В школьной программе изучаются четыре тригонометрических функции — синус, косинус, тангенс и котангенс. В этой статье мы рассмотрим графики и основные свойства этих функций.
1. Начнем с построения графика функции \(y = sin x\).
Выберем подходящий масштаб. По оси \(X\): три клетки примем за \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) (это примерно полтора).
Тогда \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) — одна клеточка, \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\) — две клетки.
По оси \(Y\): две клетки примем за единицу.
Область определения функции \(y = sin x\) — все действительные числа, поскольку значение \(sin \alpha\) можно посчитать для любого угла \(\alpha\).
Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.
| \(x\) | \(0\) | \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) | \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) | \(\displaystyle \frac{5\pi }{6}\) | \(\pi \) |
| \(sin x\) | \(0\) | \(\displaystyle \frac{1 }{2}\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1 }{2}\) | \(0 \) |
Можем добавить, для большей плавности графика, точки \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\) и \(\displaystyle \frac{2\pi }{3}.\) В них значение синуса равно \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2 }\approx0,86. \)
Соединим полученные точки плавной кривой.
Мы помним, что \(\sin (-x)= - \sin x\). Это значит, что \(\displaystyle \sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}; \; \sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1.\)
Получается часть графика, симметричная той, которую нарисовали раньше.
Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть
Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции \(y = sin x\).
1) \(D(y): x\in R\), то есть область определения — все действительные числа.
2) \(E(y): y\in [−1; 1]\). Это означает, что наибольшее значение функции \(y = sin x\) равно единице, а наименьшее — минус единице.
3) Функция \(y = sin x\) — нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.
4) Функция \(y = sin x\) — периодическая. Ее наименьший положительный период равен \(2\pi\).
2. Следующий график: \(y = cos x\). Масштаб — тот же. Отметим на графике точки, в которых косинус является рациональным числом:
| \(x\) | \(0\) | \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\) | \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) | \(\displaystyle \frac{2\pi }{3}\) | \(\pi \) |
| \(cos x\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1 }{2}\) | \(0\) | \(\displaystyle -\frac{1 }{2}\) | \(-1 \) |
Поскольку \(cos (−x) = cos x\), график будет симметричен относительно оси \(Y\), то есть левая его часть будет зеркальным отражением правой.
Функция \(y = cos x\) — тоже периодическая. Так же, как и для синуса, ее значения повторяются через \(2\pi \). "Копируем" участок графика, который уже построили, и повторяем периодически.
Перечислим основные свойства функции \(y = cos x\).
1) \(D(y): x\in R\), то есть область определения — все действительные числа.
2) \(E(y): y\in [−1; 1]\). Это означает, что наибольшее значение функции \(y = cos x\) равно единице, а наименьшее — минус единице.
3) Функция \(y = cos x\) — четная. Ее график симметричен относительно оси \(Y\).
4) Функция \(y = cos x\) — периодическая. Ее наименьший положительный период равен \(2\pi\) .
Отметим еще одно свойство.
Графики функций \(y = sin x\) и \(y = cos x\) весьма похожи друг на друга. Можно даже сказать, что график косинуса получится, если график синуса сдвинуть на \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) влево.
Так оно и есть — по одной из формул приведения, \( \sin \left(x + \displaystyle \frac{\pi }{2} \right) = \cos x\).
Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!
Функции синус и косинус идеально подходят для описания колебаний и волн — то есть процессов, повторяющихся во времени.
По закону синуса (или косинуса) происходят колебания маятника или груза на пружине. Переменный ток (тот, который в розетке) выражается формулой \(I(t) = I_0 cos(\omega t+\alpha)\). Но и это не все. Функции синус и косинус описывают звуковые, инфра– и ультразвуковые волны, а также весь спектр электромагнитных колебаний. Ведь то, что наш глаз воспринимает как свет и цвет, на самом деле представляет собой электромагнитные колебания.
Разные длины волн света воспринимается нами как разные цвета. Наши глаза видят лишь небольшую часть спектра электромагнитных волн. Кроме видимого цвета, в нем присутствуют радиоволны, тепловое (инфракрасное) излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма–излучение. Более того — объекты микромира (например, электрон) проявляют волновые свойства.
3. Перейдем к графику функции \(y = tg x\).
Чтобы построить его, воспользуемся таблицей значений тангенса.
Масштаб возьмем тот же — три клетки по оси \(X\) соответствуют \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) , две клетки по \(Y\) — единице.
График будем строить на отрезке от \(0\) до \(\pi \). Поскольку \(tg (x + \pi n) = tg x\), функция тангенс также является периодической.
Мы нарисуем участок длиной \(\pi\), а затем периодически его повторим.
Непонятно только, как быть с точкой \(\displaystyle x=\frac{\pi }{2}.\) Ведь в этой точке значение тангенса не определено.
А как же будет вести себя график функции \(y = tg x\) при \(x\), близких к \(\displaystyle \frac{\pi }{2},\) то есть к \(90\) градусам?
Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем значение \(x\), близкое к \(90^{\circ}\), и посчитаем на калькуляторе значения синуса и косинуса этого угла. Пусть \(x=89^{\circ}\).
Синус угла \(89^{\circ}\) — это почти \(1\). Точнее, \(sin 89^{\circ}= 0,9998\).
Косинус этого угла близок к нулю. Точнее, \(cos 89^{\circ}= 0,0175\).
Тогда \(\displaystyle \textup{tg}89^{\circ}=\frac{\sin 89^{\circ}}{\cos 89^{\circ}}=\frac{0,9998}{0,0175}=\frac{9998}{175}\approx 59,\) график уйдет на \(59\) единиц (то есть на \(118\) клеток) вверх.
Можно сказать, что если \(x\) стремится к \(90^{\circ}\) (то есть к \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\)), значение функции \(y = tg x\) стремится к бесконечности.
Аналогично, при \(x\), близких к \(\displaystyle -\frac{\pi }{2}\) , график тангенса уходит вниз, то есть стремится к минус бесконечности.
Осталось только "скопировать" этот участок графика и повторить его с периодом \(\pi\).
Перечислим свойства функции \(y = tg x\).
1) \(\displaystyle D(y): x\in \left(-\frac{\pi }{2}+\pi n; \frac{\pi }{2}+\pi n\right), \; n\in Z\).
Другими словами, тангенс не определен для \(\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\) где \(n\in Z\).
2) Область значений \(E(y)\) — все действительные числа.
3) Функция \(y = tg x\) — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.
4) Функция \(y = tg x\) — периодическая. Ее наименьший положительный период равен \(\pi\).
5) Функция \(y = tg x\) возрастает при \(\displaystyle x\in \left(-\frac{\pi }{2}+\pi n; \frac{\pi }{2}+\pi n\right),\; n\in Z\), то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.
4. График функции \(y = ctg x\) строится аналогично. Вот он:
1) \(D(y): x\in (\pi n; \pi n+\pi), \; n\in Z\).
Другими словами, котангенс не определен для \(x= \pi n,\) где \(n\in Z\).
2) Область значений \(E(y)\) - все действительные числа.
3) Функция \(y = ctg x\) — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.
4) Функция \(y = ctg x\) — периодическая. Ее наименьший положительный период равен \(\pi\).
5) Функция \(y = ctg x\) убывает при \(x\in (\pi n; \pi n+\pi), \; n\in Z\), то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
