Тригонометрические функции
В школьной программе изучаются четыре тригонометрических функции — синус, косинус, тангенс и котангенс. В этой статье мы рассмотрим графики и основные свойства этих функций.
1. Начнем с построения графика функции y = sin x.
Выберем подходящий масштаб. По оси X: три клетки примем за
(это примерно полтора). Тогда
— одна клеточка,
— две клетки.
По оси Y: две клетки примем за единицу.
Область определения функции y = sin x — все действительные числа, поскольку значение sin α можно посчитать для любого угла α.
Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.
Можем добавить, для большей плавности графика, точки
и
В них значение синуса равно 
Соединим полученные точки плавной кривой.

Мы помним, что
. Это значит, что 
Получается часть графика, симметричная той, которую нарисовали раньше.
Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть
Это значит, что функция y = sin x является периодической. Мы уже построили участок графика длиной 2π. А теперь мы как будто "копируем" этот участок и повторяем его с периодом 2π:

Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции y = sin x.
1) D(y): x ∈ R, то есть область определения — все действительные числа.
2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = sin x равно единице, а наименьшее — минус единице.
3) Функция y = sin x — нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.
4) Функция y = sin x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.
2. Следующий график: y = cos x. Масштаб — тот же. Отметим на графике точки, в которых косинус является рациональным числом:

Поскольку cos (−x) = cos x, график будет симметричен относительно оси Y , то есть левая его часть будет зеркальным отражением правой.

Функция y = cos x — тоже периодическая. Так же, как и для синуса, ее значения повторяются через 2πn. "Копируем" участок графика, который уже построили, и повторяем периодически.
Перечислим основные свойства функции y = cos x.
1) D(y): x ∈ R, то есть область определения — все действительные числа.
2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = cos x равно единице, а наименьшее — минус единице.
3) Функция y = cos x — четная. Ее график симметричен относительно оси Y.
4) Функция y = cos x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.
Отметим еще одно свойство. Графики функций y = sin x и y = cos x весьма похожи друг на друга. Можно даже сказать, что график косинуса получится, если график синуса сдвинуть на
влево. Так оно и есть — по одной из формул приведения,
.
Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!
Функции синус и косинус идеально подходят для описания колебаний и волн — то есть процессов, повторяющихся во времени.
По закону синуса (или косинуса) происходят колебания маятника или груза на пружине. Переменный ток (тот, который в розетке) выражается формулой I(t) = I
cos(ωt+α). Но и это не все. Функции синус и косинус описывают звуковые, инфра– и ультразвуковые волны, а также весь спектр электромагнитных колебаний. Ведь то, что наш глаз воспринимает как свет и цвет, на самом деле представляет собой электромагнитные колебания. Разные длины волн света воспринимается нами как разные цвета. Наши глаза видят лишь небольшую часть спектра электромагнитных волн. Кроме видимого цвета, в нем присутствуют радиоволны, тепловое (инфракрасное) излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма–излучение. Более того — объекты микромира (например, электрон) проявляют волновые свойства.
3. Перейдем к графику функции y = tg x.
Чтобы построить его, воспользуемся таблицей значений тангенса. Масштаб возьмем тот же — три клетки по оси X соответствуют
, две клетки по Y — единице. График будем строить на отрезке от 0 до π. Поскольку tg (x + πn) = tg x, функция тангенс также является периодической. Мы нарисуем участок длиной π, а затем периодически его повторим.
Непонятно только, как быть с точкой
Ведь в этой точке значение тангенса не определено. А как же будет вести себя график функции y = tg x при x, близких к
то есть к 90 градусам?
Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем значение x, близкое к
, и посчитаем на калькуляторе значения синуса и косинуса этого угла. Пусть
.
Синус угла
— это почти 1. Точнее, sin
= 0,9998. Косинус этого угла близок к нулю. Точнее, cos
= 0,0175.
Тогда 
график уйдет на 59 единиц (то есть на 118 клеток) вверх. Можно сказать, что если x стремится к
(то есть к
), значение функции y = tg x стремится к бесконечности.
Аналогично, при x, близких к
, график тангенса уходит вниз, то есть стремится к минус бесконечности.

Осталось только "скопировать" этот участок графика и повторить его с периодом π.

Перечислим свойства функции y = tg x.
1)
.
Другими словами, тангенс не определен для
где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) — все действительные числа.
3) Функция y = tg x — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.
4) Функция y = tg x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.
5) Функция y = tg x возрастает при
, то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.
4. График функции y = ctg x строится аналогично. Вот он:

1)
.
Другими словами, котангенс не определен для
где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) - все действительные числа.
3) Функция y = сtg x — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.
4) Функция y = сtg x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.
5) Функция y = сtg x убывает при
, то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Тригонометрические функции» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
04.09.2023