Корни и степени

Степенью называется выражение вида $a^c$ .

Здесь $a$ — основание степени, $c$ — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, $a^1=a$ .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

$a^2=a \cdot a$ .

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

$a^3=a \cdot a \cdot a$ .

Возвести число в натуральную степень $n$ — значит умножить его само на себя $n$ раз:

$a^n=$ $\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\displaystyle n}$

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

$a^0=1$ .

Это верно для $a\neq 0$ . Выражение $0^0$ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

$a^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a}$

$a^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^2}$

$a^{-n}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^n}$

Конечно, все это верно для $a\neq 0$ , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

$5^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{5^2}$

$\left( \genfrac{}{}{}{0}{1}{2} \right)^{-1}=2$

$\left( \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} \right)^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{7}{2}$

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

$\left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{-2}=1 : \left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{2}=\left( \genfrac{}{}{}{0}{3}{5} \right)^{2}=\genfrac{}{}{}{0}{9}{25}$

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби $\genfrac{}{}{}{0}{p}{q}$ , где $p$ — целое, $q$ — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень $n$ -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень

Уравнение $x^2=4$ имеет два решения: $x=2$ и $x=-2$ .

Это числа, квадрат которых равен $4$ .

А как решить уравнение $x^2=3$ ?

Если мы нарисуем график функции $y=x^2$ , то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.

Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ .

Запомните это определение.

Арифметический квадратный корень обозначается $\sqrt{a}$ .

$\left( \sqrt{a} \right)^2=a$

Например,

$\sqrt{9}=3$

$\sqrt{0}=0$

$\sqrt{49}=7$

$\sqrt{169}=13$

Обратите внимание:

1) Квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел

2) Выражение $\sqrt{a}$ всегда неотрицательно. Например, $\sqrt{25}=5$ .

Перечислим свойства арифметического квадратного корня:

1. $\sqrt{a} \geq 0$

2. $\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
3. $\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{a}{b}}=\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Запомним, что выражение $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ не равно $\sqrt{a+b}$ . Легко проверить:

$\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$

$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ — получился другой ответ.

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из $a$ — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число $a$ .

$\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \right) ^3 = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}$

Например, $\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{8} = 2$ , так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ;

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{1000} = 10$ , так как $10^3 = 1000$ ;

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{-\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}} = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5}$ , так как $\left( -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5} \right) ^3 = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}$ .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня $n$ -ной степени для любого целого $n$ .

Корень $n$ -ной степени

Корень $n$ -ной степени из числа $a$ — это такое число, при возведении которого в $n$ -ную степень получается число $a$ .

Например,

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 5]{32} = 2$

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 4]{81} = 3$

$\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{\mathstrut 0,001} = 0,1$

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, $\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}$ — такое число, что $\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^n = a$ . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = \sqrt{a}$

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}$

в общем случае $a^n = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}$ .

Сразу договоримся, что основание степени $a$ больше $0$ .

Например,

$25^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = 5$

$8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 2$

$81^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 4}} = 3$

$100000^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 5}} = 10$

$0,001^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 0,1$

Выражение $a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}}$ по определению равно $\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m}$ .

При этом также выполняется условие, что $a$ больше $0$ .

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m} = \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^m$

Например,

$8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 3}} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{8} \right) ^4 = 2^4 = 16$

$a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 5}} = \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 5]{a^3} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle n]{a} \right) ^m$

$b^{-\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 2}{\scriptstyle 3}} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{b^2}}$

Запомним правила действий со степенями:

$a^ma^n = a^{m+n}$ — при перемножении степеней показатели складываются

$\genfrac{}{}{}{0}{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — при делении степени на степень показатели вычитаются

$\left( a^m \right) ^n = \left( a^n \right) ^m = a^{mn}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются

$a^nb^n = \left( ab \right) ^n$

$\genfrac{}{}{}{0}{a^n}{b^n} = \left( \genfrac{}{}{}{0}{a}{b} \right) ^n$

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1. $\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{ \mathstrut 2,8} \cdot \sqrt{ \mathstrut 4,2}}{\sqrt{ \mathstrut 0,24}}= \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{2,8 \cdot 4,2}{0,24}} = \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{28 \cdot 42}{24}}=\sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{7 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 6}} =$

$= \sqrt{ \mathstrut 7 \cdot 7} = 7$

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2. $\genfrac{}{}{}{0}{\left( 2 \sqrt{7} \right) ^2}{14}= \genfrac{}{}{}{0}{ 2^2 \cdot \left( \sqrt{7} \right) ^2}{14} = \genfrac{}{}{}{0}{4 \cdot 7}{14} = 2$

3. $\genfrac{}{}{}{0}{ \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 9]{7} \cdot \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 18]{7}}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 6]{7}}=\genfrac{}{}{}{0}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9}} \cdot 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}}}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}}=7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9} + \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}- \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}= 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6} - \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}=7^0=1$