В этой статье мы рассмотрим мощный метод, который применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. Для того чтобы лучше его запомнить, расскажем историю о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга.
Еще раз: в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов. Мы помним, что в математике существует 5 типов элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Подробно о них — в статье «Элементарные функции и их графики».
Мы знаем из курса алгебры, что уравнения, которые мы решаем, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Показательные и логарифмические, квадратные и тригонометрические уравнения — для каждого типа есть свои характерные приемы и способы решения. И основаны они на тех или иных свойствах функций. Для тригонометрических уравнений — свои способы решения, для логарифмических — свои.
Но сейчас мы рассмотрим уравнение, в левой и правой частях которого находятся функции разных типов. Вот оно:
Такое уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно брать логарифмы от обеих частей — от этого оно станет только хуже.
Что же с ним делать? Упростим его, насколько возможно.
Посмотрим на правую часть этого уравнения. Очевидно,
Интересно — а какой же будет левая часть? Давайте оценим и ее тоже.
Поскольку получим, что
Значит,
Получается, что при всех значениях х левая часть уравнения не меньше, чем 8, а правая часть не больше, чем 8. И это значит, что решением уравнения могут быть только такие значения переменной х, когда и левая, и правая часть равны 8. Тогда они равны друг другу. В этом и состоит метод оценки.
Метод оценки применяется для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая — наибольшее.
Вот как это выглядит:
А чтобы лучше запомнить суть метода, рассказываем историю.
Глубоко-глубоко в море жила маленькая рыбка. А высоко-высоко в небе жила маленькая птичка. И однажды они полюбили друг друга! А встретиться они могли только в одной точке, на границе моря и неба, до которой рыбке надо подняться, а птичке — спуститься!
Смотри видео о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга и что из этого получилось
О чем эта история? О нашем уравнении, конечно! В левой и правой его частях находятся функции разных типов. И при определенном значении х они оказались равны друг другу. Легко заметить, что значения выражения в левой части всегда больше либо равны восьми («птичка»), значения выражения в правой части — меньше либо равные восьми («рыбка»). И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а у другой — максимум, причем значение каждой из них станет равно восьми.
Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть. Приравняем правую часть к восьми.
Подставив в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении x. Значит,
является единственным корнем данного уравнения.
Ответ:
Вот еще одна задача на метод оценки.
Умножим обе части данного неравенства на положительную величину:
В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Метод оценки!
Выделим под логарифмом полный квадрат:
Неравенство примет вид:
Наибольшее значение выражения под логарифмом равно 2. Стало быть, наибольшее значение логарифма равно
, то есть 1, и достигается оно при единственном значении x = 3.
В то же время, наименьшее значение выражения также равно 1, и достигается оно при том же единственном значении x= 3.
Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда обе его части равны 1, т. е. при x = 3. Решением данного неравенства служит единственное число!
Ответ: x= 3.
Мы обещали задачи с параметрами, которые решаются методом оценки. Вот, пожалуйста:
18. Найдите все значения а, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Обозначим Уравнение примет вид:
Мы видим, что левая часть этого уравнения не меньше единицы, а правая часть — не больше единицы. Равенство может быть, только если обе они равны единице.
Это классическая задача на метод оценки.
В нашем случае функция f в левой части уравнения и функция g в правой части «встречаются», когда одна из них принимает свое наименьшее значение, равное единице, а другая — свое наибольшее значение, также равное единице.
Получим:
Второе уравнение означает, что частное — целое число.
В первом уравнении сделаем замену
Получим:
Обозначим а - 6 = b и найдем, сколько корней имеет уравнение при неотрицательных z и различных b.
Нам нужно, чтобы исходное уравнение относительно х имело два корня.
Это происходит, когда уравнение имеет единственный положительный корень
, которому соответствуют
и
Заметим, что так как если
то
и двух корней не получится.
График функции — парабола с вершиной М(3;-9)
1) Если , то уравнение
имеет единственный корень
, которому соответствуют два корня исходного уравнения:
и
Поскольку , в этом случае
. Это значение удовлетворяет и второму уравнению системы:
— целое.
2) Уравнение > имеет единственное положительное решение также при
, при этом
и
Но если , условию
удовлетворяет только
Ответ: или
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Метод оценки в задачах с параметрами» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 08.05.2023