Логарифмическая функция

Вспомним, что log_ab (логарифм числа b по основанию a) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. При этом b > 0, a > 0, a ≠ 1.

Зафиксируем некоторое основание a. Тогда каждому положительному числу x можно поставить в соответствие число log_ax — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить x. Иными словами, можно задать логарифмическую функцию y = log_ax.

Пусть a = 2. Построим график функции y = log₂x.

x					1	2	4	8	16
y	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

Функция монотонно возрастает:

Теперь возьмём и построим график функции .

x					1	2	4	8	16
y	4	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4

Функция монотонно убывает:

Эти два графика полностью отражают поведение логарифмической функции при различных значениях a. Сформулируем важнейшие свойства логарифмической функции .

1. Область определения — все положительные числа: D(y) = (0; ).

2. Область значений — все действительные числа: E(y) = .

3. Поскольку график проходит через точку (1; 0).

4. Функция монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при 0 < a < 1:

Заметим, что тем же свойством обладает и показательная функция y = a^x: она также возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Это, разумеется, не случайно.

Возьмём, к примеру, a > 1 и изобразим на одном чертеже графики данных функций:

Мы видим, что имеется сходство формы графиков: они как будто нарисованы по одному шаблону (просто шаблон по-разному расположен на координатной плоскости). На самом деле наши графики симметричны относительно прямой y = x — они являются зеркальным отражением друг друга!

Та же осевая симметрия относительно прямой y = x имеет место и в случае 0 < a < 1:

Данная симметрия проявляется ещё и в том, что область определения логарифмической функции является областью значений показательной функции, и наоборот.

Логарифмическая функция y = log_ax и показательная функция y = a^x являются обратными друг к другу.

Но вернёмся к логарифмам. Мы обещали рассказать об их практическом значении. Где их можно встретить?

Оказывается, для этого далеко ходить не надо.

Наши органы чувств «сконструированы» так, что могут работать в широчайших диапазонах. Световые потоки от Солнца, от электрической лампочки и от далёких звёзд различаются на несколько порядков. Но мы видим и яркое солнце, и едва заметные звёзды. Мы слышим шорох листьев и грохот грома, а ведь интенсивность этих звуков также различается в миллиарды раз.

Как это происходит? Дело в том, что глаз и ухо воспринимают именно логарифм величины внешнего воздействия. Это закон Вебера-Фехнера, или основной психофизический закон: интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Например, при увеличении звукового давления в 10 раз нам кажется, что громкость возросла вдвое.

Подробнее о логарифмической шкале наших ощущений можно почитать в статье «Чувств наших логарифмы» (журнал «Вокруг света», №10, 2010; http://www.vokrugsveta.ru/telegraph/theory/767).