Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 5

Решите неравенство: $\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.$

Решение:

$\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2-\sqrt{3})^{-x}.$

Заметим, что

$(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4-3=1,$

значит, $\displaystyle 2- \sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}.$

Получим: $\displaystyle (2+\sqrt{3})^{\frac{6-5x}{x}} \leq (2+\sqrt{3})^x.$

Показательная функция $y = a^t$ монотонно возрастает при $a \, \textgreater \, 1,$ и если $a^{t_1}\leq a^{t_2},$ то $t_1 \leq t_2.$

Так как $2+\sqrt{3}\geq 1,$ получим:

$\displaystyle \frac{6-5x}{x}\leq x;$

$\displaystyle \frac{x^2+5x-6}{x}\geq 0.$

Разложим числитель дроби на множители:

$x^2+5x-6(x+6)(x-1);$

$\displaystyle \frac{(x+6)(x-1)}{x}\geq 0.$

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ: $x \in [-6;0) \cup [1;+\infty).$

Обратите внимание, какую необычную замену переменной мы сделали в самом начале решения этой задачи.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 5» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.09.2023

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 5

Это полезно