Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Корни и степени

Корни и степени

Оглавление:

Степень с натуральным показателем
Степень с целым показателем
Кубический корень
Корень -ной степени
Сравнение арифметических корней
Как избавиться от иррациональности в знаменателе
Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Степенью называется выражение вида $a^c$ .

Здесь $a$ — основание степени, $c$ — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, $a^1=a$ .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

$a^2=a \cdot a$ .

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

$a^3=a \cdot a \cdot a$ .

Возвести число в натуральную степень $n$ — значит умножить его само на себя $n$ раз:

$a^n=$ $\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\displaystyle n}.$

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

$a^0=1$ .

Это верно для $a\neq 0$ . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

$a^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a};$

$a^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^2};$

$a^{-n}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^n}.$

Конечно, все это верно для $a\neq 0$ , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

$5^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{5^2};$

$\left( \genfrac{}{}{}{0}{1}{2} \right)^{-1}=2;$

$\left( \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} \right)^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{7}{2}.$

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

$\left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{-2}=1 : \left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{2}=\left( \genfrac{}{}{}{0}{3}{5} \right)^{2}=\genfrac{}{}{}{0}{9}{25}.$

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби $\genfrac{}{}{}{0}{p}{q}$ , где $p$ — целое, $q$ — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень $n$ -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ .

Согласно определению, $\left (\sqrt{a} \right )^2=a; \, \, \sqrt{a}\geq 0; \, \, a\geq 0.$

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение $\sqrt{a}$ для нас сейчас имеет смысл только при $a\geq 0$ .

Выражение $\sqrt{a}$ всегда неотрицательно, т.е. $\sqrt{a}\geq 0$ . Например, $\sqrt{25}=5$ .

Свойства арифметического квадратного корня:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \; \sqrt{a^2}=\left|a\right| , \; \sqrt{a^{2n}}={\left|a\right|}^n;$

$\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{a}{b}}=\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

Запомним важное правило: $\sqrt{a^2}=\left|a\right| .$

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из $a$ — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число $a$ .

$\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \right) ^3 = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}.$

Например, $\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{8} = 2$ , так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ;

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{1000} = 10$ , так как $10^3 = 1000$ ;

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{-\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}} = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5}$ , так как $\left( -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5} \right) ^3 = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}$ .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня $n$ -ной степени для любого целого $n$ .

к оглавлению ▴

Корень $n$ -ной степени

Корень $n$ -ной степени из числа $a$ — это такое число, при возведении которого в $n$ -ную степень получается число $a$ .

Например,

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 5]{32} = 2;$

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 4]{81} = 3;$

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{\mathstrut 0,001} = 0,1.$

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, $\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}$ — такое число, что $\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^n = a$ . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = \sqrt{a},$

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a},$

в общем случае $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}.$ .

Сразу договоримся, что основание степени $a$ больше 0.

Например,

$25^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = 5;$

$8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 2;$

$81^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 4}} = 3;$

$100000^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 5}} = 10;$

$0,001^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 0,1.$

Выражение $a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}}$ по определению равно $\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m}$ .

При этом также выполняется условие, что $a$ больше 0.

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m} = \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^m.$

Например,

$8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 3}} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{8} \right) ^4 = 2^4 = 16;$

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 5}} = \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 5]{a^3} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle n]{a} \right) ^m;$

$b^{-\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 2}{\scriptstyle 3}} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{b^2}}.$

Запомним правила действий со степенями:

$a^ma^n = a^{m+n}$ — при перемножении степеней показатели складываются;

$\genfrac{}{}{}{0}{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — при делении степени на степень показатели вычитаются;

$\left( a^m \right) ^n = \left( a^n \right) ^m = a^{mn}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются;

$a^nb^n = \left( ab \right) ^n;$

$\genfrac{}{}{}{0}{a^n}{b^n} = \left( \genfrac{}{}{}{0}{a}{b} \right) ^n.$

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1. $\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{ \mathstrut 2,8} \cdot \sqrt{ \mathstrut 4,2}}{\sqrt{ \mathstrut 0,24}}= \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{2,8 \cdot 4,2}{0,24}} = \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{28 \cdot 42}{24}}=\sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{7 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 6}} =$

$= \sqrt{ \mathstrut 7 \cdot 7} = 7.$

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2. $\genfrac{}{}{}{0}{\left( 2 \sqrt{7} \right) ^2}{14}= \genfrac{}{}{}{0}{ 2^2 \cdot \left( \sqrt{7} \right) ^2}{14} = \genfrac{}{}{}{0}{4 \cdot 7}{14} = 2.$

3. $\genfrac{}{}{}{0}{ \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 9]{7} \cdot \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 18]{7}}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 6]{7}}=\genfrac{}{}{}{0}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9}} \cdot 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}}}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}}=7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9} + \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}- \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}= 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6} - \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}=7^0=1.$

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{11a^6b^3-{\left(3a^2b\right)}^3}{4a^6b^6}$ при $b = 2.$

Решение:

$\displaystyle \frac{11a^6b^3-{\left(3a^2b\right)}^3}{4a^6b^6}=\displaystyle \frac{11a^6b^3-{27a^6b}^3}{4a^6b^6}=\displaystyle \frac{-16a^6b^3}{4a^6b^6}=-\displaystyle \frac{4}{b^3}.$

При $b = 2$ получим $-\displaystyle \frac{4}{2^3}=-\displaystyle \frac{4}{8}=-0,5 .$

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{a^{3,21}\ \cdot \ a^{7,36}}{a^{8,57}}$ при $a=12 .$

Решение:

$\displaystyle \frac{a^{3,21}\ \cdot \ a^{7,36}}{a^{8,57}}=\displaystyle \frac{a^{3,21+7,36}}{a^{8,57}}=\displaystyle \frac{a^{10,57}}{a^{8,57}}=a^{10,57-8,57}=a^2.$

При a = 12 получим ${12}^2=144.$

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{\left(b^{\sqrt{3}}\right)}^{2\sqrt{3}}}{b^4}$ при b = - 5.

Решение: $\displaystyle \frac{{\left(b^{\sqrt{3}}\right)}^{2\sqrt{3}}}{b^3}=\displaystyle \frac{b^{\sqrt{3}\ \cdot \ 2\sqrt{3}}}{b^3}=\displaystyle \frac{b^6}{b^3}=b^3 .$

При b = - 5 получим: ${(-5)}^3=-125 .$

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания: ${\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^{-3};$ $\displaystyle \frac{7}{8};$ ${\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^{-3}.$

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

$\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^-3=\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^3.$ Так как $\displaystyle \frac{8}{7} \textgreater 1,$ то $\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^3 \textgreater 1.$

$\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^-3=\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^3.$ Так как $\displaystyle \frac{7}{8} \textless 1,$ то $\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^3 \textless 1.$

Сравним $\displaystyle \frac{7}{8}$ и ${\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3,$ для этого оценим их разность:

$\displaystyle \frac{7}{8} - {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3=\displaystyle \frac{7}{8} - \displaystyle \frac{7^3}{8^3}=\displaystyle \frac{7\ \cdot \ 8^2-7^3}{8^3}=\displaystyle \frac{7(8^2-7^2)}{8^3}=\displaystyle \frac{7(64-49)}{8^3} \textgreater 0 ,$ значит $\displaystyle \frac{7}{8} \textgreater {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3 .$

Получим : ${\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3 \textless \displaystyle \frac{7}{8} \textless {\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^3 ,$ поэтому ${\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^{-3} ; \displaystyle \frac{7}{8}\ ;\ {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^{-3} .$

Ответ: ${\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^{-3}; \displaystyle \frac{7}{8}\ ;\ {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^{-3}.$

8. Представьте выражение в виде степени: $\displaystyle \frac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}.$

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

$\displaystyle \frac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}=\displaystyle \frac{x^{-6}(1+x^2+x^4)}{x^2(1+x^2+x^4)}=\displaystyle \frac{x^{-6}}{x^2}=x^{-6-2}=x^{-8}.$

Ответ: $x^{-8} .$

9. Упростите выражение: $\displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{6\ \cdot \ {12}^n} .$

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

$\displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{6\ \cdot \ {12}^n}=\displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{2\ \cdot 3\ \cdot \ {(2^2\ \cdot 3\ )}^n}= \displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{2^1\cdot 3^1\cdot 2^{2n}\ \cdot \ 3^n} =$

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

$= 2^{2n-1-1-2n}\cdot 3^{n+1-1-n}=2^{-2}\cdot 3^0=\displaystyle \frac{1}{2^2}\cdot 1=\displaystyle \frac{1}{4} = 0,25.$

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения $\displaystyle \frac{a^{-4}\cdot {\ a}^{-3}}{a^{-5}}\ \$ при $a=\displaystyle \frac{1}{3}$ ?

Решение:

$\displaystyle \frac{a^{-4}\cdot {\ a}^{-3}}{a^{-5}}=a^{-4+\left(-3\right)-(-5)}=a^{-2}.$

При $a=\displaystyle \frac{1}{3},$ получим ${\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=9.$

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: $\sqrt{5}+\sqrt{6}$ или $2+\sqrt{7}$ ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

${\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)}^2= 5 + 2\sqrt{5\cdot 6}+6=11+2\sqrt{30};$

${\left(2+7\right)}^2={\left(\sqrt{4}+\sqrt{7}\right)}^2= 4 + 2\sqrt{4\cdot 7}+7=11+2\sqrt{28}.$

Найдем разность полученных результатов:

$11+2\sqrt{30}-(11+2\sqrt{28})=2(\sqrt{30}-\sqrt{28}) \textgreater 0,$ так как $\sqrt{30} \textgreater \sqrt{28}.$

Значит, первое число больше второго.

Ответ: $\sqrt{5}+\sqrt{6} \textgreater \ 2+\sqrt{7}.$

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}},$ то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{b}$ :

$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}} = \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}} = \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}^2} = \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b}.$

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида $\displaystyle \frac{c}{\ a\ \pm \ \sqrt{b}}$ или $\displaystyle \frac{c}{\ \ \sqrt{a}\ \pm \ \sqrt{b}},$ то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения - это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

$a + \sqrt{b}$ и $a-\sqrt{b};$ $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ и $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ - сопряженные выражения.

Пример:

$\displaystyle \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\displaystyle \frac{c (\sqrt{a}+\ \sqrt{b})}{ (\sqrt{a}- \sqrt{b})(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}=$

$=\displaystyle \frac{c (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{{ \left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2\ \ }=\displaystyle \frac{c(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}{a-b } .$

12. Вот несколько примеров - как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{27}}=\ \displaystyle \frac{2\ \cdot \ \sqrt{3}}{\sqrt{3^3}\ \cdot \ \sqrt{3}}=\displaystyle \frac{2\ \sqrt{3}}{\sqrt{3^4}\ }=\displaystyle \frac{2\ \sqrt{3}}{9}.$

Пример 2.

$\displaystyle \frac{6}{1+\sqrt{3}} = \displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{3-1}=$

$=\displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{2}=3(\sqrt{3}-1).$

Пример 3.

$\displaystyle \frac{33}{7-3\sqrt{3}} = \displaystyle \frac{33(7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3})(7+3\sqrt{3})}= \displaystyle \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49\ -9\ \cdot 3}=$

$\displaystyle \frac{33(7+3\sqrt{3})}{22}=\displaystyle \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2}.$

Пример 4.

$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=\displaystyle \frac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3}=$

$=\displaystyle \frac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}=4(\sqrt{6}-\sqrt{3}).$

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

$\displaystyle \frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=\ \displaystyle \frac{(5+3\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=$

$=\displaystyle \frac{10+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}-9}{2^2-{(\sqrt{3}\ )}^2}=\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{4-3}=\ 1+\sqrt{3}.$

13. Сравните $\sqrt{140}$ и $\displaystyle \frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\displaystyle \frac{1}{7-4\sqrt{3}}.$

1) $\displaystyle \frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\displaystyle \frac{1}{7-4\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}=\displaystyle \frac{14}{7^2-{(4\sqrt{3})}^2}=$

$=\displaystyle \frac{14}{49-48}=14.$

2) Сравним $\sqrt{140}$ и 14.

$14 = \sqrt{{14}^2}=\sqrt{196},$ $140 \textless 196,$ то и $\sqrt{140} \textless \sqrt{196},$ а значит,

$\sqrt{140}\ \textless \displaystyle \frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\displaystyle \frac{1}{7-4\sqrt{3}} .$

Ответ: $\sqrt{140}$ меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения: $\sqrt{3-2\sqrt{2}};$ $\sqrt{7+4\sqrt{3}};$ $\sqrt{19-8\sqrt{3}}.$

Пример 5.

$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2+1-2\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+1}=$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2} = \ \left|\sqrt{2}-1\right| = \sqrt{2}-1,$ т.к. $\sqrt{2} \textgreater 1.$

Пример 6.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \ \sqrt{4+3+4\sqrt{3\ }}=\sqrt{2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3\ }+{(\sqrt{3\ })}^2}\ =$

$= \sqrt{{(2+\sqrt{3})}^2} = 2+\sqrt{3}.$

Пример 7.

$\sqrt{19-8\sqrt{3}}\ = \ \sqrt{16+3-8\sqrt{3\ }}=\sqrt{4^2-2\cdot 4\cdot \sqrt{3\ }+{(\sqrt{3\ })}^2}\ =$

$=\sqrt{{(4-\sqrt{3})}^2} = 4-\sqrt{3},$

так как $4-\sqrt{3}=\sqrt{16}-\sqrt{3} \textgreater 0 .$

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|.$

Решение:

$\sqrt{{(5-2x)}^2}=\left|5-2x\right|.$

Получим уравнение $\left|5-2x\right|=2x-5,$ $2x-5\ge 0,$ $x \geq 2,5.$

Ответ: $[2,5; + \infty ).$

19. Вычислите значение выражения: $\sqrt{{(\sqrt{3}-1)}^2}+\sqrt{{(\sqrt{3}-2)}^2}.$

Решение:

$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-1|+|\sqrt{3}-2|=$

$=\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}=1.$

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения: $\sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}+\sqrt{{(3-\sqrt{5})}^2}.$

Решение: $\sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}+\sqrt{{(3-\sqrt{5})}^2}= \left|2-\sqrt{5}\right|+\left|3-\sqrt{5}\right|=$

$=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5} = 1.$

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: $(x - 3) \sqrt{\displaystyle \frac{1}{x^2-6x+9}},$ если $x \textless 3.$

Решение. $(x - 3) \sqrt{\displaystyle \frac{1}{x^2-6x+9}}=\left(x\ -\ 3\right)\sqrt{\displaystyle \frac{1}{{\left(x-3\right)}^2}}=\displaystyle \frac{x-3}{\left|x-3\right|}=$

$=\displaystyle \frac{x-3}{3-x}=-1.$

Если $x \textless 3,$ то $x - 3 \textless 0,$ следовательно $\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)=3-x.$

Ответ: - 1.

22. Вычислите: $(\sqrt{3}-2)(\sqrt{7+4\sqrt{3}}).$

Решение: $\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right) = \sqrt{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^2(7+4\sqrt{3}})=$

$=\sqrt{\left(3-4\sqrt{3}+4\right)\left(7+4\sqrt{3}\right)}=\sqrt{\left(7-4\sqrt{3}\right)\left(7+4\sqrt{3}\right)}=\sqrt{7^2-{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=$

$= \sqrt{49-48} = 1.$

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида $a^x=a^y,$ где $a \textgreater 0.$

Это равенство выполняется, только если $x = y.$

Подробно об таких уравнениях - в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а) $2^{3-x}=16;$

б) ${27}^{\displaystyle \frac{1}{3}x-1}-3=0;$

в) ${\left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x+1}={\left(3\sqrt{3}\right)}^x.$

Решение.

23. Решите уравнение: $2^{3-x}=16.$

Решение:

$2^{3-x}=2^4,$ тогда $3 - x = 4, \; x = - 1.$

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

${27}^{\displaystyle \frac{1}{3}x-1}-3=0.$

Решение:

${\left(3^3\right)}^{\left(\displaystyle \frac{1}{3}x-1\right)}=3 , \; 3^{3\left(\displaystyle \frac{1}{3}x-1\right)}=3^1;$

$3\left(\displaystyle \frac{1}{3}x-1\right)=1, \; x - 3 = 1, \; x = 4.$

Ответ: 4.

25. Решите уравнение: ${\left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x+1}={\left(3\sqrt{3}\right)}^x.$

Решение:

${\left(3^{-\ \displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x+1}={\left(3^{1+\ \displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x ,\; \; 3^{-\displaystyle \frac{1}{2}\ \cdot (2x+1)}=3^{\displaystyle \frac{3}{2}x}.$

Значит, $-\displaystyle \frac{1}{2}\ \cdot \left(2x+1\right)=\displaystyle \frac{3}{2}x,$ $- 2x - 1 = 3x,$ $- 5x = 1 ,$ $x = -\displaystyle \frac{1}{5}.$

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Корни и степени» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.01.2023

Корни и степени

Степень с натуральным показателем

Степень с целым показателем

Кубический корень

Корень -ной степени

Сравнение арифметических корней

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Это полезно

Корень $n$ -ной степени