previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 5

Решите неравенство \displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.

 

Решение:

\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.

Заметим, что

(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4-3=1,
значит,

\displaystyle 2- \sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}

Получим:

\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2+\sqrt{3})^x

Показательная функция y = a^t монотонно возрастает при a \, \textgreater \, 1, и если a^{t_1}\leq a^{t_2}, то t_1 \leq t_2.

Так как 2+\sqrt{3}\geq 1, получим

\displaystyle \frac{6-5x}{x}\leq x

\displaystyle \frac{x^2+5x-6}{x}\geq 0

Разложим числитель дроби на множители

x^2+5x-6(x+6)(x-1).

\displaystyle \frac{(x+6)(x-1)}{x}\geq 0

Решим неравенство методом интервалов

Ответ: x \in [-6;0) \cup [1;+\infty).

Обратите внимание, какую необычную замену переменной мы сделали в самом начале решения этой задачи.