Показательная функция

Показательная функция — это функция \(y=a^{x}\), где \(a > 0\) и \(a\neq  1\).

Это одна из интереснейших функций в математике, и рассказ о ней мы начнём с древней индийской легенды.

Однажды царь узнал, что в его стране один мудрец изобрел замечательную игру — шахматы. Царь приказал доставить мудреца к себе во дворец, сыграл с ним несколько партий, и шахматы очень понравились ему. В восторге царь сказал мудрецу: «Выбирай себе любую награду. Всё получишь, чего ни пожелаешь!»

А мудрец ответил: «Пусть на первую клетку шахматной доски положат одно пшеничное зерно. На вторую — два, на третью — четыре, и на каждую следующую в два раза больше, чем на предыдущую. Всё это зерно и будет моей наградой».

Царь рассмеялся, решив, что мудрец, должно быть, спятил, раз просит о такой ничтожной вещи, как кучка зерна, но приказал слугам всё исполнить. И на первую клетку шахматной доски положили одно зерно \((2^{0} = 1)\), на вторую два \((2^{1} = 2)\), на третью \(2^{2} = 4\). На десятой клетке уже не помещались \(2^{9} = 512\) зёрен...

Несколько дней царский казначей вычислял требуемое количество зёрен. Оказалось, что выполнить просьбу мудреца невозможно — даже если все поля нашей планеты засеять пшеницей!

Зависимость, о которой говорится в легенде, описывается функцией \(y=2^{x}\). Построим её график. Для этого посчитаем значения функции при целых \(x\), нанесём точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией.

Мы видим, что эта функция является возрастающей, и растёт она очень быстро. Более того — чем больше значение \(x\), тем больше в этой точке крутизна графика. То есть растёт не только функция, но и её производная.

Теперь построим график функции \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{x}:\)

Эта функция — убывающая. Её график зеркально симметричен графику функции \(y=2^{x}\) относительно оси \(Y\).

Заметим, что при построении этих графиков мы сделали одно допущение.

Мы уже знаем, что такое степень с рациональным показателем — об этом рассказывается в статье «Степени и корни». Но понятия степени с иррациональным показателем мы не вводили (например, \(2^{\sqrt{2}}\) — что это такое?). Интуитивно мы чувствуем, что функция \(y=2^{x}\) определена для всех действительных \(x\) и её график должен быть непрерывной линией, однако доказательство этого выходит за рамки школьного курса.

Тем не менее, свойства показательной функции \(y=a^{x}\) активно используются при решении задач. Перечислим наиболее важные из них.

1. Область определения функции — все действительные числа: \(D(y) = R\).

2. Область значений функции: \(E(y) = (0; +\infty )\).

3. Поскольку \(a^{0} = 1\), график проходит через точку \((0; 1)\).

4. При \(a > 1\) функция возрастает. При \(0 < a < 1\) функция убывает: