Slider

Показательная функция

А. Г. Малкова, И. В. Яковлев. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru

Показательная функция — это функция y = ax, где a > 0 и a ≠ 1.

Это одна из интереснейших функций в математике, и рассказ о ней мы начнём с древней индийской легенды.

Однажды царь узнал, что в его стране один мудрец изобрел замечательную игру — шахматы. Царь приказал доставить мудреца к себе во дворец, сыграл с ним несколько партий, и шахматы очень понравились ему. В восторге царь сказал мудрецу: «Выбирай себе любую награду. Всё получишь, чего ни пожелаешь!»

А мудрец ответил: «Пусть на первую клетку шахматной доски положат одно пшеничное
зерно. На вторую — два, на третью — четыре, и на каждую следующую в два раза больше,
чем на предыдущую. Всё это зерно и будет моей наградой».

Царь рассмеялся, решив, что мудрец, должно быть, спятил, раз просит о такой ничтожной
вещи, как кучка зерна, но приказал слугам всё исполнить. И на первую клетку шахматной
доски положили одно зерно (20 = 1), на вторую два (21 = 2), на третью 22 = 4. На десятой клетке уже не помещались 29 = 512 зёрен...

Несколько дней царский казначей вычислял требуемое количество зёрен. Оказалось, что
выполнить просьбу мудреца невозможно — даже если все поля нашей планеты засеять пшеницей!

Зависимость, о которой говорится в легенде, описывается функцией y = 2x. Построим её график. Для этого посчитаем значения функции при целых x, нанесём точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 1 2 4 8 16

Мы видим, что эта функция является возрастающей, и растёт она очень быстро. Более того — чем больше значение x, тем больше в этой точке крутизна графика. То есть растёт не только функция, но и её производная.

Теперь построим график функции

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 16 8 4 2 1

Эта функция — убывающая. Её график зеркально симметричен графику функции y = 2x относительно оси Y.

Заметим, что при построении этих графиков мы сделали одно допущение

Мы уже знаем, что такое степень с рациональным показателем — об этом рассказывается в
статье «Степени и корни». Но понятия степени с иррациональным показателем мы не вводили
(например, — что это такое?). Интуитивно мы чувствуем, что функция y = 2x определена
для всех действительных x и её график должен быть непрерывной линией, однако доказательство
этого выходит за рамки школьного курса.

Тем не менее, свойства показательной функции y = ax активно используются при решении
задач. Перечислим наиболее важные из них.

1. Область определения функции — все действительные числа: D(y) = R.

2. Область значений функции: E(y) = (0; +∞)

3. Поскольку a0 = 1, график проходит через точку (0, 1).

4. При a > 1 функция возрастает. При 0 < a < 1 функция убывает

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.