Логарифмическая функция
Вспомним, что logab (логарифм числа b по основанию a) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. При этом b > 0, a > 0, a ≠ 1.
Зафиксируем некоторое основание a. Тогда каждому положительному числу x можно поставить в соответствие число logax — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить x. Иными словами, можно задать логарифмическую функцию y = logax.
Пусть a = 2. Построим график функции y = log2x.
x |
 |
 |
 |
 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
y |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Функция монотонно возрастает:

Теперь возьмём
и построим график функции
.
x |
 |
 |
 |
 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
y |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
Функция монотонно убывает:

Эти два графика полностью отражают поведение логарифмической функции при различных значениях a. Сформулируем важнейшие свойства логарифмической функции
.
1. Область определения — все положительные числа: D(y) = (0;
).
2. Область значений — все действительные числа: E(y) =
.
3. Поскольку
график проходит через точку (1; 0).
4. Функция монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при 0 < a < 1:

Заметим, что тем же свойством обладает и показательная функция y = ax: она также возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Это, разумеется, не случайно.
Возьмём, к примеру, a > 1 и изобразим на одном чертеже графики данных функций:

Мы видим, что имеется сходство формы графиков: они как будто нарисованы по одному шаблону (просто шаблон по-разному расположен на координатной плоскости). На самом деле наши графики симметричны относительно прямой y = x — они являются зеркальным отражением друг друга!
Та же осевая симметрия относительно прямой y = x имеет место и в случае 0 < a < 1:

Данная симметрия проявляется ещё и в том, что область определения логарифмической функции является областью значений показательной функции, и наоборот.
Логарифмическая функция y = logax и показательная функция y = ax являются обратными друг к другу.
Но вернёмся к логарифмам. Мы обещали рассказать об их практическом значении. Где их можно встретить?
Оказывается, для этого далеко ходить не надо.
Наши органы чувств «сконструированы» так, что могут работать в широчайших диапазонах. Световые потоки от Солнца, от электрической лампочки и от далёких звёзд различаются на несколько порядков. Но мы видим и яркое солнце, и едва заметные звёзды. Мы слышим шорох листьев и грохот грома, а ведь интенсивность этих звуков также различается в миллиарды раз.
Как это происходит? Дело в том, что глаз и ухо воспринимают именно логарифм величины внешнего воздействия. Это закон Вебера-Фехнера, или основной психофизический закон: интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Например, при увеличении звукового давления в 10 раз нам кажется, что громкость возросла вдвое.
Подробнее о логарифмической шкале наших ощущений можно почитать в статье «Чувств наших логарифмы» (журнал «Вокруг света», №10, 2010; http://www.vokrugsveta.ru/telegraph/theory/767).
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Логарифмическая функция» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
05.09.2023