Метод оценки в задачах с параметрами

В этой статье мы рассмотрим мощный метод, который применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. Для того чтобы лучше его запомнить, расскажем историю о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга.

Еще раз: в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов. Мы помним, что в математике существует 5 типов элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Подробно о них — в статье «Элементарные функции и их графики».

Мы знаем из курса алгебры, что уравнения, которые мы решаем, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Показательные и логарифмические, квадратные и тригонометрические уравнения — для каждого типа есть свои характерные приемы и способы решения. И основаны они на тех или иных свойствах функций. Для тригонометрических уравнений — свои способы решения, для логарифмических — свои.

Но сейчас мы рассмотрим уравнение, в левой и правой частях которого находятся функции разных типов. Вот оно:

$2^{\left (\sqrt{3}-cos10 \pi \, x \right )\left ( \sqrt{3}+cos10 \pi \, x \right )}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.$

Такое уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно брать логарифмы от обеих частей — от этого оно станет только хуже.

Что же с ним делать? Упростим его, насколько возможно.

$2^{\left (\sqrt{3}-cos10 \pi \, x \right )\left ( \sqrt{3}+cos10 \pi \, x \right )}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.$

$2^{3-cos^210 \pi x}=8+\left ( 20x+3 \right )^2;$

$\frac{8}{2^{cos^210\pi x}}=8+\left ( 20x+3 \right )^2.$

Посмотрим на правую часть этого уравнения. Очевидно,

$8 + (20 x + 3)^2 \geq 8.$

Интересно — а какой же будет левая часть? Давайте оценим и ее тоже.

Поскольку $0 \leq cos ^2 10\pi x \leq 1,$ получим, что $1\leq 2cos^{cos^210\pi x}\leq 2.$

Значит, $\frac{8}{2cos^{cos^210\pi x}}\leq 8.$

Получается, что при всех значениях х левая часть уравнения не меньше, чем 8, а правая часть не больше, чем 8. И это значит, что решением уравнения могут быть только такие значения переменной х, когда и левая, и правая часть равны 8. Тогда они равны друг другу. В этом и состоит метод оценки.

Метод оценки применяется для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая — наибольшее.

Вот как это выглядит:

А чтобы лучше запомнить суть метода, рассказываем историю.

Глубоко-глубоко в море жила маленькая рыбка. А высоко-высоко в небе жила маленькая птичка. И однажды они полюбили друг друга! А встретиться они могли только в одной точке, на границе моря и неба, до которой рыбке надо подняться, а птичке — спуститься!

Смотри видео о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга и что из этого получилось

О чем эта история? О нашем уравнении, конечно! В левой и правой его частях находятся функции разных типов. И при определенном значении х они оказались равны друг другу. Легко заметить, что значения выражения в левой части всегда больше либо равны восьми («птичка»), значения выражения в правой части — меньше либо равные восьми («рыбка»). И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а у другой — максимум, причем значение каждой из них станет равно восьми.

Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть. Приравняем правую часть к восьми.

$\newline 8+\left ( 20x+3 \right )^2=8, \newline \left ( 20x+3 \right )^2=0, \newline x=-\frac{3}{20}=-0,15.$

Подставив $x= -0,15.$ в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении x. Значит, $x= -0,15.$ является единственным корнем данного уравнения.

Ответ: $x= -0,15.$

Вот еще одна задача на метод оценки.

$7^{- \left | x-3 \right | }\cdot log_2\left ( 6x-x^2-7 \right )\geq1.$

Умножим обе части данного неравенства на положительную величину: $7^{ \left | x-3 \right | }.$

$log_2 \left ( 6x-x^2-7 \right )\geq 7^{ \left | x-3 \right | }$

В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Метод оценки!

Выделим под логарифмом полный квадрат:

$6x-x^2-7=2-\left ( x^2-6x+9 \right )=2-\left ( x-3 \right )^2$

Неравенство примет вид:

$log_2\left ( 2-\left ( x-3 \right )^2 \right )\geq7^{\left | x-3 \right |}$

Наибольшее значение выражения под логарифмом равно 2. Стало быть, наибольшее значение логарифма равно $log_22$
, то есть 1, и достигается оно при единственном значении x = 3.

В то же время, наименьшее значение выражения $7^{\left | x-3 \right |}$ также равно 1, и достигается оно при том же единственном значении x= 3.

Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда обе его части равны 1, т. е. при x = 3. Решением данного неравенства служит единственное число!

Ответ: x= 3.

Мы обещали задачи с параметрами, которые решаются методом оценки. Вот, пожалуйста:

18. Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Обозначим $t=x^{{\rm 2}}{\rm -6}\left|x\right|{\rm -a}.$ Уравнение примет вид:

$t^2+12t+37=cos\left ({{18 \pi }\over{\alpha}} \right )$

$\left ( t+6 \right )^2+1=cos\left ({{18 \pi }\over{\alpha}} \right )$

Мы видим, что левая часть этого уравнения не меньше единицы, а правая часть — не больше единицы. Равенство может быть, только если обе они равны единице.

$\left\{ \begin{array}{c}{\left({\rm t+6}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +1}\ge {\rm 1} \\{\cos \left(\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}\right)}\le {\rm 1} \\{{\rm t}}^{{\rm 2}}{\rm +12t+37=}{\cos \left(\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}\right)} \end{array}\right.= \textgreater \left\{ \begin{array}{c}{\left({\rm t+6}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +1=1} \\{\cos \left(\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}\right)}{\rm =1} \end{array}\right.$

Это классическая задача на метод оценки.

В нашем случае функция f в левой части уравнения и функция g в правой части «встречаются», когда одна из них принимает свое наименьшее значение, равное единице, а другая — свое наибольшее значение, также равное единице.

Получим:

$\left\{ \begin{array}{c}{\rm t=-6} \\\frac{{\rm 18}\pi }{{\rm a}}{\rm =2}\pi {\rm n} \end{array};\right.$

$\left\{ \begin{array}{c}{{\rm x}}^{{\rm 2}}{\rm -6}\left|{\rm x}\right|{\rm -a=-6} \\\frac{{\rm 9}}{{\rm a}}{\rm =n} \end{array}\right.$

Второе уравнение означает, что частное $\frac{{\rm 9}}{a}$ — целое число.

В первом уравнении сделаем замену $\left|x\right|{\rm =}z \, ,z\ge {\rm 0.}$

Получим: $z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z{\rm =a-6}$

Обозначим а - 6 = b и найдем, сколько корней имеет уравнение $z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z{\rm =}b{\rm }$ при неотрицательных z и различных b.

Нам нужно, чтобы исходное уравнение относительно х имело два корня.

Это происходит, когда уравнение $z^{{ 2}}{-}{ 6}z{=}b{ }$ имеет единственный положительный корень $z_0$ , которому соответствуют ${{x}}_{{1}}{ =}z_0$ и ${{x}}_{{2}}{=-}z_0.$

Заметим, что $z_0\ne {\rm 0,}$ так как если $\left|x\right|{\rm =0},$ то $x=0$ и двух корней не получится.

График функции $y(z)={\rm }z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z$ — парабола с вершиной М(3;-9)

1) Если $b= - 9$ , то уравнение $z^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 6}z{\rm =}b$ имеет единственный корень $z=3$ , которому соответствуют два корня исходного уравнения: $x=3$ и $x= - 3.$

Поскольку $a=b+6$ , в этом случае $a= - 3$ . Это значение удовлетворяет и второму уравнению системы: ${\rm -}\frac{{\rm 9}}{{\rm 3}}{\rm =-3}$ — целое.

2) Уравнение ${{ z}}^{{ 2}}{ -}{ 6z=}{b}$ > имеет единственное положительное решение также при $b \textgreater 0$ , при этом $z \textgreater 6$ и $a \textgreater 6.$

Но если $a \textgreater 6$ , условию $\frac{{ 9}}{{a}}{ =n}$ удовлетворяет только $a=9.$

Ответ: $a=-3$ или $a=9.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Метод оценки в задачах с параметрами» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Это полезно