Степенью называется выражение вида .
Здесь — основание степени,
— показатель степени.
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
По определению, .
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя
раз:
Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.
По определению,
.
Это верно для . Выражение 00 не определено.
Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.
Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.
Например,
Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.
Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где
— целое,
— натуральное.
Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.
Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен
.
Согласно определению,
В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при
.
Выражение всегда неотрицательно, т.е.
. Например,
.
Свойства арифметического квадратного корня:
Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число
.
Например, , так как
;
, так как
;
, так как
.
Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого
.
Корень -ной степени из числа
— это такое число, при возведении которого в
-ную степень получается число
.
Например,
Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.
Итак, — такое число, что
. Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.
По определению,
в общем случае .
Сразу договоримся, что основание степени больше 0.
Например,
Выражение по определению равно
.
При этом также выполняется условие, что больше 0.
Например,
Запомним правила действий со степенями:
— при перемножении степеней показатели складываются
— при делении степени на степень показатели вычитаются
— при возведении степени в степень показатели перемножаются
Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:
1.
Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.
2.
3.
Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!
СмотретьДля нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.
Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.
Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.
Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.
Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.
Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.
Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.
Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.
Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.
Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.
Вы получите:
— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.
Регистрируйтесь, это бесплатно!
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных