Корни и степени

Степенью называется выражение вида $a^c$ .

Здесь $a$ — основание степени, $c$ — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, $a^1=a$ .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

$a^2=a \cdot a$ .

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

$a^3=a \cdot a \cdot a$ .

Возвести число в натуральную степень $n$ — значит умножить его само на себя $n$ раз:

$a^n=$ $\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\displaystyle n}$

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

$a^0=1$ .

Это верно для $a\neq 0$ . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

$a^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a}$

$a^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^2}$

$a^{-n}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^n}$

Конечно, все это верно для $a\neq 0$ , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

$5^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{5^2}$

$\left( \genfrac{}{}{}{0}{1}{2} \right)^{-1}=2$

$\left( \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} \right)^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{7}{2}$

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

$\left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{-2}=1 : \left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{2}=\left( \genfrac{}{}{}{0}{3}{5} \right)^{2}=\genfrac{}{}{}{0}{9}{25}$

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби $\genfrac{}{}{}{0}{p}{q}$ , где $p$ — целое, $q$ — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень $n$ -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ .

Согласно определению, $\left (\sqrt{a} \right )^2=a; \, \, \sqrt{a}\geq 0; \, \, a\geq 0.$

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение $\sqrt{a}$ для нас сейчас имеет смысл только при $a\geq 0$ .

Выражение $\sqrt{a}$ всегда неотрицательно, т.е. $\sqrt{a}\geq 0$ . Например, $\sqrt{25}=5$ .

Свойства арифметического квадратного корня:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

$\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{a}{b}}=\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из $a$ — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число $a$ .

$\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \right) ^3 = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}$

Например, $\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{8} = 2$ , так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ;

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{1000} = 10$ , так как $10^3 = 1000$ ;

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{-\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}} = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5}$ , так как $\left( -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5} \right) ^3 = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}$ .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня $n$ -ной степени для любого целого $n$ .

Корень $n$ -ной степени

Корень $n$ -ной степени из числа $a$ — это такое число, при возведении которого в $n$ -ную степень получается число $a$ .

Например,

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 5]{32} = 2$

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 4]{81} = 3$

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{\mathstrut 0,001} = 0,1$

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, $\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}$ — такое число, что $\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^n = a$ . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = \sqrt{a}$

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}$

в общем случае $a^n = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}$ .

Сразу договоримся, что основание степени $a$ больше 0.

Например,

$25^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = 5$

$8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 2$

$81^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 4}} = 3$

$100000^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 5}} = 10$

$0,001^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 0,1$

Выражение $a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}}$ по определению равно $\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m}$ .

При этом также выполняется условие, что $a$ больше 0.

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m} = \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^m$

Например,

$8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 3}} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{8} \right) ^4 = 2^4 = 16$

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 5}} = \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 5]{a^3} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle n]{a} \right) ^m$

$b^{-\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 2}{\scriptstyle 3}} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{b^2}}$

Запомним правила действий со степенями:

$a^ma^n = a^{m+n}$ — при перемножении степеней показатели складываются

$\genfrac{}{}{}{0}{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — при делении степени на степень показатели вычитаются

$\left( a^m \right) ^n = \left( a^n \right) ^m = a^{mn}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются

$a^nb^n = \left( ab \right) ^n$

$\genfrac{}{}{}{0}{a^n}{b^n} = \left( \genfrac{}{}{}{0}{a}{b} \right) ^n$

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1. $\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{ \mathstrut 2,8} \cdot \sqrt{ \mathstrut 4,2}}{\sqrt{ \mathstrut 0,24}}= \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{2,8 \cdot 4,2}{0,24}} = \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{28 \cdot 42}{24}}=\sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{7 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 6}} =$

$= \sqrt{ \mathstrut 7 \cdot 7} = 7$

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2. $\genfrac{}{}{}{0}{\left( 2 \sqrt{7} \right) ^2}{14}= \genfrac{}{}{}{0}{ 2^2 \cdot \left( \sqrt{7} \right) ^2}{14} = \genfrac{}{}{}{0}{4 \cdot 7}{14} = 2$

3. $\genfrac{}{}{}{0}{ \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 9]{7} \cdot \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 18]{7}}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 6]{7}}=\genfrac{}{}{}{0}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9}} \cdot 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}}}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}}=7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9} + \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}- \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}= 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6} - \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}=7^0=1$