Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 5

Решите неравенство: $\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.$

Решение:

$\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.$

Заметим, что

$(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4-3=1,$

значит, $\displaystyle 2- \sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}.$

Получим: $\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2+\sqrt{3})^x.$

Показательная функция $y = a^t$ монотонно возрастает при $a \, \textgreater \, 1,$ и если $a^{t_1}\leq a^{t_2},$ то $t_1 \leq t_2.$

Так как $2+\sqrt{3}\geq 1,$ получим:

$\displaystyle \frac{6-5x}{x}\leq x;$

$\displaystyle \frac{x^2+5x-6}{x}\geq 0.$

Разложим числитель дроби на множители:

$x^2+5x-6(x+6)(x-1);$

$\displaystyle \frac{(x+6)(x-1)}{x}\geq 0.$

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ: $x \in [-6;0) \cup [1;+\infty).$

Обратите внимание, какую необычную замену переменной мы сделали в самом начале решения этой задачи.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 5» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 5

Это полезно