Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Тригонометрические функции

В школьной программе изучаются четыре тригонометрических функции — синус, косинус, тангенс и котангенс. В этой статье мы рассмотрим графики и основные свойства этих функций.

1. Начнем с построения графика функции \(y = sin x\).

Выберем подходящий масштаб. По оси \(X\): три клетки примем за \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) (это примерно полтора).

Тогда \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) — одна клеточка, \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\) — две клетки.

По оси \(Y\): две клетки примем за единицу.

Область определения функции \(y = sin x\) — все действительные числа, поскольку значение \(sin \alpha\) можно посчитать для любого угла \(\alpha\).

Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.

\(x\) \(0\) \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) \(\displaystyle \frac{5\pi }{6}\) \(\pi \)
\(sin x\) \(0\) \(\displaystyle \frac{1 }{2}\) \(1\) \(\displaystyle \frac{1 }{2}\) \(0 \)

Можем добавить, для большей плавности графика, точки \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\) и \(\displaystyle \frac{2\pi }{3}.\) В них значение синуса равно \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2 }\approx0,86. \)

Соединим полученные точки плавной кривой.

Мы помним, что \(\sin (-x)= - \sin x\). Это значит, что \(\displaystyle \sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}; \; \sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1.\)

Получается часть графика, симметричная той, которую нарисовали раньше.

Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть

\(\sin (x + 2\pi n) = \sin x.\)
Это значит, что функция \(y = sin x\) является периодической. Мы уже построили участок графика длиной \(2\pi\). А теперь мы как будто "копируем" этот участок и повторяем его с периодом \(2\pi\):

Синусоида построена.

Перечислим основные свойства функции \(y = sin x\).

1) \(D(y): x\in  R\), то есть область определения — все действительные числа.

2) \(E(y): y\in  [−1; 1]\). Это означает, что наибольшее значение функции \(y = sin x\) равно единице, а наименьшее — минус единице.

3) Функция \(y = sin x\) — нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.

4) Функция \(y = sin x\) — периодическая. Ее наименьший положительный период равен \(2\pi\).

2. Следующий график: \(y = cos x\). Масштаб — тот же. Отметим на графике точки, в которых косинус является рациональным числом:

\(x\) \(0\) \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) \(\displaystyle \frac{2\pi }{3}\) \(\pi \)
\(cos x\) \(1\) \(\displaystyle \frac{1 }{2}\) \(0\) \(\displaystyle -\frac{1 }{2}\) \(-1 \)

 

Поскольку \(cos (−x) = cos x\), график будет симметричен относительно оси \(Y\), то есть левая его часть будет зеркальным отражением правой.

Функция \(y = cos x\) — тоже периодическая. Так же, как и для синуса, ее значения повторяются через \(2\pi \). "Копируем" участок графика, который уже построили, и повторяем периодически.

Перечислим основные свойства функции \(y = cos x\).

1) \(D(y): x\in  R\), то есть область определения — все действительные числа.

2) \(E(y): y\in  [−1; 1]\). Это означает, что наибольшее значение функции \(y = cos x\) равно единице, а наименьшее — минус единице.

3) Функция \(y = cos x\) — четная. Ее график симметричен относительно оси \(Y\).

4) Функция \(y = cos x\) — периодическая. Ее наименьший положительный период равен \(2\pi\) .

Отметим еще одно свойство.

Графики функций \(y = sin x\) и \(y = cos x\) весьма похожи друг на друга. Можно даже сказать, что график косинуса получится, если график синуса сдвинуть на \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) влево.

Так оно и есть — по одной из формул приведения, \( \sin \left(x + \displaystyle \frac{\pi }{2} \right) = \cos x\).

Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!

Функции синус и косинус идеально подходят для описания колебаний и волн — то есть процессов, повторяющихся во времени.

По закону синуса (или косинуса) происходят колебания маятника или груза на пружине. Переменный ток (тот, который в розетке) выражается формулой \(I(t) = I_0 cos(\omega t+\alpha)\). Но и это не все. Функции синус и косинус описывают звуковые, инфра– и ультразвуковые волны, а также весь спектр электромагнитных колебаний. Ведь то, что наш глаз воспринимает как свет и цвет, на самом деле представляет собой электромагнитные колебания.

Разные длины волн света воспринимается нами как разные цвета. Наши глаза видят лишь небольшую часть спектра электромагнитных волн. Кроме видимого цвета, в нем присутствуют радиоволны, тепловое (инфракрасное) излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма–излучение. Более того — объекты микромира (например, электрон) проявляют волновые свойства.

3. Перейдем к графику функции \(y = tg x\).

Чтобы построить его, воспользуемся таблицей значений тангенса.

Масштаб возьмем тот же — три клетки по оси \(X\) соответствуют \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) , две клетки по \(Y\) — единице.

График будем строить на отрезке от \(0\) до \(\pi \). Поскольку \(tg (x + \pi n) = tg x\), функция тангенс также является периодической.

Мы нарисуем участок длиной \(\pi\), а затем периодически его повторим.

Непонятно только, как быть с точкой \(\displaystyle x=\frac{\pi }{2}.\) Ведь в этой точке значение тангенса не определено.

А как же будет вести себя график функции \(y = tg x\) при \(x\), близких к \(\displaystyle \frac{\pi }{2},\) то есть к \(90\) градусам?

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем значение \(x\), близкое к \(90^{\circ}\), и посчитаем на калькуляторе значения синуса и косинуса этого угла. Пусть \(x=89^{\circ}\).

Синус угла \(89^{\circ}\) — это почти \(1\). Точнее, \(sin 89^{\circ}= 0,9998\).

Косинус этого угла близок к нулю. Точнее, \(cos 89^{\circ}= 0,0175\).

Тогда \(\displaystyle \textup{tg}89^{\circ}=\frac{\sin 89^{\circ}}{\cos 89^{\circ}}=\frac{0,9998}{0,0175}=\frac{9998}{175}\approx 59,\) график уйдет на \(59\) единиц (то есть на \(118\) клеток) вверх.

Можно сказать, что если \(x\) стремится к \(90^{\circ}\) (то есть к \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\)), значение функции \(y = tg x\) стремится к бесконечности.

Аналогично, при \(x\), близких к \(\displaystyle -\frac{\pi }{2}\) , график тангенса уходит вниз, то есть стремится к минус бесконечности.

Осталось только "скопировать" этот участок графика и повторить его с периодом \(\pi\).

Перечислим свойства функции \(y = tg x\).

1) \(\displaystyle D(y): x\in \left(-\frac{\pi }{2}+\pi n; \frac{\pi }{2}+\pi n\right), \; n\in  Z\).

Другими словами, тангенс не определен для \(\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\) где \(n\in  Z\).

2) Область значений \(E(y)\) — все действительные числа.

3) Функция \(y = tg x\) — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция \(y = tg x\) — периодическая. Ее наименьший положительный период равен \(\pi\).

5) Функция \(y = tg x\) возрастает при \(\displaystyle x\in \left(-\frac{\pi }{2}+\pi n; \frac{\pi }{2}+\pi n\right),\; n\in Z\), то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

4. График функции \(y = ctg x\) строится аналогично. Вот он:

1) \(D(y): x\in (\pi n; \pi n+\pi), \; n\in  Z\).

Другими словами, котангенс не определен для \(x= \pi n,\) где \(n\in  Z\).

2) Область значений \(E(y)\) - все действительные числа.

3) Функция \(y = ctg x\) — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция \(y = ctg x\) — периодическая. Ее наименьший положительный период равен \(\pi\).

5) Функция \(y = ctg x\) убывает при \(x\in (\pi n; \pi n+\pi), \; n\in  Z\), то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

Поделиться страницей

Это полезно

Теория вероятностей на ЕГЭ-2025 по математике
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
ЕГЭ Математика
Олимпиада ОММО:
100 баллов за 5 задач