Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Тригонометрические функции

В школьной программе изучаются четыре тригонометрических функции — синус, косинус, тангенс и котангенс. В этой статье мы рассмотрим графики и основные свойства этих функций.

1. Начнем с построения графика функции y = sin x.

Выберем подходящий масштаб. По оси X: три клетки примем за \displaystyle \frac{\pi }{2} (это примерно полтора). Тогда \displaystyle \frac{\pi }{6} — одна клеточка, \displaystyle \frac{\pi }{3} — две клетки.
По оси Y: две клетки примем за единицу.

Область определения функции y = sin x — все действительные числа, поскольку значение sin α можно посчитать для любого угла α.

Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.

x 0 \displaystyle \frac{\pi }{6} \displaystyle \frac{\pi }{2} \displaystyle \frac{5\pi }{6} \pi
sin x 0 \displaystyle \frac{1 }{2} 1 \displaystyle \frac{1 }{2} 0

Можем добавить, для большей плавности графика, точки \displaystyle \frac{\pi }{3} и \displaystyle \frac{2\pi }{3}. В них значение синуса равно \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2 }\approx0,86.
Соединим полученные точки плавной кривой.

Мы помним, что \sin (-x)= - \sin x. Это значит, что \displaystyle \sin (-\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}; \sin (-\frac{\pi }{2})=-1.
Получается часть графика, симметричная той, которую нарисовали раньше.

Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть

\sin (x + 2\pi n) = \sin x.

Это значит, что функция y = sin x является периодической. Мы уже построили участок графика длиной 2π. А теперь мы как будто "копируем" этот участок и повторяем его с периодом 2π:

Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции y = sin x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения — все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = sin x равно единице, а наименьшее — минус единице.

3) Функция y = sin x — нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.

4) Функция y = sin x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

2. Следующий график: y = cos x. Масштаб — тот же. Отметим на графике точки, в которых косинус является рациональным числом:

x 0 \displaystyle \frac{\pi }{3} \displaystyle \frac{\pi }{2} \displaystyle \frac{2\pi }{3} \pi
cos x 1 \displaystyle \frac{1 }{2} 0 \displaystyle -\frac{1 }{2} -1

Поскольку cos (−x) = cos x, график будет симметричен относительно оси Y , то есть левая его часть будет зеркальным отражением правой.

Функция y = cos x — тоже периодическая. Так же, как и для синуса, ее значения повторяются через 2πn. "Копируем" участок графика, который уже построили, и повторяем периодически.

Перечислим основные свойства функции y = cos x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения — все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = cos x равно единице, а наименьшее — минус единице.

3) Функция y = cos x — четная. Ее график симметричен относительно оси Y.

4) Функция y = cos x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

Отметим еще одно свойство. Графики функций y = sin x и y = cos x весьма похожи друг на друга. Можно даже сказать, что график косинуса получится, если график синуса сдвинуть на \displaystyle \frac{\pi }{2} влево. Так оно и есть — по одной из формул приведения,\sin (x + \displaystyle \frac{\pi }{2} ) = \cos x.

Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!

Функции синус и косинус идеально подходят для описания колебаний и волн — то есть процессов, повторяющихся во времени.

По закону синуса (или косинуса) происходят колебания маятника или груза на пружине. Переменный ток (тот, который в розетке) выражается формулой I(t) = I_0 cos(ωt+α). Но и это не все. Функции синус и косинус описывают звуковые, инфра– и ультразвуковые волны, а также весь спектр электромагнитных колебаний. Ведь то, что наш глаз воспринимает как свет и цвет, на самом деле представляет собой электромагнитные колебания. Разные длины волн света воспринимается нами как разные цвета. Наши глаза видят лишь небольшую часть спектра электромагнитных волн. Кроме видимого цвета, в нем присутствуют радиоволны, тепловое (инфракрасное) излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма–излучение. Более того — объекты микромира (например, электрон) проявляют волновые свойства.

3. Перейдем к графику функции y = tg x.

Чтобы построить его, воспользуемся таблицей значений тангенса. Масштаб возьмем тот же — три клетки по оси X соответствуют \displaystyle \frac{\pi }{2} , две клетки по Y — единице. График будем строить на отрезке от 0 до π. Поскольку tg (x + πn) = tg x, функция тангенс также является периодической. Мы нарисуем участок длиной π, а затем периодически его повторим.

Непонятно только, как быть с точкой \displaystyle x=\frac{\pi }{2}. Ведь в этой точке значение тангенса не определено. А как же будет вести себя график функции y = tg x при x, близких к \displaystyle \frac{\pi }{2}, то есть к 90 градусам?

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем значение x, близкое к 90^{\circ}, и посчитаем на калькуляторе значения синуса и косинуса этого угла. Пусть x=89^{\circ}.

Синус угла 89^{\circ} — это почти 1. Точнее, sin 89^{\circ} = 0,9998. Косинус этого угла близок к нулю. Точнее, cos 89^{\circ} = 0,0175.

Тогда \displaystyle \textup{tg}89^{\circ}=\frac{\sin 89^{\circ}}{\cos 89^{\circ}}=\frac{0,9998}{0,0175}=\frac{9998}{175}\approx 59,
график уйдет на 59 единиц (то есть на 118 клеток) вверх. Можно сказать, что если x стремится к 90^{\circ} (то есть к \displaystyle \frac{\pi }{2}), значение функции y = tg x стремится к бесконечности.

Аналогично, при x, близких к \displaystyle -\frac{\pi }{2} , график тангенса уходит вниз, то есть стремится к минус бесконечности.

Осталось только "скопировать" этот участок графика и повторить его с периодом π.

Перечислим свойства функции y = tg x.

1) \displaystyle D(y):x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n; \frac{\pi }{2}+\pi n) .
Другими словами, тангенс не определен для \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n, где n ∈ Z.

2) Область значений E(y) — все действительные числа.

3) Функция y = tg x — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = tg x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = tg x возрастает при \displaystyle x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n; \frac{\pi }{2}+\pi n), то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

4. График функции y = ctg x строится аналогично. Вот он:

1) D(y):x\in (\pi n; \pi n+\pi) .
Другими словами, котангенс не определен для x= \pi n где n ∈ Z.

2) Область значений E(y) - все действительные числа.

3) Функция y = сtg x — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = сtg x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = сtg x убывает при x\in (\pi n; \pi n+\pi), то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

Поделиться страницей

Это полезно

Задача 18 на числа и их свойства
В этой статье мы расскажем, какие непростые и нестандартные задачи встречались на ЕГЭ-2022 по математике.
Математика «100 баллов»
Задачи на числа и их свойства.
Олимпиадные методы решения!