\)
\(\displaystyle \frac{x^2+5x-6}{x}\geq 0.\)
Разложим числитель дроби на множители:
\( x^2+5x-6(x+6)(x-1);\)
\(\displaystyle \frac{(x+6)(x-1)}{x}\geq 0.\)
Решим неравенство методом интервалов:
Ответ: \( x \in [-6;0) \cup [1;+\infty).\)
Обратите внимание, какую необычную замену переменной мы сделали в самом начале решения этой задачи.
