Мы изучили тему «Использование четности функций в задачах с параметрами».
В этой главе мы познакомимся с более общим приемом – методом симметрии.
Например, он применяется, когда уравнение (или система) не меняется при замене \(x\) на \(y\). В этом случае говорят, что уравнение симметрично относительно \(x\) и \(y\). Или – что оно инвариантно относительно замены \(x\) на \(y\).
1. Найдите все значения \(a\), при которых система
\(\left\{\begin{matrix}
y=(a+2)x^2-(2a+2)x+a-3, \\
x=(a+2)y^2-(2a+2)y+a-3\end{matrix}\right. \; \) имеет ровно одно решение.
Решение:
Уравнения системы не изменятся, если поменять \(x\) и \(y\) местами. Следовательно, система может иметь единственное решение, только если \(x=y\).
Получаем уравнение:
\(x=(a+2)x^2-(2a+2)x+a-3;\)
\((a+2)x^2-(2a+3)x+a-3=0.\)
Найдем, при каких значениях параметра \(a\) уравнение имеет ровно один корень.
1) Если \(a=-2\), получается линейное уравнение \(x-5=0\), которое имеет единственное решение \(x=5\).
2) Если \(a \neq -2\), то уравнение квадратное. Оно имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю:
\(D=(2𝑎+3)^2−4(𝑎+2)(𝑎−3)=4a^2+12a+9-4a^2+4a+24=16a+33;\)
\(D=0⇔16𝑎+33=0, \; 𝑎=−\displaystyle \frac{33}{16}.\)
Подставим по очереди \(a=-2\) и \(a=-\displaystyle \frac{33}{16}\) в исходную систему.
При \(a=-2\) получим:
\(\left\{\begin{matrix}
y=(-2+2)x^2-(2\cdot(-2)+2)x+(-2)-3, \\
x=(-2+2)y^2-(2\cdot(-2)+2)y+(-2)-3;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix}
y=2x-5, \\
x=2y-5;\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
y=2x-5,\\
x=2(2x-5)-5;\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left\{\begin{matrix}
y=2x-5, \\
x=5;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
y=5, \\
x=5.\end{matrix}\right.\)
Система имеет единственное решение \((5;5)\).
При \(a=-\displaystyle \frac{33}{16}=-2\frac{1}{16}\) система примет вид:
\( \left\{\begin{matrix}
y=\left(-2\displaystyle \frac{1}{16}+2\right)x^2-\left(2\cdot\left(-\displaystyle \frac{33}{16}\right)+2\right)x-2\displaystyle\frac{1}{16}-3, \\
x=\left(-2\displaystyle \frac{1}{16}+2\right)y^2-\left(2\cdot\left(-\displaystyle \frac{33}{16}\right)+2\right)y-2\displaystyle\frac{1}{16}-3;\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
y=-\displaystyle \frac{1}{16}x^2+\frac{34}{16}x-\frac{81}{16}, \\
x=-\displaystyle \frac{1}{3}y^2+\frac{8}{3}y-\frac{16}{3};\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
16y=-x^2+34x-81, \\
16x=-y^2+34y-81.\end{matrix}\right. \)
Вычтем из первого уравнения второе:
\(16(y-x)=y^2-x^2+34(x-y);\)
\(y^2-x^2-34(y-x)-16(y-x)=0;\)
\((𝑦−𝑥)(𝑦+𝑥)–50(𝑦−𝑥)=0;\)
\((𝑦−𝑥)(𝑦+𝑥−50)=0.\)
Это уравнение равносильно совокупности:
\(\left[\begin{matrix}
y-x=0,\\y+x-50=0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
y=x,\\y=50-x;
\end{matrix}\right.\)
Подставим по очереди найденные значения \(y\) в первое уравнение.
Если \(y=x\), получим:
\(\left\{\begin{matrix}
y=x, \\
16y=-x^2+34x-81;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
y=x ,\\
x^2-18x-81=0;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
y=x, \\
(x-9)^2=0,\end{matrix}\right. \; \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
y=9, \\
x=9\end{matrix}\right. \; \) – единственное решение.
Если \(y=50-x\), первое уравнение принимает вид:
\(16(50-x)=-x^2+34x-81;\)
\(x^2-50x+881=0;\)
\(D=50^2-4\cdot 881=250-3524=-3274 < 0.\)
У этого квадратного уравнения нет корней.
Значит, при \(a=-\displaystyle\frac{33}{16}\) система также имеет единственное решение.
Ответ: \(-\displaystyle\frac{33}{16}\); \(-2\).
2. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
\((1+a^2)x^6+3a^2 x^4+2(1-6a)x^3+3a^2 x^2+a^2+1=0\) имеет единственное решение.
Решение.
Обратим внимание, что перед \(x^6\) и \(x^0\), а также при \(x^4\) и \(x^2\) одинаковые коэффициенты.
Заметим, что \(x=0\) не является решением уравнения ни при каком значении параметра \(a\).
При \(x \neq 0\) можно разделить обе части уравнения на \(x^3\) . Получим:
\( (1+a^2)x^3+3a^2 x+2(1-6a)+\displaystyle \frac{3a^2}{x}+\frac{a^2+1}{x^3}=0\).
Сгруппируем слагаемые:
\((1+a^2)\left (x^3+\displaystyle \frac{1}{x^3}\right )+3a^2\left (x+\displaystyle \frac{1}{x}\right )+2-12a=0.\) (*)
Есть ли в этом уравнении симметрия? – Да, есть. Если число \(x_0\) является корнем уравнения (*), то и число \(\displaystyle \frac{1}{x_0}\) тоже является корнем этого уравнения.
Уравнение может иметь единственный корень, только если \(x=\displaystyle \frac{1}{x}\).
Это значит, что \(x=1\) или \(x=-1\). Подставим по очереди \(x=1\) и \(x=-1\) в уравнение (*).
Пусть \(x=1:\)
\((1+a^2 )\cdot 2+3a^2\cdot2+2-12a=0\Leftrightarrow 8a^2-12a+4=0\Leftrightarrow 2a^2-3a+1=0\Leftrightarrow \)\(\left[\begin{matrix}
a=1, \\
a=\displaystyle \frac{1}{2}.\end{matrix}\right.\)
Пусть теперь \(x=-1:\)
\((1+a^2 )\cdot (-2)+3a^2\cdot(-2)+2-12a=0\Leftrightarrow 8a^2+12a=0\Leftrightarrow 2a^2+3a=0\Leftrightarrow \)\(\left[\begin{matrix}
a=0, \\
a=\displaystyle -\frac{3}{2}.\end{matrix}\right.\)
Подставим по очереди найденные значения параметра \(a\) в уравнение (*).
А для начала упростим его.
Сделаем замену переменной: \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=t.\)
Тогда \(t^3=x^3+3x+\displaystyle \frac{3}{x}+\frac{1}{x^3};\)
\(x^3+\displaystyle \frac{1}{x^3}=t^3-3t\).
Уравнение примет вид:
\((1+a^2 )(t^3-3t)+3a^2 t+2-12a=0.\)
1) При \(a=1\) получим:
\(2(t^3-3t)+3t+2-12=0;\)
\(2t^3-3t-10=0;\)
\((t-2)(2t^2+4t+5)=0 \Leftrightarrow t=2.\)
Если \(t=2,\) то \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=2, \; x^2-2x+1=0; \; x=1\) – единственный корень уравнения.
2) При \(a=\displaystyle \frac{1}{2}:\)
\(\displaystyle \frac{5}{4}(t^3-3t)+\frac{3}{4} t+2-6=0 \Leftrightarrow 5t^3-12t-16=0 \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow (t-2)(5t^2+10t+8)=0 \Leftrightarrow t=2.\)
При \(a=\displaystyle \frac{1}{2}\) исходное уравнение также имеет ровно один корень \(x=1\).
3) При \(a=0\) получается:
\(t^3-3t+2=0 \Leftrightarrow (t+2)(t^2-2t+1)=0 \Leftrightarrow (t+2)(t-1)^2=0\).
Если \(t=-2\), уравнение \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=-2\) имеет единственный корень \(x=-1\).
Если \(t=1\), уравнение \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=1\) не имеет корней.
Значит, \(a=0\) также удовлетворяет условию задачи.
4) При \(a=-\displaystyle \frac{3}{2} \) получим:
\(\displaystyle \frac{13}{4} (t^3-3t)+\frac{27}{4}t+2+18=0 \Leftrightarrow 13t^3-12t+80=0\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow (t+2)(13t^2-26t+40)=0 \Leftrightarrow t+2=0 \Leftrightarrow t=-2\).
Этому значению \(t\) также соответствует единственный корень \(x=-1\).
Подходят все 4 значения параметра, которые мы нашли.
Ответ: \({-\displaystyle \frac{3}{2};0;-\frac{1}{2};1}\).
