Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 5

Решите неравенство $\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.$

Решение:

$\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.$

Заметим, что

$(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4-3=1,$
значит,

$\displaystyle 2- \sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$

Получим:

$\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2+\sqrt{3})^x$

Показательная функция $y = a^t$ монотонно возрастает при $a \, \textgreater \, 1,$ и если $a^{t_1}\leq a^{t_2},$ то $t_1 \leq t_2.$

Так как $2+\sqrt{3}\geq 1,$ получим

$\displaystyle \frac{6-5x}{x}\leq x$

$\displaystyle \frac{x^2+5x-6}{x}\geq 0$

Разложим числитель дроби на множители

$x^2+5x-6(x+6)(x-1).$

$\displaystyle \frac{(x+6)(x-1)}{x}\geq 0$

Решим неравенство методом интервалов

Ответ: $x \in [-6;0) \cup [1;+\infty).$

Обратите внимание, какую необычную замену переменной мы сделали в самом начале решения этой задачи.

Это полезно