Степенная функция
Степенны́ми называют функции вида xα, где α может быть целым, дробным, положительным или отрицательным. К ним относятся всем знакомая линейная функция y = kx + b, квадратичная парабола y = x2 (в общем виде: y = ax2 + bx + c), кубическая парабола y = x3. Степенными являются также гипербола
, которую можно представить как y = x−1, функция
(ведь
),
и многие другие.
Расскажем подробно об этих функциях и их графиках.
1. Линейная функция y = kx + b. График — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек.
Если k > 0, линейная функция возрастает. Чем больше k, тем круче идет график. Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси X:

Если k < 0, линейная функция убывает. Очевидно, в этом случае угол α — тупой и tgα < 0.

Если k = 0, мы получим прямую y = b, параллельную оси X.
Если угловые коэффициенты прямых равны — прямые параллельны.

2. О квадратичной функции (параболе) y = ax2 + bx + c мы уже рассказывали.
Кратко повторим основные моменты:
- Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Если a < 0 — вниз.
- Координаты вершины параболы находятся по формулам: 
- Точки пересечения параболы с осью X находятся как корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Если корней нет (дискриминант уравнения меньше нуля), парабола не пересекает ось X.
- Точку пересечения параболы с осью Y находим, подставив в её уравнение x = 0.
3. На рисунках функции y = x3 (кубическая парабола), y = x4 и y = x5.

4. Заметим, что между функциями y = x2 и y = x4 есть определенное сходство. Оба этих графика симметричны относительно оси Y. Такие функции называются чётными.
Определение. Функция y = f(x) называется чётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(−x) = f(x).
Графики функций y = x3 и y = x5 симметричны относительно начала координат. Эти функции — нечётные.
Определение. Функция y = f(x) называется нечётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).
Очевидно, функция y = xα является чётной при чётных значениях α и нечётной при нечётных α.
5. Функция
(гипербола) также относится к степенным. Ведь
. Поскольку знаменатель не должен обращаться в ноль, эта функция не определена при x = 0. Гипербола является нечётной функцией. Её график симметричен относительно начала координат.

6. Построим график функции
.
Выражение
определено при x ≥ 0, поэтому область определения функции — все неотрицательные числа.
Кроме того,
принимает только неотрицательные значения, поскольку
≥ 0.

Мы используем эти свойства при решении уравнений и неравенств. Уравнение вида
имеет смысл только при f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. Это его область допустимых значений.
Существуют вопросы, ставящие в тупик почти любого абитуриента. Например, чему равен
?
Правильный ответ:
.
Запомните это. Проверить легко: возьмём, например, a = −2.


Изобразим на одном графике параболу y = x2 и функцию
.
Сейчас нас интересует правая ветвь параболы, при x ≥ 0. Мы видим, что эта часть параболы и график функции
словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x. То, что для одной из них — область определения, для другой — область значений.

Напомним, что такие функции называются взаимно обратными. Подробно об этом можно прочитать в статье «Логарифмическая функция».
7. Легко убедиться, что функция
является обратной к функции y = x3.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Степенная функция» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
05.09.2023