Slider

Тригонометрические функции

В школьной программе изучаются четыре тригонометрических функции - синус, косинус, тангенс и котангенс. В этой статье мы рассмотрим графики и основные свойства этих функций.

1. Начнем с построения графика функции y = sin x.

Выберем подходящий масштаб. По оси X: три клетки примем за \displaystyle \frac{\pi }{2} (это примерно полтора). Тогда \displaystyle \frac{\pi }{6} - одна клеточка, \displaystyle \frac{\pi }{3} - две клетки.
По оси Y : две клетки примем за единицу.

Область определения функции y = sin x - все действительные числа, поскольку значение sin α можно посчитать для любого угла α.

Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.

x 0 \displaystyle \frac{\pi }{6} \displaystyle \frac{\pi }{2} \displaystyle \frac{5\pi }{6} \pi
sin x 0 \displaystyle \frac{1 }{2} 1 \displaystyle \frac{1 }{2} 0

Можем добавить, для большей плавности графика, точки \displaystyle \frac{\pi }{3} и \displaystyle \frac{2\pi }{3} . В них значение синуса равно \frac{\sqrt{3}}{2 }\approx0,86
Соединим полученные точки плавной кривой.

Мы помним, что \sin (-x)= - \sin x. Это значит, что \sin (-\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}; \sin (-\frac{\pi }{2})=-1
Получается часть графика, симметричная той, которую нарисовали раньше.

Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть

\sin (x + 2\pi n) = \sin x.

Это значит, что функция y = sin x является периодической. Мы уже построили уча-сток графика длиной 2π. А теперь мы как будто "копируем" этот участок и повторяем его с периодом 2π:

Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции y = sin x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения - все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = sin x равно единице, а наименьшее - минус единице.

3) Функция y = sin x - нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.

4) Функция y = sin x - периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

2. Следующий график: y = cos x. Масштаб - тот же. Отметим на графике точки, в которых косинус является рациональным числом:

x 0 \displaystyle \frac{\pi }{3} \displaystyle \frac{\pi }{2} \displaystyle \frac{2\pi }{3} \pi
cos x 1 \displaystyle \frac{1 }{2} 0 \displaystyle -\frac{1 }{2} -1

Поскольку cos (−x) = cos x, график будет симметричен относительно оси Y , то есть левая его часть будет зеркальным отражением правой.

Функция y = cos x - тоже периодическая. Так же, как и для синуса, ее значения повторяются через 2πn. "Копируем" участок графика, который уже построили, и повторяем периодически.

Перечислим основные свойства функции y = cos x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения - все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = cos x равно единице, а наименьшее - минус единице.

3) Функция y = cos x - четная. Ее график симметричен относительно оси Y .

4) Функция y = cos x - периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

Отметим еще одно свойство. Графики функций y = sin x и y = cos x весьма похожи друг на друга. Можно даже сказать, что график косинуса получится, если график синуса сдвинуть на \displaystyle \frac{\pi }{2} влево. Так оно и есть - по одной из формул приведения,\sin (x + \displaystyle \frac{\pi }{2} ) = \cos x.

Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!

Функции синус и косинус идеально подходят для описания колебаний и волн - то есть процессов, повторяющихся во времени.

По закону синуса (или косинуса) происходят колебания маятника или груза на пружине. Переменный ток (тот, который в розетке) выражается формулой I(t) = I_0 cos(ωt+α). Но и это не все. Функции синус и косинус описывают звуковые, инфра– и ультразвуковые волны, а также весь спектр электромагнитных колебаний. Ведь то, что наш глаз воспринимает как свет и цвет, на самом деле представляет собой электромагнитные колебания. Разные длины волн света воспринимается нами как разные цвета. Наши глаза видят лишь небольшую часть спектра электромагнитных волн. Кроме видимого цвета, в нем присутствуют радиоволны, тепловое (инфракрасное) излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма–излучение. Более того - объекты микромира (например, электрон) проявляют волновые свойства.

3. Перейдем к графику функции y = tg x.

Чтобы построить его, воспользуемся таблицей значений тангенса. Масштаб возьмем тот же - три клетки по оси X соответствуют \frac{\pi }{2} , две клетки по Y - единице. График будем строить на отрезке от 0 до π. Поскольку tg (x + πn) = tg x, функ-ция тангенс также является периодической. Мы нарисуем участок длиной π, а затем периодически его повторим.

Непонятно только, как быть с точкой x= \frac{\pi }{2} . Ведь в этой точке значение тангенса не определено. А как же будет вести себя график функции y = tg x при x, близких к \frac{\pi }{2} , то есть к 90 градусам?

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем значение x, близкое к 90^{\circ}, и посчитаем на калькуляторе значения синуса и косинуса этого угла. Пусть x=89^{\circ}.

Синус угла 89^{\circ} - это почти 1. Точнее, sin 89^{\circ} = 0,9998. Косинус этого угла близок к нулю. Точнее, cos 89^{\circ} = 0,0175.

Тогда \textup{tg}89^{\circ}=\frac{\sin 89^{\circ}}{\cos 89^{\circ}}=\frac{0,9998}{0,0175}=\frac{9998}{175}\approx 59
график уйдет на 59 единиц (то есть на 118 клеток) вверх. Можно сказать, что если x стремится к 90^{\circ} (то есть к \frac{\pi }{2} , значение функции y = tg x стремится к бесконечности.

Аналогично, при x, близких к -\frac{\pi }{2} , график тангенса уходит вниз, то есть стремится к минус бесконечности.

Осталось только "скопировать" этот участок графика и повторить его с периодом π.

Перечислим свойства функции y = tg x.

1) D(y):x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n; \frac{\pi }{2}+\pi n) .
Другими словами, тангенс не определен для x= \frac{\pi }{2}+\pi n) где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) - все действительные числа.

3) Функция y = tg x - нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = tg x - периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = tg x возрастает при x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n; \frac{\pi }{2}+\pi n) то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

4. График функции y = ctg x строится аналогично. Вот он:

1) D(y):x\in (\pi n; \pi n+\pi) .
Другими словами, котангенс не определен для x= \pi n где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) - все действительные числа.

3) Функция y = сtg x - нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = сtg x - периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = сtg x убывает при x\in (\pi n; \pi n+\pi) то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ПРОБНЫЕ ЕГЭ В МАРТЕ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.