Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Корни и степени

Степенью называется выражение вида a^c.

Здесь a — основание степени, c  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, a^1=a.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

a^2=a \cdot a.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

a^3=a \cdot a \cdot a.

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить его само на себя n раз:

a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\displaystyle n}

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

a^0=1.

Это верно для a\neq 0. Выражение 00 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

a^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a}

a^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^2}

a^{-n}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{a^n}

Конечно, все это верно для a\neq 0, поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

5^{-2}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{5^2}

\left( \genfrac{}{}{}{0}{1}{2} \right)^{-1}=2

\left( \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} \right)^{-1}=\genfrac{}{}{}{0}{7}{2}

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

\left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{-2}=1 : \left( \genfrac{}{}{}{0}{5}{3} \right)^{2}=\left( \genfrac{}{}{}{0}{3}{5} \right)^{2}=\genfrac{}{}{}{0}{9}{25}

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби \genfrac{}{}{}{0}{p}{q}, где p — целое, q — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень n-степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Согласно определению, \left (\sqrt{a} \right )^2=a; \, \, \sqrt{a}\geq 0; \, \, a\geq 0.

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение  \sqrt{a}  для нас сейчас имеет смысл только при a\geq 0.

Выражение \sqrt{a} всегда неотрицательно, т.е. \sqrt{a}\geq 0. Например, \sqrt{25}=5.

Свойства арифметического квадратного корня:

\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \; \sqrt{a^2}=\left|a\right| , \; \sqrt{a^{2n}}={\left|a\right|}^n 

\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{a}{b}}=\genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Запомним важное правило: \sqrt{a^2}=\left|a\right| .

По определению, 

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из a — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число a.

\left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \right) ^3 = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a} \cdot \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}

Например, \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{8} = 2, так как 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 ;

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{1000} = 10, так как 10^3 = 1000;

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{-\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}} = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5}, так как \left( -\genfrac{}{}{}{0}{1}{5} \right) ^3 = -\genfrac{}{}{}{0}{1}{125}.

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня n-ной степени для любого целого n.

Корень n-ной степени

Корень n-ной степени из числа a — это такое число, при возведении которого в n-ную степень получается число a.

Например,

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 5]{32} = 2

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 4]{81} = 3

\sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{\mathstrut 0,001} = 0,1

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} — такое число, что \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^n = a. Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = \sqrt{a}

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle 3]{a}

в общем случае a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a}.

Сразу договоримся, что основание степени a больше 0.

Например,

25^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}} = 5

8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 2

81^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 4}} = 3

100000^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 5}} = 10

0,001^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3}} = 0,1

Выражение a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} по определению равно \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m}.

При этом также выполняется условие, что a больше 0.

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle m}{\scriptstyle n}} = \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a^m} = \left( \sqrt[\leftroot{3}\scriptstyle n]{a} \right) ^m

Например,

8^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 3}} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{8} \right) ^4 = 2^4 = 16

a^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 5}} = \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 5]{a^3} = \left( \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle n]{a} \right) ^m

b^{-\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 2}{\scriptstyle 3}} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 3]{b^2}}

Запомним правила действий со степенями:

a^ma^n = a^{m+n} — при перемножении степеней показатели складываются

\genfrac{}{}{}{0}{a^m}{a^n} = a^{m-n} — при делении степени на степень показатели вычитаются

\left( a^m \right) ^n = \left( a^n \right) ^m = a^{mn} — при возведении степени в степень показатели перемножаются

a^nb^n = \left( ab \right) ^n

\genfrac{}{}{}{0}{a^n}{b^n} = \left( \genfrac{}{}{}{0}{a}{b} \right) ^n

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1. \genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{ \mathstrut 2,8} \cdot \sqrt{ \mathstrut 4,2}}{\sqrt{ \mathstrut 0,24}}= \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{2,8 \cdot 4,2}{0,24}} = \sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{28 \cdot 42}{24}}=\sqrt{ \mathstrut \genfrac{}{}{}{0}{7 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 6}} =

= \sqrt{ \mathstrut 7 \cdot 7} = 7

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2. \genfrac{}{}{}{0}{\left( 2 \sqrt{7} \right) ^2}{14}= \genfrac{}{}{}{0}{ 2^2 \cdot \left( \sqrt{7} \right) ^2}{14} = \genfrac{}{}{}{0}{4 \cdot 7}{14} = 2

3. \genfrac{}{}{}{0}{ \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 9]{7} \cdot \sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 18]{7}}{\sqrt[\leftroot{3} \scriptstyle 6]{7}}=\genfrac{}{}{}{0}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9}} \cdot 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}}}{7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}}=7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9} + \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 18}- \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}= 7^{\genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6} - \genfrac{}{}{}{3}{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 6}}=7^0=1

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{11a^6b^3-{\left(3a^2b\right)}^3}{4a^6b^6} при b = 2.

Решение:

\displaystyle \frac{11a^6b^3-{\left(3a^2b\right)}^3}{4a^6b^6}=\displaystyle \frac{11a^6b^3-{27a^6b}^3}{4a^6b^6}=\displaystyle \frac{-16a^6b^3}{4a^6b^6}=-\displaystyle \frac{4}{b^3}

При b = 2 получим -\displaystyle \frac{4}{2^3}=-\displaystyle \frac{4}{8}=-0,5 .

Ответ: -0,5

5. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{a^{3,21}\ \cdot \ a^{7,36}}{a^{8,57}} при a=12 .

Решение:

\displaystyle \frac{a^{3,21}\ \cdot \ a^{7,36}}{a^{8,57}}=\displaystyle \frac{a^{3,21+7,36}}{a^{8,57}}=\displaystyle \frac{a^{10,57}}{a^{8,57}}=a^{10,57-8,57}=a^2

При a = 12 получим {12}^2=144.

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144

6. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{{\left(b^{\sqrt{3}}\right)}^{2\sqrt{3}}}{b^4} при b = - 5.

Решение: \displaystyle \frac{{\left(b^{\sqrt{3}}\right)}^{2\sqrt{3}}}{b^3}=\displaystyle \frac{b^{\sqrt{3}\ \cdot \ 2\sqrt{3}}}{b^3}=\displaystyle \frac{b^6}{b^3}=b^3 .

При b = - 5 получим: {(-5)}^3=-125 .

Ответ: -125

7. Расположите в порядке возрастания: {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^{-3}; \displaystyle \frac{7}{8}; {\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^{-3}.

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^-3=\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^3. Так как \displaystyle \frac{8}{7} \textgreater 1, то \left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^3 \textgreater 1

\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)^-3=\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^3. Так как \displaystyle \frac{7}{8} \textless 1, то \left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)^3 \textless 1

Сравним \displaystyle \frac{7}{8} и {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3, для этого оценим их разность

\displaystyle \frac{7}{8} - {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3=\displaystyle \frac{7}{8} - \displaystyle \frac{7^3}{8^3}=\displaystyle \frac{7\ \cdot \ 8^2-7^3}{8^3}=\displaystyle \frac{7(8^2-7^2)}{8^3}=\displaystyle \frac{7(64-49)}{8^3} \textgreater 0 , значит \displaystyle \frac{7}{8} \textgreater {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3 .

Получим : {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^3 \textless \displaystyle \frac{7}{8} \textless {\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^3 , поэтому {\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^{-3} ; \displaystyle \frac{7}{8}\ ;\ {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^{-3} .

Ответ: {\left(\displaystyle \frac{8}{7}\right)}^{-3}; \displaystyle \frac{7}{8}\ ;\ {\left(\displaystyle \frac{7}{8}\right)}^{-3}

8. Представьте выражение в виде степени: \displaystyle \frac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}.

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

\displaystyle \frac{x^{-6}+x^{-4}+x^{-2}}{x^2+x^4+x^6}=\displaystyle \frac{x^{-6}(1+x^2+x^4)}{x^2(1+x^2+x^4)}=\displaystyle \frac{x^{-6}}{x^2}=x^{-6-2}=x^{-8}.

Ответ: x^{-8} .

9. Упростите выражение: \displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{6\ \cdot \ {12}^n} .

Решение. Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

\displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{6\ \cdot \ {12}^n}=\displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{2\ \cdot 3\ \cdot \ {(2^2\ \cdot 3\ )}^n}= \displaystyle \frac{2^{2n-1}\ \cdot \ 3^{n+1}}{2^1\cdot 3^1\cdot 2^{2n}\ \cdot \ 3^n} =

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

= 2^{2n-1-1-2n}\cdot 3^{n+1-1-n}=2^{-2}\cdot 3^0=\displaystyle \frac{1}{2^2}\cdot 1=\displaystyle \frac{1}{4} = 0,25.

Ответ: 0,25

10. Чему равно значение выражения \displaystyle \frac{a^{-4}\cdot {\ a}^{-3}}{a^{-5}}\ \ при a=\displaystyle \frac{1}{3}?

Решение. \displaystyle \frac{a^{-4}\cdot {\ a}^{-3}}{a^{-5}}=a^{-4+\left(-3\right)-(-5)}=a^{-2}

При a=\displaystyle \frac{1}{3}, получим {\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=9.

Ответ: 9

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: \sqrt{5}+\sqrt{6} или 2+\sqrt{7}?

Решение: Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

{\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)}^2= 5 + 2\sqrt{5\cdot 6}+6=11+2\sqrt{30}

{\left(2+7\right)}^2={\left(\sqrt{4}+\sqrt{7}\right)}^2= 4 + 2\sqrt{4\cdot 7}+7=11+2\sqrt{28}.

Найдем разность полученных результатов:

11+2\sqrt{30}-(11+2\sqrt{28})=2(\sqrt{30}-\sqrt{28}) \textgreater 0, так как \sqrt{30} \textgreater \sqrt{28}

Значит, первое число больше второго.

Ответ: \sqrt{5}+\sqrt{6} \textgreater \ 2+\sqrt{7}.

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида \displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}, то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на \sqrt{b}:

\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}} = \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}} = \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}^2} = \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b}

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида \displaystyle \frac{c}{\ a\ \pm \ \sqrt{b}} или \displaystyle \frac{c}{\ \ \sqrt{a}\ \pm \ \sqrt{b}}, то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения - это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

a + \sqrt{b} и a-\sqrt{b}; \sqrt{a}+\sqrt{b} и \sqrt{a}-\sqrt{b} - сопряженные выражения.

Пример:

\displaystyle \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\displaystyle \frac{c (\sqrt{a}+\ \sqrt{b})}{ (\sqrt{a}- \sqrt{b})(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}=

=\displaystyle \frac{c (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{{ \left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2\ \ }=\displaystyle \frac{c(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}{a-b } .

12. Вот несколько примеров - как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{27}}=\ \displaystyle \frac{2\ \cdot \ \sqrt{3}}{\sqrt{3^3}\ \cdot \ \sqrt{3}}=\displaystyle \frac{2\ \sqrt{3}}{\sqrt{3^4}\ }=\displaystyle \frac{2\ \sqrt{3}}{9};

Пример 2.

\displaystyle \frac{6}{1+\sqrt{3}} = \displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{3-1}=

=\displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{2}=3(\sqrt{3}-1);

Пример 3.

\displaystyle \frac{33}{7-3\sqrt{3}} = \displaystyle \frac{33(7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3})(7+3\sqrt{3})}= \displaystyle \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49\ -9\ \cdot 3}=

\displaystyle \frac{33(7+3\sqrt{3})}{22}=\displaystyle \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2} ;

Пример 4.

\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=\displaystyle \frac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3}=

=\displaystyle \frac{12(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}=4(\sqrt{6}-\sqrt{3})

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5. \displaystyle \frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=\ \displaystyle \frac{(5+3\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=

=\displaystyle \frac{10+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}-9}{2^2-{(\sqrt{3}\ )}^2}=\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{4-3}=\ 1+\sqrt{3}.

13. Сравните \sqrt{140} и \displaystyle \frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\displaystyle \frac{1}{7-4\sqrt{3}}.

1) \displaystyle \frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\displaystyle \frac{1}{7-4\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}=\displaystyle \frac{14}{7^2-{(4\sqrt{3})}^2}=

=\displaystyle \frac{14}{49-48}=14.

2) Сравним \sqrt{140} и 14:

14 = \sqrt{{14}^2}=\sqrt{196}, 140 \textless 196, то и \sqrt{140} \textless \sqrt{196}, а значит,

\sqrt{140}\ \textless \displaystyle \frac{1}{7+4\sqrt{3}}+\displaystyle \frac{1}{7-4\sqrt{3}} .

Ответ: \sqrt{140} меньше.

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения: \sqrt{3-2\sqrt{2}}; \sqrt{7+4\sqrt{3}}; \sqrt{19-8\sqrt{3}}

Пример 5. \sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2+1-2\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+1}=

=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2} = \ \left|\sqrt{2}-1\right| = \sqrt{2}-1, т.к. \sqrt{2} \textgreater 1;

Пример 6. \sqrt{7+4\sqrt{3}} = \ \sqrt{4+3+4\sqrt{3\ }}=\sqrt{2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3\ }+{(\sqrt{3\ })}^2}\ =

= \sqrt{{(2+\sqrt{3})}^2} = 2+\sqrt{3};

Пример 7. \sqrt{19-8\sqrt{3}}\ = \ \sqrt{16+3-8\sqrt{3\ }}=\sqrt{4^2-2\cdot 4\cdot \sqrt{3\ }+{(\sqrt{3\ })}^2}\ =

=\sqrt{{(4-\sqrt{3})}^2} = 4-\sqrt{3},

так как 4-\sqrt{3}=\sqrt{16}-\sqrt{3} \textgreater 0 .

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

\sqrt{a^2}=\left|a\right|.

Решение:

\sqrt{{(5-2x)}^2}=\left|5-2x\right|,

Получим уравнение \left|5-2x\right|=2x-5, 2x-5\ge 0, x \geq 2,5

Ответ: [2,5; + \infty )

19. Вычислите значение выражения: \sqrt{{(\sqrt{3}-1)}^2}+\sqrt{{(\sqrt{3}-2)}^2}.

Решение:

\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-1|+|\sqrt{3}-2|=

=\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}=1

Ответ: 1

20. Вычислите значение выражения: \sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}+\sqrt{{(3-\sqrt{5})}^2}.

Решение: \sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}+\sqrt{{(3-\sqrt{5})}^2}= \left|2-\sqrt{5}\right|+\left|3-\sqrt{5}\right|=

=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5} = 1.

Ответ: 1

21. Вычислите значение выражения: (x - 3) \sqrt{\displaystyle \frac{1}{x^2-6x+9}}, если x \textless 3.

Решение. (x - 3) \sqrt{\displaystyle \frac{1}{x^2-6x+9}}=\left(x\ -\ 3\right)\sqrt{\displaystyle \frac{1}{{\left(x-3\right)}^2}}=\displaystyle \frac{x-3}{\left|x-3\right|}=

=\displaystyle \frac{x-3}{3-x}=-1.

Если x \textless 3, то x - 3 \textless 0, следовательно \left|x-3\right|=-\left(x-3\right)=3-x.

Ответ: - 1

22. Вычислите: (\sqrt{3}-2)(\sqrt{7+4\sqrt{3}}).

Решение: \left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right) = \sqrt{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^2(7+4\sqrt{3}})=

=\sqrt{\left(3-4\sqrt{3}+4\right)\left(7+4\sqrt{3}\right)}=\sqrt{\left(7-4\sqrt{3}\right)\left(7+4\sqrt{3}\right)}=\sqrt{7^2-{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=

= \sqrt{49-48} = 1

Ответ: 1

Рассмотрим уравнение вида a^x=a^y, где a \textgreater 0.

Это равенство выполняется, только если x = y.

Подробно об таких уравнениях - в статье «Показательные уравнения»

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а) 2^{3-x}=16;

б) {27}^{\displaystyle \frac{1}{3}x-1}-3=0;

в) {\left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x+1}={\left(3\sqrt{3}\right)}^x.

Решение.

23. Решите уравнение: 2^{3-x}=16,

Решение:

2^{3-x}=2^4, тогда 3 - x = 4, \; x = - 1.

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

{27}^{\displaystyle \frac{1}{3}x-1}-3=0,

Решение:

{\left(3^3\right)}^{\left(\displaystyle \frac{1}{3}x-1\right)}=3 , \; 3^{3\left(\displaystyle \frac{1}{3}x-1\right)}=3^1 ,

3\left(\displaystyle \frac{1}{3}x-1\right)=1, \; x - 3 = 1, \; x = 4.

Ответ: 4

25. Решите уравнение: {\left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{2x+1}={\left(3\sqrt{3}\right)}^x.

Решение:

{\left(3^{-\ \displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x+1}={\left(3^{1+\ \displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x ,\; \; 3^{-\displaystyle \frac{1}{2}\ \cdot (2x+1)}=3^{\displaystyle \frac{3}{2}x},

Значит, -\displaystyle \frac{1}{2}\ \cdot \left(2x+1\right)=\displaystyle \frac{3}{2}x, - 2x - 1 = 3x, - 5x = 1 , x = -\displaystyle \frac{1}{5}.

Ответ: -0,2.

Поделиться страницей

Это полезно

Что делать, если сын завалил ЕГЭ? Или не поступил в вуз?
Читайте рекомендации от Анны Малковой.
Математика «100 баллов»
Разбор демоверсии ЕГЭ-2023,
математика Профиль