В этой статье мы рассмотрим мощный метод, который применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. Для того чтобы лучше его запомнить, расскажем историю о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга.
Еще раз: в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов. Мы помним, что в математике существует 5 типов элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Подробно о них — в статье «Элементарные функции и их графики».
Мы знаем из курса алгебры, что уравнения, которые мы решаем, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Показательные и логарифмические, квадратные и тригонометрические уравнения — для каждого типа есть свои характерные приемы и способы решения. И основаны они на тех или иных свойствах функций. Для тригонометрических уравнений — свои способы решения, для логарифмических — свои.
Но сейчас мы рассмотрим уравнение, в левой и правой частях которого находятся функции разных типов. Вот оно:
1. \(2^{\left (\sqrt{3}-cos10 \pi x \right )\left ( \sqrt{3}+cos10 \pi x \right )}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.\)
Решение:
Такое уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно брать логарифмы от обеих частей — от этого оно станет только хуже.
Что же с ним делать? Упростим его, насколько возможно.
\(2^{\left (\sqrt{3}-cos10 \pi x \right )\left ( \sqrt{3}+cos10 \pi x \right )}=8+\left ( 20x+3 \right )^2;\)
\(2^{3-cos^210 \pi x}=8+\left ( 20x+3 \right )^2;\)
\(\displaystyle \frac{8}{2^{cos^210\pi x}}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.\)
Посмотрим на правую часть этого уравнения. Очевидно,
\( 8 + (20 x + 3)^2 \geq 8. \)
Интересно — а какой же будет левая часть? Давайте оценим и ее тоже.
Поскольку \(0 \leq cos ^2 10\pi x \leq 1,\) получим, что \(1\leq 2^{cos^210\pi x}\leq 2.\)
Значит, \(\displaystyle \frac{8}{2^{cos^210\pi x}}\leq 8.\)
Получается, что при всех значениях \(x\) левая часть уравнения не меньше, чем \(8\), а правая часть не больше, чем \(8\). И это значит, что решением уравнения могут быть только такие значения переменной \(x\), когда и левая, и правая часть равны \(8\). Тогда они равны друг другу. В этом и состоит метод оценки.
Метод оценки применяется для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая — наибольшее.
Вот как это выглядит:
А чтобы лучше запомнить суть метода, рассказываем историю.
Глубоко-глубоко в море жила маленькая рыбка. А высоко-высоко в небе жила маленькая птичка. И однажды они полюбили друг друга! А встретиться они могли только в одной точке, на границе моря и неба, до которой рыбке надо подняться, а птичке — спуститься!
Смотри видео о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга и что из этого получилось
О чем эта история? О нашем уравнении, конечно! В левой и правой его частях находятся функции разных типов. И при определенном значении \(x\) они оказались равны друг другу. Легко заметить, что значения выражения в правой части всегда больше либо равны восьми («птичка»), значения выражения в левой части — меньше либо равные восьми («рыбка»). И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а у другой — максимум, причем значение каждой из них станет равно восьми.
Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть. Приравняем правую часть к восьми.
\( 8+\left ( 20x+3 \right )^2=8, \; \left ( 20x+3 \right )^2=0, \; x=-\displaystyle \frac{3}{20}=-0,15.\)
Подставив \(x= -0,15\) в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении \(x\). Значит, \(x= -0,15\) является единственным корнем данного уравнения.
Ответ: \(x= -0,15.\)
Вот еще одна задача на метод оценки.
2. \(7^{- \left | x-3 \right | }\cdot log_2\left ( 6x-x^2-7 \right )\geq1.\)
Решение:
Умножим обе части данного неравенства на положительную величину: \(7^{ \left | x-3 \right | }.\)
\(log_2 \left ( 6x-x^2-7 \right )\geq 7^\left | x-3 \right |. \)
В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Метод оценки!
Выделим под логарифмом полный квадрат:
\(6x-x^2-7=2-\left ( x^2-6x+9 \right )=2-\left ( x-3 \right )^2.\)
Неравенство примет вид:
\(log_2\left ( 2-\left ( x-3 \right )^2 \right )\geq7^\left | x-3 \right |.\)
Наибольшее значение выражения под логарифмом равно \(2\). Стало быть, наибольшее значение логарифма равно \(log_22\), то есть \(1\), и достигается оно при единственном значении \(x = 3\).
В то же время, наименьшее значение выражения \(7^{\left | x-3 \right |}\) также равно \(1\), и достигается оно при том же единственном значении \(x= 3\).
Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда обе его части равны \(1\), т. е. при \(x = 3\). Решением данного неравенства служит единственное число!
Ответ: \(x= 3\).
Мы обещали задачи с параметрами, которые решаются методом оценки. Вот, пожалуйста:
3. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \( (x^2-6|x|-a)^2+12(x^2-6|x|-a)+37=cos\displaystyle \frac{18\pi }{a}\) имеет ровно два решения.
Решение:
Обозначим \(t=x^2-6|x|-a.\) Уравнение примет вид:
\(t^2+12t+37=cos\displaystyle \frac{18 \pi}{a};\)
\((t+6)^2+1=cos\displaystyle \frac{18 \pi}{a}.\)
Мы видим, что левая часть этого уравнения не меньше единицы, а правая часть — не больше единицы. Равенство может быть, только если обе они равны единице.
\(\left\{\begin{matrix}
(t+6)^2+1\geqslant 1, \\
cos\displaystyle \frac{18\pi }{a}\leqslant 1, \\
t^2+12t+37=cos\displaystyle \frac{18\pi}{a};\end{matrix}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
(t+6)^2+1=1, \\
cos\displaystyle \frac{18\pi }{a}=1.\end{matrix}\right. \)
Это классическая задача на метод оценки.
В нашем случае функция \(f\) в левой части уравнения и функция \(g\) в правой части «встречаются», когда одна из них принимает свое наименьшее значение, равное единице, а другая — свое наибольшее значение, также равное единице.
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
t=-6, \\
\displaystyle \frac{18 \pi}{a}=2 \pi n; \end{array}
\right. \)
\(\left\{ \begin{array}{c}
x^2-6|x|-a=-6, \\
\displaystyle \frac{9}{a}=n. \end{array}
\right. \)
Второе уравнение означает, что частное \(\displaystyle \frac{9}{a} \)— целое число.
В первом уравнении сделаем замену \(|x|=z, \; z\geq 0.\)
Получим: \(z^2-6z=a-6.\)
Обозначим \(a-6=b\) и найдем, сколько корней имеет уравнение \(z^2-6z=b\) при неотрицательных \(z\) и различных \(b\).
Нам нужно, чтобы исходное уравнение относительно \(x\) имело два корня.
Это происходит, когда уравнение \(z^{ 2}-6z=b\) имеет единственный положительный корень \(z_0\), которому соответствуют \(x_1=z_0\) и \(x_2=-z_0.\)
Заметим, что \(z_0\ne {\rm 0,}\) так как если \(\left|x\right|{\rm =0},\) то \(x=0\) и двух корней не получится.
График функции \(y(z)={\rm }z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z\) — парабола с вершиной \(M(3;-9).\)
1) Если \(b= - 9\), то уравнение \(z^2-6z=b\) имеет единственный корень \(z=3\), которому соответствуют два корня исходного уравнения: \(x=3\) и \(x=-3.\)
Поскольку \(a=b+6\), в этом случае \(a= - 3\). Это значение удовлетворяет и второму уравнению системы: \({\rm -}\displaystyle \frac{{\rm 9}}{{\rm 3}}{\rm =-3} \) — целое.
2) Уравнение \(z^2-6z= b\) имеет единственное положительное решение также при \(b > 0\), при этом \(z > 6\) и \(a > 6.\)
Но если \(a > 6\), условию \(\displaystyle \frac{9}{a}=n\) удовлетворяет только \(a=9.\)
Ответ: \(a=-3\) или \(a=9.\)
