icon icon icon icon icon
Бесплатно по РФ
Slider
banner
previous arrow
next arrow
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Корни и степени

Степенью называется выражение вида a^c.

Здесь a — основание степени, c  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, a^1=a.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

a^2=a \cdot a.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

a^3=a \cdot a \cdot a.

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить его само на себя n раз:

a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\displaystyle n}

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

a^0=1.

Это верно для a\neq 0. Выражение 00 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

a^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a}

a^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^2}

a^{-n}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^n}

Конечно, все это верно для a\neq 0, поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

5^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{5^2}

\left( \genfrac{}{}{}{0}{1}{2} \right)^{-1}=2

\left( \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} \right)^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{7}{2}

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

\left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{-2}=1 : \left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{2}=\left( \genfrac{}{}{}{0}{3}{5} \right)^{2}=\genfrac{}{}{}{0}{9}{25}

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби \genfrac{}{}{}{0}{p}{q}, где p — целое, q — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень n-степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Согласно определению, \left (\sqrt{a} \right )^2=a; \, \, \sqrt{a}\geq 0; \, \, a\geq 0.

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение  \sqrt{a}  для нас сейчас имеет смысл только при a\geq 0.

Выражение \sqrt{a} всегда неотрицательно, т.е. \sqrt{a}\geq 0. Например, \sqrt{25}=5.

Свойства арифметического квадратного корня:

\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{a}{b}}=\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из a — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число a.

\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \right) ^3 = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}

Например, \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{8} = 2, так как 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 ;

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{1000} = 10, так как 10^3 = 1000;

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{-\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}} = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5}, так как \left( -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5} \right) ^3 = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}.

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня n-ной степени для любого целого n.

Корень n-ной степени

Корень n-ной степени из числа a — это такое число, при возведении которого в n-ную степень получается число a.

Например,

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 5]{32} = 2

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 4]{81} = 3

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{\mathstrut 0,001} = 0,1

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} — такое число, что \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^n = a. Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = \sqrt{a}

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}

в общем случае a^n = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}.

Сразу договоримся, что основание степени a больше 0.

Например,

25^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = 5

8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 2

81^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 4}} = 3

100000^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 5}} = 10

0,001^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 0,1

Выражение a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} по определению равно \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m}.

При этом также выполняется условие, что a больше 0.

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m} = \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^m

Например,

8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 3}} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{8} \right) ^4 = 2^4 = 16

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 5}} = \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 5]{a^3} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle n]{a} \right) ^m

b^{-\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 2}{\scriptstyle 3}} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{b^2}}

Запомним правила действий со степенями:

a^ma^n = a^{m+n} — при перемножении степеней показатели складываются

\genfrac{}{}{}{0}{a^m}{a^n} = a^{m-n} — при делении степени на степень показатели вычитаются

\left( a^m \right) ^n = \left( a^n \right) ^m = a^{mn} — при возведении степени в степень показатели перемножаются

a^nb^n = \left( ab \right) ^n

\genfrac{}{}{}{0}{a^n}{b^n} = \left( \genfrac{}{}{}{0}{a}{b} \right) ^n

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1. \genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{ \mathstrut 2,8} \cdot \sqrt{ \mathstrut 4,2}}{\sqrt{ \mathstrut 0,24}}= \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{2,8 \cdot 4,2}{0,24}} = \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{28 \cdot 42}{24}}=\sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{7 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 6}} =

= \sqrt{ \mathstrut 7 \cdot 7} = 7

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2. \genfrac{}{}{}{0}{\left( 2 \sqrt{7} \right) ^2}{14}= \genfrac{}{}{}{0}{ 2^2 \cdot \left( \sqrt{7} \right) ^2}{14} = \genfrac{}{}{}{0}{4 \cdot 7}{14} = 2

3. \genfrac{}{}{}{0}{ \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 9]{7} \cdot \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 18]{7}}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 6]{7}}=\genfrac{}{}{}{0}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9}} \cdot 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}}}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}}=7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9} + \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}- \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}= 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6} - \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}=7^0=1

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Поделиться страницей

Это полезно

Сдай ЕГЭ по географии на 90+
- Что такое ЕГЭ по Географии?
- Сложно или легко сдавать ЕГЭ по географии на 80+?
- Как подготовится к ЕГЭ по географии?
Онлайн-курс Физика 100 баллов
Разбираем самые популярные ошибки в ЕГЭ по физике 2020!