icon icon icon icon
Бесплатно по РФ
banner
previous arrow
next arrow
Slider

Степенная функция

Степенны́ми называют функции вида xα, где α может быть целым, дробным, положительным или отрицательным. К ним относятся всем знакомая линейная функция y = kx + b, квадратичная парабола y = x2 (в общем виде: y = ax2 + bx + c), кубическая парабола y = x3. Степенными являются также гипербола y = \frac{1}{x}, которую можно представить как y = x−1, функция y =\sqrt{x } (ведь \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}),  и многие другие.

 

Расскажем подробно об этих функциях и их графиках.

1. Линейная функция y = kx + b. График — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек.

Если k > 0, линейная функция возрастает. Чем больше k, тем круче идет график. Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси X:

Если k < 0, линейная функция убывает. Очевидно, в этом случае угол α — тупой и tgα < 0.

Если k = 0, мы получим прямую y = b, параллельную оси X.
Если угловые коэффициенты прямых равны — прямые параллельны.

2. О квадратичной функции (параболе) y = ax2 + bx + c мы уже рассказывали.

Кратко повторим основные моменты:

- Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Если a < 0 — вниз.

- Координаты вершины параболы находятся по формулам:

- Точки пересечения параболы с осью X находятся как корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Если корней нет (дискриминант уравнения меньше нуля), парабола не пересекает ось X.

- Точку пересечения параболы с осью Y находим, подставив в её уравнение x = 0.

3. На рисунках функции y = x3 (кубическая парабола), y = x4 и y = x5.

4. Заметим, что между функциями y = x2 и y = x4 есть определенное сходство. Оба этих графика симметричны относительно оси Y. Такие функции называются чётными.

Определение. Функция y = f(x) называется чётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(−x) = f(x).

Графики функций y = x3 и y = x5 симметричны относительно начала координат. Эти функции — нечётные.

Определение. Функция y = f(x) называется нечётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Очевидно, функция y = xα является чётной при чётных значениях α и нечётной при нечётных α.

5. Функция \small y = \frac{1}{x} (гипербола) также относится к степенным. Ведь \small \frac{1}{x} = x^{-1}. Поскольку знаменатель не должен обращаться в ноль, эта функция не определена при x = 0. Гипербола является нечётной функцией. Её график симметричен относительно начала координат.

6. Построим график функции \small y = \sqrt{x}.

Выражение \small \sqrt{x} определено при x ≥ 0, поэтому область определения функции — все неотрицательные числа.

Кроме того, \small y = \sqrt{x} принимает только неотрицательные значения, поскольку \small \sqrt{x} ≥ 0.

Мы используем эти свойства при решении уравнений и неравенств. Уравнение вида \small \sqrt{f(x)}=g(x) имеет смысл только при f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. Это его область допустимых значений.

Существуют вопросы, ставящие в тупик почти любого абитуриента. Например, чему равен \sqrt{a^{2}}?

Правильный ответ: 

Запомните это. Проверить легко: возьмём, например, a = −2.

(-2)^{2} = 4;

\sqrt{4 }= 2

Изобразим на одном графике параболу y = x2 и функцию \small y = \sqrt{x}.

Сейчас нас интересует правая ветвь параболы, при x ≥ 0. Мы видим, что эта часть параболы и график функции \small y = \sqrt{x} словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x. То, что для одной из них — область определения, для другой — область значений.

Напомним, что такие функции называются взаимно-обратными. Подробно об этом можно прочитать в статье «Логарифмическая функция»).

7. Легко убедиться, что функция \small y = \sqrt[3]{x} является обратной к функции y = x3

 

Поделиться страницей

Это полезно

Вычисление перемещения по графику проекции скорости
Из кодификатора по физике, 2020. «1.1.3. Вычисление перемещения по графику зависимости υ(t).» Теория и задачи с решениями.
Онлайн курс «Математика профиль 100 баллов»
Детская задача. Спорим, вы ее не решите!