Свойства медиан треугольника

Свойство медиан треугольника. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Проведем в треугольнике АВС медианы АМ и СК. Пусть АМ и СК пересекаются в точке О. Тогда МК – средняя линия треугольника АВС, и треугольник ОМК подобен треугольнику ОАС по двум углам.

$\displaystyle MK=\frac{1}{2}AC, MK \parallel AC$ . Запишем соотношение сходственных сторон треугольников ОМК и ОАС.

$\displaystyle \frac{OA}{OM}=\frac{OC}{OK}=\frac{AC}{MK}=\frac{2}{1}$ . Медианы АМ и СК в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Осталась третья медиана – BL. Предположим, что $\displaystyle BL\cap AM=O_1$ . Тогда в точке $O_1$ медианы BL и AM делятся в отношении 2 : 1. Но если $\displaystyle \frac{O_1A}{O_1M}=\frac{OA}{OM}=\frac{2}{1}$ , то точка $O_1$ совпадает с точкой О, и это значит, что три медианы треугольника пересекаются в точке О и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача ЕГЭ по теме «Медианы треугольника»

В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите BK, если BD=18.

Пусть О - точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, поэтому ВО — медиана треугольника АВС. Тогда О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Поэтому $BK=\frac{2}{3}BO=\frac{1}{3}BD=6$ .

Это полезно