Степенная функция

Степенны́ми называют функции вида x^α, где α может быть целым, дробным, положительным или отрицательным. К ним относятся всем знакомая линейная функция y = kx + b, квадратичная парабола y = x² (в общем виде: y = ax² + bx + c), кубическая парабола y = x³. Степенными являются также гипербола , которую можно представить как y = x⁻¹, функция (ведь ),  и многие другие.

Расскажем подробно об этих функциях и их графиках.

1. Линейная функция y = kx + b. График — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек.

Если k > 0, линейная функция возрастает. Чем больше k, тем круче идет график. Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси X:

Если k < 0, линейная функция убывает. Очевидно, в этом случае угол α — тупой и tgα < 0.

Если k = 0, мы получим прямую y = b, параллельную оси X.
Если угловые коэффициенты прямых равны — прямые параллельны.

2. О квадратичной функции (параболе) y = ax² + bx + c мы уже рассказывали.

Кратко повторим основные моменты:

- Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Если a < 0 — вниз.

- Координаты вершины параболы находятся по формулам:

- Точки пересечения параболы с осью X находятся как корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Если корней нет (дискриминант уравнения меньше нуля), парабола не пересекает ось X.

- Точку пересечения параболы с осью Y находим, подставив в её уравнение x = 0.

3. На рисунках функции y = x³ (кубическая парабола), y = x⁴ и y = x⁵.

4. Заметим, что между функциями y = x² и y = x⁴ есть определенное сходство. Оба этих графика симметричны относительно оси Y. Такие функции называются чётными.

Определение. Функция y = f(x) называется чётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(−x) = f(x).

Графики функций y = x³ и y = x⁵ симметричны относительно начала координат. Эти функции — нечётные.

Определение. Функция y = f(x) называется нечётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Очевидно, функция y = x^α является чётной при чётных значениях α и нечётной при нечётных α.

5. Функция (гипербола) также относится к степенным. Ведь . Поскольку знаменатель не должен обращаться в ноль, эта функция не определена при x = 0. Гипербола является нечётной функцией. Её график симметричен относительно начала координат.

6. Построим график функции .

Выражение определено при x ≥ 0, поэтому область определения функции — все неотрицательные числа.

Кроме того, принимает только неотрицательные значения, поскольку ≥ 0.

Мы используем эти свойства при решении уравнений и неравенств. Уравнение вида имеет смысл только при f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. Это его область допустимых значений.

Существуют вопросы, ставящие в тупик почти любого абитуриента. Например, чему равен ?

Правильный ответ: .

Запомните это. Проверить легко: возьмём, например, a = −2.

Изобразим на одном графике параболу y = x² и функцию .

Сейчас нас интересует правая ветвь параболы, при x ≥ 0. Мы видим, что эта часть параболы и график функции словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x. То, что для одной из них — область определения, для другой — область значений.

Напомним, что такие функции называются взаимно обратными. Подробно об этом можно прочитать в статье «Логарифмическая функция».

7. Легко убедиться, что функция является обратной к функции y = x³.