previous arrow
next arrow
Slider

Метод оценки в задачах с параметрами

В этой статье мы рассмотрим мощный метод, который применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. Для того чтобы лучше его запомнить, расскажем историю о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга.

Еще раз: в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов. Мы помним, что в математике существует 5 типов элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Подробно о них — в статье «Элементарные функции и их графики».

Мы знаем из курса алгебры, что уравнения, которые мы решаем, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Показательные и логарифмические, квадратные и тригонометрические уравнения — для каждого типа есть свои характерные приемы и способы решения. И основаны они на тех или иных свойствах функций. Для тригонометрических уравнений — свои способы решения, для логарифмических — свои.

Но сейчас мы рассмотрим уравнение, в левой и правой частях которого находятся функции разных типов. Вот оно:

2^{\left (\sqrt{3}-cos10 \pi \, x \right )\left ( \sqrt{3}+cos10 \pi \, x \right )}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.

Такое уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно брать логарифмы от обеих частей — от этого оно станет только хуже.

Что же с ним делать? Упростим его, насколько возможно.

2^{\left (\sqrt{3}-cos10 \pi \, x \right )\left ( \sqrt{3}+cos10 \pi \, x \right )}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.

2^{3-cos^210 \pi x}=8+\left ( 20x+3 \right )^2;

\frac{8}{2^{cos^210\pi x}}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.

Посмотрим на правую часть этого уравнения. Очевидно,

8 + (20 x + 3)^2 \geq 8.

Интересно — а какой же будет левая часть? Давайте оценим и ее тоже.

Поскольку 0 \leq cos ^2 10\pi x \leq 1, получим, что 1\leq 2cos^{cos^210\pi x}\leq 2.

Значит, \frac{8}{2cos^{cos^210\pi x}}\leq 8.

Получается, что при всех значениях х левая часть уравнения не меньше, чем 8, а правая часть не больше, чем 8. И это значит, что решением уравнения могут быть только такие значения переменной х, когда и левая, и правая часть равны 8. Тогда они равны друг другу. В этом и состоит метод оценки.

Метод оценки применяется для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая — наибольшее. 

Вот как это выглядит:

А чтобы лучше запомнить суть метода, рассказываем историю.

Глубоко-глубоко в море жила маленькая рыбка. А высоко-высоко в небе жила маленькая птичка. И однажды они полюбили друг друга! А встретиться они могли только в одной точке, на границе моря и неба, до которой рыбке надо подняться, а птичке — спуститься! 

Смотри видео о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга и что из этого получилось

О чем эта история? О нашем уравнении, конечно! В левой и правой его частях находятся функции разных типов. И при определенном значении х они оказались равны друг другу. Легко заметить, что значения выражения в левой части всегда больше либо равны восьми («птичка»), значения выражения в правой части — меньше либо равные восьми («рыбка»). И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а у другой — максимум, причем значение каждой из них станет равно восьми.

Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть. Приравняем правую часть к восьми.

\newline 8+\left ( 20x+3 \right )^2=8, \newline \left ( 20x+3 \right )^2=0, \newline x=-\frac{3}{20}=-0,15.

Подставив x= -0,15. в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении x. Значит, x= -0,15. является единственным корнем данного уравнения.

Ответ: x= -0,15.

Вот еще одна задача на метод оценки.

7^{- \left | x-3 \right | }\cdot log_2\left ( 6x-x^2-7 \right )\geq1.

Умножим обе части данного неравенства на положительную величину: 7^{ \left | x-3 \right | }.

log_2 \left ( 6x-x^2-7 \right )\geq 7^{ \left | x-3 \right | }

В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Метод оценки!

Выделим под логарифмом полный квадрат:

6x-x^2-7=2-\left ( x^2-6x+9 \right )=2-\left ( x-3 \right )^2

Неравенство примет вид:

log_2\left ( 2-\left ( x-3 \right )^2 \right )\geq7^{\left | x-3 \right |}

Наибольшее значение выражения под логарифмом равно 2. Стало быть, наибольшее значение логарифма равно log_22
, то есть 1, и достигается оно при единственном значении x = 3.

В то же время, наименьшее значение выражения 7^{\left | x-3 \right |} также равно 1, и достигается оно при том же единственном значении x= 3.

Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда обе его части равны 1, т. е. при x = 3. Решением данного неравенства служит единственное число!

Ответ: x= 3.

Мы обещали задачи с параметрами, которые решаются методом оценки. Вот, пожалуйста:

18. Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Обозначим t=x^{{\rm 2}}{\rm -6}\left|x\right|{\rm -a}. Уравнение примет вид:

t^2+12t+37=cos\left ({{18 \pi }\over{\alpha}} \right )

\left ( t+6 \right )^2+1=cos\left ({{18 \pi }\over{\alpha}} \right )

Мы видим, что левая часть этого уравнения не меньше единицы, а правая часть — не больше единицы. Равенство может быть, только если обе они равны единице.

\left\{ \begin{array}{c}{\left({\rm t+6}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +1}\ge {\rm 1} \\{\cos \left(\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}\right)}\le {\rm 1} \\{{\rm t}}^{{\rm 2}}{\rm +12t+37=}{\cos \left(\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}\right)} \end{array}\right.= \textgreater \left\{ \begin{array}{c}{\left({\rm t+6}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +1=1} \\{\cos \left(\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}\right)}{\rm =1} \end{array}\right.

Это классическая задача на метод оценки.

В нашем случае функция f в левой части уравнения и функция g в правой части «встречаются», когда одна из них принимает свое наименьшее значение, равное единице, а другая — свое наибольшее значение, также равное единице.

Получим:

\left\{ \begin{array}{c}{\rm t=-6} \\\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}{\rm =2}\pi {\rm n} \end{array};\right.

\left\{ \begin{array}{c}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -6}\left|{\rm x}\right|{\rm -a=-6} \\\frac{{\rm 9}}{{\rm a}}{\rm =n} \end{array}\right.

Второе уравнение означает, что частное \frac{{\rm 9}}{a} — целое число.

В первом уравнении сделаем замену \left|x\right|{\rm =}z \, ,z\ge {\rm 0.}

Получим: z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z{\rm =a-6}

Обозначим а - 6 = b и найдем, сколько корней имеет уравнение z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z{\rm =}b{\rm } при неотрицательных z и различных b.

Нам нужно, чтобы исходное уравнение относительно х имело два корня.

Это происходит, когда уравнение z^{{ 2}}{-}{ 6}z{=}b{ } имеет единственный положительный корень z_0, которому соответствуют {{x}}_{{1}}{ =}z_0 и {{x}}_{{2}}{=-}z_0.

Заметим, что z_0\ne {\rm 0,} так как если \left|x\right|{\rm =0}, то x=0 и двух корней не получится.

График функции y(z)={\rm }z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z — парабола с вершиной М(3;-9)

1) Если b= - 9, то уравнение z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z{\rm =}b имеет единственный корень z=3, которому соответствуют два корня исходного уравнения: x=3 и x= - 3.

Поскольку a=b+6, в этом случае a= - 3. Это значение удовлетворяет и второму уравнению системы: {\rm -}\frac{{\rm 9}}{{\rm 3}}{\rm =-3} — целое.

2) Уравнение {{ z}}^{{ 2}}{ -}{ 6z=}{b}> имеет единственное положительное решение также при b \textgreater 0, при этом z \textgreater 6 и a \textgreater 6.

Но если a \textgreater 6, условию \frac{{ 9}}{{a}}{ =n} удовлетворяет только a=9.

Ответ: a=-3 или a=9.