Slider

Метод оценки в задачах с параметрами

В этой статье мы рассмотрим мощный метод, который применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. Для того чтобы лучше его запомнить, расскажем историю о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга.

Еще раз: в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов. Мы помним, что в математике существует 5 типов элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Подробно о них — в статье «Элементарные функции и их графики».

Мы знаем из курса алгебры, что уравнения, которые мы решаем, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Показательные и логарифмические, квадратные и тригонометрические уравнения — для каждого типа есть свои характерные приемы и способы решения. И основаны они на тех или иных свойствах функций. Для тригонометрических уравнений — свои способы решения, для логарифмических — свои.

Но сейчас мы рассмотрим уравнение, в левой и правой частях которого находятся функции разных типов. Вот оно:

2^{\left (\sqrt{3}-cos10 \pi \, x \right )\left ( \sqrt{3}+cos10 \pi \, x \right )}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.

Такое уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно брать логарифмы от обеих частей — от этого оно станет только хуже.

Что же с ним делать? Упростим его, насколько возможно.

2^{\left (\sqrt{3}-cos10 \pi \, x \right )\left ( \sqrt{3}+cos10 \pi \, x \right )}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.

2^{3-cos^210 \pi x}=8+\left ( 20x+3 \right )^2;

\frac{8}{2^{cos^210\pi x}}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.

Посмотрим на правую часть этого уравнения. Очевидно,

8 + (20 x + 3)^2 \geq 8.

Интересно — а какой же будет левая часть? Давайте оценим и ее тоже.

Поскольку 0 \leq cos ^2 10\pi x \leq 1, получим, что 1\leq 2cos^{cos^210\pi x}\leq 2.

Значит, \frac{8}{2cos^{cos^210\pi x}}\leq 8.

Получается, что при всех значениях х левая часть уравнения не меньше, чем 8, а правая часть не больше, чем 8. И это значит, что решением уравнения могут быть только такие значения переменной х, когда и левая, и правая часть равны 8. Тогда они равны друг другу. В этом и состоит метод оценки.

Метод оценки применяется для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая — наибольшее. 

Вот как это выглядит:

А чтобы лучше запомнить суть метода, рассказываем историю.

Глубоко-глубоко в море жила маленькая рыбка. А высоко-высоко в небе жила маленькая птичка. И однажды они полюбили друг друга! А встретиться они могли только в одной точке, на границе моря и неба, до которой рыбке надо подняться, а птичке — спуститься! 

Смотри видео о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга и что из этого получилось

О чем эта история? О нашем уравнении, конечно! В левой и правой его частях находятся функции разных типов. И при определенном значении х они оказались равны друг другу. Легко заметить, что значения выражения в левой части всегда больше либо равны восьми («птичка»), значения выражения в правой части — меньше либо равные восьми («рыбка»). И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а у другой — максимум, причем значение каждой из них станет равно восьми.

Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть. Приравняем правую часть к восьми.

\newline 8+\left ( 20x+3 \right )^2=8, \newline \left ( 20x+3 \right )^2=0, \newline x=-\frac{3}{20}=-0,15.

Подставив x= -0,15. в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении x. Значит, x= -0,15. является единственным корнем данного уравнения.

Ответ: x= -0,15.

Вот еще одна задача на метод оценки.

7^{- \left | x-3 \right | }\cdot log_2\left ( 6x-x^2-7 \right )\geq1.

Умножим обе части данного неравенства на положительную величину: 7^{ \left | x-3 \right | }.

log_2 \left ( 6x-x^2-7 \right )\geq 7^{ \left | x-3 \right | }

В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Метод оценки!

Выделим под логарифмом полный квадрат:

6x-x^2-7=2-\left ( x^2-6x+9 \right )=2-\left ( x-3 \right )^2

Неравенство примет вид:

log_2\left ( 2-\left ( x-3 \right )^2 \right )\geq7^{\left | x-3 \right |}

Наибольшее значение выражения под логарифмом равно 2. Стало быть, наибольшее значение логарифма равно log_22
, то есть 1, и достигается оно при единственном значении x = 3.

В то же время, наименьшее значение выражения 7^{\left | x-3 \right |} также равно 1, и достигается оно при том же единственном значении x= 3.

Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда обе его части равны 1, т. е. при x = 3. Решением данного неравенства служит единственное число!

Ответ: x= 3.

Мы обещали задачи с параметрами, которые решаются методом оценки. Вот, пожалуйста:

18. Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Обозначим t=x^{{\rm 2}}{\rm -6}\left|x\right|{\rm -a}. Уравнение примет вид:

t^2+12t+37=cos\left ({{18 \pi }\over{\alpha}} \right )

\left ( t+6 \right )^2+1=cos\left ({{18 \pi }\over{\alpha}} \right )

Мы видим, что левая часть этого уравнения не меньше единицы, а правая часть — не больше единицы. Равенство может быть, только если обе они равны единице.

\left\{ \begin{array}{c}{\left({\rm t+6}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +1}\ge {\rm 1} \\{\cos \left(\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}\right)}\le {\rm 1} \\{{\rm t}}^{{\rm 2}}{\rm +12t+37=}{\cos \left(\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}\right)} \end{array}\right.= \textgreater \left\{ \begin{array}{c}{\left({\rm t+6}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +1=1} \\{\cos \left(\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}\right)}{\rm =1} \end{array}\right.

Это классическая задача на метод оценки.

В нашем случае функция f в левой части уравнения и функция g в правой части «встречаются», когда одна из них принимает свое наименьшее значение, равное единице, а другая — свое наибольшее значение, также равное единице.

Получим:

\left\{ \begin{array}{c}{\rm t=-6} \\\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}{\rm =2}\pi {\rm n} \end{array};\right.

\left\{ \begin{array}{c}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -6}\left|{\rm x}\right|{\rm -a=-6} \\\frac{{\rm 9}}{{\rm a}}{\rm =n} \end{array}\right.

Второе уравнение означает, что частное \frac{{\rm 9}}{a} — целое число.

В первом уравнении сделаем замену \left|x\right|{\rm =}z \, ,z\ge {\rm 0.}

Получим: z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z{\rm =a-6}

Обозначим а - 6 = b и найдем, сколько корней имеет уравнение z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z{\rm =}b{\rm } при неотрицательных z и различных b.

Нам нужно, чтобы исходное уравнение относительно х имело два корня.

Это происходит, когда уравнение z^{{ 2}}{-}{ 6}z{=}b{ } имеет единственный положительный корень z_0, которому соответствуют {{x}}_{{1}}{ =}z_0 и {{x}}_{{2}}{=-}z_0.

Заметим, что z_0\ne {\rm 0,} так как если \left|x\right|{\rm =0}, то x=0 и двух корней не получится.

График функции y(z)={\rm }z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z — парабола с вершиной М(3;-9)

1) Если b= - 9, то уравнение z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z{\rm =}b имеет единственный корень z=3, которому соответствуют два корня исходного уравнения: x=3 и x= - 3.

Поскольку a=b+6, в этом случае a= - 3. Это значение удовлетворяет и второму уравнению системы: {\rm -}\frac{{\rm 9}}{{\rm 3}}{\rm =-3} — целое.

2) Уравнение {{ z}}^{{ 2}}{ -}{ 6z=}{b}> имеет единственное положительное решение также при b \textgreater 0, при этом z \textgreater 6 и a \textgreater 6.

Но если a \textgreater 6, условию \frac{{ 9}}{{a}}{ =n} удовлетворяет только a=9.

Ответ: a=-3 или a=9.

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.