Если вы научились решать уравнения с модулями – значит, сможете справиться и с неравенствами.
1. \(2\left| x-4\right|+\left| 3x+5\right|\geq 16.\)
1) \(x\geq 4. \;\) Имеем:
\(2(x-4)+3x+5\geq 16, \; x\geq \displaystyle \frac{19}{5}.\)
Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых \(x\geq 4\). Иными словами, все числа из промежутка \([4; +\infty )\) являются решениями нашего неравенства.
2) \(-\displaystyle \frac{5}{3}\leq x\leq 4.\)
Имеем в данном случае:
\(2(4-x)+3x+5\geq 16;\)
\(x\geq 3.\)
Учитывая, в каком промежутке мы сейчас находимся, получаем в качестве решений исходного неравенства множество \([3; 4]\).
3) \(x\leq -\displaystyle \frac{5}{3}.\) Имеем:
\(2(4-x)-3x-5\geq 16;\)
\(x\leq -\displaystyle \frac{13}{5}.\)
Так как \(-\displaystyle \frac{13}{5}< \frac{5}{3}\), то все значения \(x\) из полученного промежутка \(\left (-\infty ; -\displaystyle \frac{13}{5} \right ]\) служат решениями исходного неравенства.
Остаётся объединить множества решений, полученные в трёх рассмотренных случаях.
Ответ: \(\left (-\infty ; -\displaystyle \frac{13}{5} \right ]\cup [3; +\infty ).\)
2. \(\left| x^{2}-2x-3\right|< 3x-3.\)
Наше неравенство имеет вид \(\left| A\right|< B\). Очевидны следующие утверждения.
• Если \(B\leq 0\), то неравенство не имеет решений.
• Если \(B> 0\), то неравенство равносильно двойному неравенству \(-B< A< B\) или, что то же самое, системе
\(\left\{\begin{matrix}
A< B, \\A> -B.
\end{matrix}\right.\)
Иными словами, мы берём пересечение множества решений данной системы с множеством решений неравенства \(B> 0\), то есть решаем систему
\(\left\{\begin{matrix} A< B, \\A> -B, \\B> 0. \end{matrix}\right.\)
В нашей задаче получаем:
\(|x^{2}-2x-3|< 3x-3;\, \, \Leftrightarrow \, \,
\left\{\begin{matrix} x^{2}-2x-3< 3x-3,\\ x^{2}-2x-3> -(3x-3),\\ 3x-3> 0; \end{matrix}\right.
\, \Leftrightarrow \, \, \left\{\begin{matrix} x^{2}-5x< 0,\\ x^{2}+x-6> 0,\\ x> 1; \end{matrix}\right. \, \, \Leftrightarrow \)
\(\left\{\begin{matrix} 0< x< 5, \\ \left[\begin{matrix} x> 2,\\x< -3, \end{matrix}\right.\\ x> 1. \end{matrix}\right.\)
Изобразим множества решений этих неравенств на рисунке. Чёрным цветом показаны решения первого (двойного) неравенства; зелёный цвет — решения совокупности; синий цвет — решения последнего неравенства системы.
Решением системы служит пересечение этих множеств, т. е. множество, над которым присутствуют линии всех трёх цветов. Оно заштриховано.
Ответ: \((2; 5)\).
