icon icon icon icon
Бесплатно по РФ
banner
previous arrow
next arrow
Slider

Элементарные функции и их графики

Понятие функции — одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано в статье «Что такое функция».

И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз — первая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и их графикам.

Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.

Существует всего пять типов элементарных функций:

1. Степенные
К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические, , , Все они содержат выражения вида xα.

2. Показательные
Это функции вида y = ax

3. Логарифмические
y = logax.

4. Тригонометрические
В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

5. Обратные тригонометрические
Содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x2 · ex — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(ax) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.

Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть.

Степенные функции
1. Линейная функция y = x
2. Квадратичная парабола y = x2
3. Функция y = xn,
n - натуральное, n > 1
n - чётное
n = 2, 4, 6,...
n - нечётное
n = 3, 5, 7,...
4.Гипербола y = \frac{1}{x}
5.
6.

 

Показательная функция y = ax
a > 1
0 < a < 1

 

Логарифмическая функция y = logax
a > 1
0 < a < 1

 

Тригонометрические функции
1. y = sin x
2. y = cos x
3. y = tg x
4. y = ctg x

 

Обратные тригонометрические функции
1. y = arcsin x
2. y = arccos x
3. y = arctg x
4. y = arcctg x

 

Выше приведены основные, «базовые» графики. А как будут выглядеть, например, графики функций y = sin(2x) или y = 4x2 + 5? Об этом — статья «Преобразования графиков функций».

Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.

Почему в уравнении 3x = 35 мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3x возрастает и каждое значение принимает только один раз.

Почему уравнение sin x = \frac{1}{2} имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.

Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.

Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».

Поделиться страницей

Это полезно

Вычисление перемещения по графику проекции скорости
Из кодификатора по физике, 2020. «1.1.3. Вычисление перемещения по графику зависимости υ(t).» Теория и задачи с решениями.
Онлайн курс «Математика профиль 100 баллов»
Детская задача. Спорим, вы ее не решите!