Уравнения с модулем
Эта статья посвящена приёмам решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.
Если на экзамене вам попадётся уравнение с модулем, его можно решить, вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда, занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.
Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.
Прежде всего вспомним определение модуля.

Если число x неотрицательное, то модуль x равен самому числу x.
А для отрицательного числа x модуль равен противоположному ему положительному числу -x.
Рассмотрим различные типы уравнений с модулем.
Начнем с простых заданий.
к оглавлению ▴
Слева модуль, справа число
Это самый простой случай. Нам поможет геометрический смысл модуля.
Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Очевидно, расстояние не может быть отрицательным. Оно или положительно, или равно нулю. Например,
. Другими словами, расстояние от точки -2 до нуля равно 2. Этим мы пользуемся при решении уравнений.
1. Решим уравнение: 
Решение:
На числовой прямой есть ровно две точки, расстояние от которых до нуля равно двум. Это точки 2 и -2. Значит, у уравнения
есть два решения:
и
.
Ответ: -2; 2.
2. Решите уравнение: 
Решение:

Ответ: 
3. Решите уравнение: 
Решение:


Мы получили совокупность двух квадратных уравнений. А затем решили отдельно каждое из них.
Вот что мы делали, решая квадратные уравнения:
— применили теорему Виета и нашли корни.
корней нет.
Ответ: 
4. Решим уравнение: 
Решение:
Задача похожа на предыдущую.
Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух простых:
или 
Второе уравнение не имеет корней. Решения первого: x = 0 и x = 5.
Ответ: 0; 5.
к оглавлению ▴
Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной
Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!
5. 
Решение:
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы:
. У второй системы решений нет.
Ответ: 1.
6. 
Решение:
Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:
-7x+11=0,)

Число
, будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли данному условию число
. Для этого составим разность и определим её знак:

Значит,
больше трёх и потому является корнем исходного уравнения.
Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:
-7x+11=0,)

Число
. больше, чем
, и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим
:

Значит,
. является корнем исходного уравнения.
Ответ: 
7. Решите уравнение:
= x.
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень
Решение:
ОДЗ уравнения: x≠3. Так как в левой части уравнения — неотрицательная величина, должно также выполняться условие
Возведем обе части уравнения в квадрат
= x
(разность квадратов),





Так как
— это посторонний корень. Уравнение имеет два корня:
или 
Меньший корень: 1.
Ответ: 1.
8. 
Решение:
Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат.
Давайте воспользуемся следующим правилом:
Уравнение вида
равносильно совокупности двух систем:

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию 
Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:



Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Подходят только
и
.
Ответ: 
Еще одно уравнение того же типа.
9. Решите уравнение:
.
Это уравнение вида
Вспомним, что оно равносильно системе:

Получим:

Решим отдельно каждое уравнение совокупности.
по теореме Виета.


Система примет вид:

Сравним
и
Для сравнения мы будем использовать вот такой символ: 
.
Умножим обе части этого неравенства на 2:
.
Прибавим 5 к обеим частям выражения:
Обе части выражения неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат и сравним квадраты. Очевидно, 17
9. Это значит, что
и 
Остальные корни, очевидно, меньше, чем -1.
Ответ:
.
к оглавлению ▴
Квадратные уравнения с заменой 
Замена переменной — универсальный способ решения всевозможных уравнений. И этот способ помогает нам решать квадратные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
10. Решим уравнение: 
Решение:
Поскольку
, удобно сделать замену |x| = t. Получаем:
.
Ответ: ±1.
к оглавлению ▴
Модуль равен модулю
Речь идёт об уравнениях вида
Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Как мы получили это равенство? Покажем на примере задачи.
11. Решите уравнение: 
Решение:
Возведем обе части в квадрат, поскольку они неотрицательны.

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов:




Ответ: 
12. Решим уравнение:
.
Решение:
Уравнение равносильно следующей совокупности:

Решим каждое из уравнений совокупности и запишем ответ.
1) 

— корни первого квадратного уравнения.
2) 

— корни второго квадратного уравнения.
В ответ запишем все 4 корня.
Ответ: 
к оглавлению ▴
Два или несколько модулей
13. Решим уравнение: 
Решение:
Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.
Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении).

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.
Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются с «плюсом»:
+3(x-3)=4,\\&space;x=5.)
Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.
Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается с «минусом»:
+3(3-x)=4,\\&space;x=2.)
Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.
Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются с «минусом»:
+3(3-x)=4,\\&space;4=4.)
Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.
Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
+3(3-x)=4,\\&space;x=1.)
Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.
Ответ: [1; 2] ∪ {5}.
к оглавлению ▴
Модуль в модуле
14. Решим уравнение: 
Решение:
Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.
1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при
. Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.
1.1)
Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.
1.2)
. Тогда:

Это значение x также не годится.
Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.
2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается с «плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.
Ответ: 4.
Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.
Часто в решении уравнений и неравенств с модулем используется график функции
Он строится согласно определению модуля:
.
Для
получаем участок графика y = x.
Для
получаем участок графика y = −x. Вот этот график:

15. Решите уравнение: 
Решение:
Сделаем замену переменной: 
Тогда 
Получим: 
Мы помним, что 

Решим уравнение графически. В левой части — график функции 
Построим этот график. Сначала изобразим графики функций
(точка минимума (3; 0)) и
(точка минимума ( -3; 0)). Можно сказать, что график функции
сдвинут относительно графика
на 3 единицы вправо, а график
— на 3 единицы влево.
И построим график суммы функций
и 
В точке с абсциссой 3 значение одного из слагаемых равно 0, другое слагаемое равно 6, сумма равна 6.
В точке с абсциссой -3 аналогично.
При х = 0 оба слагаемых равны 3, сумма равна 6.
Легко доказать, что сумма двух линейных функций есть линейная функция.
Поэтому при -
получим горизонтальный участок. При x
3 получим луч с угловым коэффициентом, равным 2, а при x
- 3 — луч с угловым коэффициентом, равным — 2.

Решения нашего уравнения — все
принадлежащие отрезку от
до 

значит, 
Ответ: ![x\in \left[9;18\right]. x\in \left[9;18\right].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=x%5Cin%20%5Cleft%5B9%3B18%5Cright%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Мы рассмотрели все основные типы уравнений с модулями.
Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Уравнения с модулем» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
05.09.2023