Slider

Корни и степени

Степенью называется выражение вида a^c.

Здесь a — основание степени, c  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, a^1=a.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

a^2=a \cdot a.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

a^3=a \cdot a \cdot a.

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить его само на себя n раз:

a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\displaystyle n}

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

a^0=1.

Это верно для a\neq 0. Выражение 0^0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

a^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a}

a^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^2}

a^{-n}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^n}

Конечно, все это верно для a\neq 0, поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

5^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{5^2}

\left( \genfrac{}{}{}{0}{1}{2} \right)^{-1}=2

\left( \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} \right)^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{7}{2}

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

\left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{-2}=1 : \left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{2}=\left( \genfrac{}{}{}{0}{3}{5} \right)^{2}=\genfrac{}{}{}{0}{9}{25}

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби \genfrac{}{}{}{0}{p}{q}, где p — целое, q — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень n-степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень

Уравнение x^2=4 имеет два решения: x=2 и x=-2.

Это числа, квадрат которых равен 4.

А как решить уравнение x^2=3?

Если мы нарисуем график функции y=x^2, то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.

квадратичная парабола

Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Запомните это определение.

Арифметический квадратный корень обозначается \sqrt{a}.

\left( \sqrt{a} \right)^2=a

Например,

\sqrt{9}=3

\sqrt{0}=0

\sqrt{49}=7

\sqrt{169}=13

Обратите внимание:

1) Квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел

2) Выражение \sqrt{a} всегда неотрицательно. Например, \sqrt{25}=5.

Перечислим свойства арифметического квадратного корня:

1. \sqrt{a} \geq 0

2. \sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}
3. \sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{a}{b}}=\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Запомним, что выражение \sqrt{a}+\sqrt{b} не равно \sqrt{a+b} . Легко проверить:

\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7

\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 — получился другой ответ.

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из a — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число a.

\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \right) ^3 = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}

Например, \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{8} = 2, так как 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 ;

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{1000} = 10, так как 10^3 = 1000;

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{-\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}} = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5}, так как \left( -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5} \right) ^3 = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}.

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня n-ной степени для любого целого n.

Корень n-ной степени

Корень n-ной степени из числа a — это такое число, при возведении которого в n-ную степень получается число a.

Например,

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 5]{32} = 2

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 4]{81} = 3

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{\mathstrut 0,001} = 0,1

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} — такое число, что \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^n = a. Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = \sqrt{a}

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}

в общем случае a^n = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}.

Сразу договоримся, что основание степени a больше 0.

Например,

25^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = 5

8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 2

81^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 4}} = 3

100000^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 5}} = 10

0,001^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 0,1

Выражение a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} по определению равно \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m}.

При этом также выполняется условие, что a больше 0.

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m} = \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^m

Например,

8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 3}} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{8} \right) ^4 = 2^4 = 16

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 5}} = \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 5]{a^3} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle n]{a} \right) ^m

b^{-\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 2}{\scriptstyle 3}} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{b^2}}

Запомним правила действий со степенями:

a^ma^n = a^{m+n} — при перемножении степеней показатели складываются

\genfrac{}{}{}{0}{a^m}{a^n} = a^{m-n} — при делении степени на степень показатели вычитаются

\left( a^m \right) ^n = \left( a^n \right) ^m = a^{mn} — при возведении степени в степень показатели перемножаются

a^nb^n = \left( ab \right) ^n

\genfrac{}{}{}{0}{a^n}{b^n} = \left( \genfrac{}{}{}{0}{a}{b} \right) ^n

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1. \genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{ \mathstrut 2,8} \cdot \sqrt{ \mathstrut 4,2}}{\sqrt{ \mathstrut 0,24}}= \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{2,8 \cdot 4,2}{0,24}} = \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{28 \cdot 42}{24}}=\sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{7 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 6}} =

= \sqrt{ \mathstrut 7 \cdot 7} = 7

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2. \genfrac{}{}{}{0}{\left( 2 \sqrt{7} \right) ^2}{14}= \genfrac{}{}{}{0}{ 2^2 \cdot \left( \sqrt{7} \right) ^2}{14} = \genfrac{}{}{}{0}{4 \cdot 7}{14} = 2

3. \genfrac{}{}{}{0}{ \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 9]{7} \cdot \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 18]{7}}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 6]{7}}=\genfrac{}{}{}{0}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9}} \cdot 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}}}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}}=7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9} + \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}- \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}= 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6} - \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}=7^0=1

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.