Уравнения и неравенства с модулем

Данная статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение |x² − 5x + 4| = 4.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

x² − 5x + 4 = 4 или x² − 5x + 4 = −4.

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1. |2 − x| = 5 − 4x

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

$\left\{\begin{matrix} 2-x< 0,\\ x-2=5-4x. \end{matrix}\right.\\$

Решение первой системы: x = 1. У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2. x² + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

$x^{2}+4(x-3)-7x+11=0,$

$x^{2}-3x-1=0,\\ x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}, \: \: \: \: x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}.$

Число x₂, будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является
корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число x₁. Для этого составим разность и определим
её знак:

$x_{1}-3=\frac{3+\sqrt{13}}{2}-3=\frac{\sqrt{13}-3}{2}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{2}>0.$

Значит, x₁ больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

$x^{2}+4(3-x)-7x+11=0,$

$x^{2}-11x+23=0,\\ x_{3}=\frac{11+\sqrt{29}}{2}, \: \: \: \: x_{4}=\frac{11-\sqrt{29}}{2}.$

Число x₃ больше, чем 11/2, и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим x₄:

$x_{4}-3=\frac{11-\sqrt{29}}{2}-3=\frac{5-\sqrt{29}}{2}=\frac{\sqrt{25}-\sqrt{29}}{2}<0.$

Значит, x₄ является корнем исходного уравнения.

Ответ: $\frac{3+\sqrt{13}}{2},\: \: \frac{11-\sqrt{29}}{2}$

3. |2x² − 3x − 4| = 6x − 1.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не точный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

$\left\{\begin{matrix} A=-B,\\ B\geq 0. \end{matrix}\right.$

То же самое, но немного по-другому:

$|A|=B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B, \end{matrix}\right \\ B\geq 0. \end{matrix}\right.$

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни,
удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

$2x^{2}-3x-4=6x-1,$

$2x^{2}-9x-3=0,$

$x_{1}=\frac{9+\sqrt{105}}{4},\: \: \: \: x_{2}=\frac{9-\sqrt{105}}{4}.$

Затем решаем второе уравнение:

$\: \\ 2x^{2}-3x-4=1-6x,\\ 2x^{2}+3x-5=0,\\ \, \\ x_{3}=1,\: \: \: \: x_{4}=-\frac{5}{2}.$

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

$\, \\ 6x_{1}-1=6\cdot \frac{9+\sqrt{105}}{4}-1=\frac{50+6\sqrt{105}}{4}>0;\\ \, \\ 6x_{2}-1=6\cdot \frac{9-\sqrt{105}}{4}-1=\frac{50-6\sqrt{105}}{4}=\frac{\sqrt{2500}-\sqrt{3780}}{4}<0;\\ \, \\ 6x_{3}-1=6-1>0;\\ 6x_{4}-1=-15-1<0.$

Стало быть, годятся лишь x₁ и x₃.

Ответ: $1, \, \frac{9+\sqrt{105}}{4}.$

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Решим уравнение: x² + 2|x| − 3 = 0.

Поскольку x² = |x|², удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

$t^{2}+2t-3=0 \, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} t=1\\ t=-3 \end{matrix} \right \Leftrightarrow \left [\begin{matrix} |x|=1\\ |x|=-3 \end{matrix} \right \Leftrightarrow$

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

$|A|=|B|\, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B. \end{matrix} \right$

Например, рассмотрим уравнение: |3x² + 5x − 9| = |6x + 15|. Оно равносильно следующей совокупности:

$\left [ \begin{matrix} 3x^{2}+5x-9=6x+15,\\ 3x^{2}+5x-9=-6x-15. \end{matrix} \right$

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение: |x − 1| − 2|x − 2| + 3|x − 3| = 4.

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению —
слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки
делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти
точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах.
(Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в
уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из
интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

$\, \\ x-1-2(x-2)+3(x-3)=4,\\ x=5.$

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного
уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

$\, \\ x-1-2(x-2)+3(3-x)=4,\\ x=2.$

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

$\, \\ x-1-2(2-x)+3(3-x)=4,\\ 4=4.$

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

$\, \\ 1-x-2(2-x)+3(3-x)=4,\\ x=1.$

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

Решим уравнение: ||3 − x| − 2x + 1| = 4x − 10.

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

$\, \\ |3-x-2x+1|=4x-10,\\ |4-3x|=4x-10.$

Выражение под модулем обращается в нуль при $x=\frac{4}{3}$ . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) $\frac{4}{3}\leq x\leq 3.$ Получаем в этом случае:

$\, \\ 3x-4=4x-10,\\ x=6.$

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) $x\leq \frac{4}{3}$ . Тогда:

$\, \\ 4-3x=4x-10,\\ x=2.$

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

$\, \\ |x-3-2x+1|=4x-10,\\ |x+2|=4x-10.$

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому
никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

$\, \\ x+2=4x-10,\\ x=4.$

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного
уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная
с внутреннего.

Неравенства с модулем

Никаких принципиально новых идей здесь не возникает. Всеми необходимыми знаниями вы
уже владеете. Поэтому мы разберём лишь две задачи. Остальное — на занятиях и в домашних
заданиях.

1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.

1) x ≥ 4. Имеем:

$\, \\ 2(x-4)+3x+5\geq 16,\\ x\geq \frac{19}{5}.$

Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых x ≥ 4. Иными словами, все числа из промежутка [4; +∞) являются решениями нашего неравенства.

2) $-\frac{5}{3}\leq x\leq 4.$ Имеем в данном случае:

$\, \\ 2(4-x)+3x+5\geq 16,\\ x\geq 3.$

Учитывая, в каком промежутке мы сейчас находимся, получаем в качестве решений исходного неравенства множество [3; 4].

3) $x\leq -\frac{5}{3}$ . Имеем:

$\, \\ 2(4-x)-3x-5\geq 16,\\ x\leq -\frac{13}{5}$

Так как − $-\frac{13}{5}<-\frac{5}{3}$ , то все значения x из полученного промежутка $\left (-\infty , -\frac{13}{5} \right ]$ служат решениями исходного неравенства.

Остаётся объединить множества решений, полученные в трёх рассмотренных случаях.

Ответ: $\left ( -\infty ,-\frac{13}{5} \right ]\cup \left [ 3;+\infty \right )$

2. |x² − 2x − 3| < 3x − 3.

Это задача №6 теоретической части урока 8 книги В. В. Ткачука «Математика — абитуриенту».
Автор решает её методом интервалов. Обязательно разберите авторское решение!

Заметим, что метод интервалов здесь проходит весьма безболезненно по той причине, что
корни квадратного трёхчлена под модулем — целые числа. А если дискриминант не будет
точным квадратом? Замените, например, под модулем −3 на −5. Объём вычислительной работы
тогда существенно возрастёт.

Мы покажем вам другой способ решения этой задачи, не зависящий от капризов дискриминанта.

Наше неравенство имеет вид |A| < B. Очевидны следующие утверждения.

• Если B ≤ 0, то неравенство не имеет решений.

• Если B > 0, то неравенство равносильно двойному неравенству −B < A < B или, что то же самое, системе

$\left\{\begin{matrix} A<B,\\ A>-B. \end{matrix}\right.$

Иными словами, мы берём пересечение множества решений данной системы с множеством решений неравенства B > 0, то есть решаем систему

$\left\{\begin{matrix} A<B,\\ A>-B,\\ B>0. \end{matrix}\right.$

В нашей задаче получаем:

$|x^{2}-2x-3|<3x-3\, \, \Leftrightarrow \, \, \left\{\begin{matrix} x^{2}-2x-3<3x-3\\ x^{2}-2x-3>-(3x-3)\\ 3x-3>0 \end{matrix}\right. \, \, \Leftrightarrow \, \, \left\{\begin{matrix} x^{2}-5x<0\\ x^{2}+x-6>0\\ x>1 \end{matrix}\right. \, \, \Leftrightarrow \, \, \left\{\begin{matrix} 0<x<5\\ \left [ \begin{matrix} x>2\\ x<-3 \end{matrix}\right \\ x>1 \end{matrix}\right.$

Изобразим множества решений этих неравенств на рисунке. Чёрным цветом показаны решения
первого (двойного) неравенства; зелёный цвет — решения совокупности; синий цвет —
решения последнего неравенства системы.