Центр подготовки к ЕГЭ > Уравнения с модулем

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение с модулем, его можно решить, вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда, занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним определение модуля.

Если число x неотрицательное, то модуль x равен самому числу x.

А для отрицательного числа x модуль равен противоположному ему положительному числу -x.

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем.

Начнем с простых заданий.

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Нам поможет геометрический смысл модуля.

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Очевидно, расстояние не может быть отрицательным. Оно или положительно, или равно нулю. Например, $|-2|=2$ . Другими словами, расстояние от точки -2 до нуля равно 2. Этим мы пользуемся при решении уравнений.

1. Решим уравнение: $| x| = 2.$

Решение:

На числовой прямой есть ровно две точки, расстояние от которых до нуля равно двум. Это точки 2 и -2. Значит, у уравнения $|x|=2$ есть два решения: $x=2$ и $x=-2$ .

Ответ: -2; 2.

2. Решите уравнение: $\left|8x-3\right|=21.$

Решение:

$\left|8x-3\right|=21\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}8x-3=21 \\8x-3=-21 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}8x=24 \\8x=-18 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=3 \\x=-\displaystyle \frac{9}{4} \end{array}\right.\right.\right. .$

Ответ: $-\displaystyle \frac{9}{4};3.$

3. Решите уравнение: $\left|2x^2-6x+1\right|=9.$

Решение:

$\left|2x^2-6x+1\right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}2x^2-6x+1=9 \\2x^2-6x+1=-9 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}2x^2-6x-8=0 \\2x^2-6x+10=0 \end{array}\Leftrightarrow \right.\right.$
$\left[ \begin{array}{c}x^2-3x-4=0 \\x^2-3x+5=0 \end{array}\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c}x=4 \\x=-1 \end{array}\right..$

Мы получили совокупность двух квадратных уравнений. А затем решили отдельно каждое из них.

Вот что мы делали, решая квадратные уравнения:

$x^2-3x-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=4 \\x=-1 \end{array}\right.$ — применили теорему Виета и нашли корни.

$x^2-3x+5=0; \;D=9-20=-11\textless 0;\ \$ корней нет.

Ответ: $-1;4.$

4. Решим уравнение: $|x^2 - 5x + 4| = 4.$

Решение:

Задача похожа на предыдущую.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух простых:

$x^2 - 5x + 4 = 4$ или $x^2 - 5x + 4 = -4.$

Второе уравнение не имеет корней. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

5. $|2-x|=5-4x.$

Решение:

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

$\left\{\begin{matrix} 2-x< 0,\\ x-2=5-4x. \end{matrix}\right.\\$

Решение первой системы: $x = 1$ . У второй системы решений нет.

Ответ: 1.

6. $x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0.$

Решение:

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

$x^{2}+4(x-3)-7x+11=0,$

$x^{2}-3x-1=0,\\ x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}, \: \: \: \: x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}.$

Число $x_2$ , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число $x_1$ . Для этого составим разность и определим её знак:

$x_{1}-3=\frac{3+\sqrt{13}}{2}-3=\frac{\sqrt{13}-3}{2}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{2}>0.$

Значит, $x_1$ больше трёх и потому является корнем исходного уравнения.

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

$x^{2}+4(3-x)-7x+11=0,$

$x^{2}-11x+23=0,\\ x_{3}=\frac{11+\sqrt{29}}{2}, \: \: \: \: x_{4}=\frac{11-\sqrt{29}}{2}.$

Число $x_3$ . больше, чем $\frac{11}{2}$ , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим $x_4$ :

$x_{4}-3=\frac{11-\sqrt{29}}{2}-3=\frac{5-\sqrt{29}}{2}=\frac{\sqrt{25}-\sqrt{29}}{2}<0.$

Значит, $x_4$ . является корнем исходного уравнения.

Ответ: $\frac{3+\sqrt{13}}{2},\: \: \frac{11-\sqrt{29}}{2}$

7. Решите уравнение: $\left|\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right|$ = x.
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень

Решение:

ОДЗ уравнения: x≠3. Так как в левой части уравнения — неотрицательная величина, должно также выполняться условие $x\geq 0.$ Возведем обе части уравнения в квадрат

${\left|\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right|}^2$ = x ${}^{2},$

${\left(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right)}^2- x{}^{2}= 0$ (разность квадратов),

$(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}-x)(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}+x)=0,$

$\displaystyle \frac{x+1}{x-3}- x=0,$

$\displaystyle \frac{x+1}{x-3}+ x=0.$

$\left[ \begin{array}{c}x^2\ -\ 4x\ -\ 1=\ 0 \\x^2\ -\ 2x\ +\ 1=\ 0 \end{array}\right. .$

$\left[ \begin{array}{c}x\ =\ 2\ +\sqrt{5}\ \\x\ =\ 2\ -\ \sqrt{5\ } \\x=\ 1 \end{array}\right.\ \ .$

Так как $x = 2- \sqrt{5 }\textless 0$ — это посторонний корень. Уравнение имеет два корня: $x = 2 +\sqrt{5}$ или $x=1.$

Меньший корень: 1.

Ответ: 1.

8. $|2x^2 -3x -4|=6x-1.$

Решение:

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат.

Давайте воспользуемся следующим правилом:

Уравнение вида $| A| = B$ равносильно совокупности двух систем:

$\left\{\begin{matrix} A=-B,\\ B\geq 0. \end{matrix}\right.$

То же самое, но немного по-другому:

$|A|=B\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B, \end{matrix}\right. B\geq 0.$

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию $B \geq 0.$

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

$2x^{2}-3x-4=6x-1,$
$2x^{2}-9x-3=0,$
$x_{1}=\frac{9+\sqrt{105}}{4},\: \: \: \: x_{2}=\frac{9-\sqrt{105}}{4}.$

Затем решаем второе уравнение:

$\: \\ 2x^{2}-3x-4=1-6x,\\ 2x^{2}+3x-5=0,\\ \, \\ x_{3}=1,\: \: \: \: x_{4}=-\frac{5}{2}.$

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

$\, \\ 6x_{1}-1=6\cdot \frac{9+\sqrt{105}}{4}-1=\frac{50+6\sqrt{105}}{4}>0;\\ \, \\ 6x_{2}-1=6\cdot \frac{9-\sqrt{105}}{4}-1=\frac{50-6\sqrt{105}}{4}=\frac{\sqrt{2500}-\sqrt{3780}}{4}<0;\\ \, \\ 6x_{3}-1=6-1>0;\\ 6x_{4}-1=-15-1<0.$

Подходят только $x_1$ и $x_3$ .

Ответ: $1, \, \frac{9+\sqrt{105}}{4}.$

Еще одно уравнение того же типа.

9. Решите уравнение: $\left|x^2+3x\right|=2\left(x+1\right)$ .

Это уравнение вида $\left|A\right|=B.$ Вспомним, что оно равносильно системе:

$\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}B\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}A=B \\A=-B \end{array}\right. \end{array}\right. .$

Получим:

$\left|x^2+3x\right|=2\left(x+1\right)\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}2\left(x+1\right)\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}x^2+3x=2x+2 \\x^2+3x=-2x-2 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}x\ge -1 \\\left[ \begin{array}{c}x^2+x-2=0 \\x^2+5x+2=0 \end{array}\right. \end{array}\right. .$

Решим отдельно каждое уравнение совокупности.

$1)\ x^2+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=-2 \\x=1 \end{array}\right.$ по теореме Виета.

$2)\ x^2+5x+2=0.$

$D=25-8=17;\ \ x_{1,2}=\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{17}}{2}\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=\displaystyle \frac{-5-\sqrt{17}}{2} \\x=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2} \end{array}\right. .$

Система примет вид:

$\left\{ \begin{array}{c}x\ge -1 \\\left[ \begin{array}{c}x=-2 \\x=1 \\x=\displaystyle \frac{-5-\sqrt{17}}{2} \\x=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2} \end{array}\right. \end{array}\right.\ \ .$

Сравним $\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}$ и $-1.$ Для сравнения мы будем использовать вот такой символ: $\vee .$

$\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\vee \ -1\$ .

Умножим обе части этого неравенства на 2: $-5+\sqrt{17}\vee -2$ .

Прибавим 5 к обеим частям выражения: $\sqrt{17}\vee 3.\$ Обе части выражения неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат и сравним квадраты. Очевидно, 17 $\textgreater$ 9. Это значит, что $\sqrt{17}\textgreater 3$ и $\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\textgreater \ -1.\$

Остальные корни, очевидно, меньше, чем -1.

Ответ: $\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2};1$ .

Квадратные уравнения с заменой $| x| = t$

Замена переменной — универсальный способ решения всевозможных уравнений. И этот способ помогает нам решать квадратные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

10. Решим уравнение: $x^2 + 2|x| - 3 = 0.$

Решение:

Поскольку $x^2 = |x|^2$ , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

$t^{2}+2t-3=0 \, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} t=1\\ t=-3 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left [\begin{matrix} |x|=1\\ |x|=-3 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow$ .

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида $| A| = | B| .$ Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

$|A|=|B|\, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B. \end{matrix} \right.$

Как мы получили это равенство? Покажем на примере задачи.

11. Решите уравнение: $\left|2x+5\right|=\left|x-1\right|.$

Решение:

Возведем обе части в квадрат, поскольку они неотрицательны.

${\left(2x+5\right)}^2={\left(x-1\right)}^2.$

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов:

$a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right);$

${\left(2x+5\right)}^2={\left(x-1\right)}^2\Leftrightarrow {\left(2x+5\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left(2x+5-x+1\right)\left(2x+5+x-1\right)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left(x+6\right)\left(3x+4\right)=0\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x+6=0 \\3x+4=0 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=-6 \\x=-\displaystyle \frac{4}{3} \end{array}\right.\right. .$

Ответ: $-6;-\displaystyle \frac{4}{3}.$

12. Решим уравнение: $|3x^2 + 5x - 9| = |6x + 15|$ .

Решение:

Уравнение равносильно следующей совокупности:

$\left [ \begin{matrix} 3x^{2}+5x-9=6x+15,\\ 3x^{2}+5x-9=-6x-15. \end{matrix} \right.$

Решим каждое из уравнений совокупности и запишем ответ.

1) $3x^2-x-24=0;$

$D=1+4\cdot 3 \cdot 24 = 289 = 17^2 ;$

$\displaystyle x=\frac{1 \pm 17}{6} ; x_{1}=3, \; x_2 = \frac{8}{3}$ — корни первого квадратного уравнения.

2) $3x^2+11x+6=0;$

$D=121-4\cdot 3\cdot 6=49=7^2 ;$

$\displaystyle x=\frac{-11\pm 7}{6};$ $x_3=-3;$ $\displaystyle x_4=-\frac{2}{3}$ — корни второго квадратного уравнения.

В ответ запишем все 4 корня.

Ответ: $\displaystyle -3; \; \frac{8}{3}; \; - \frac{2}{3}; \; 3.$

Два или несколько модулей

13. Решим уравнение: $|x - 1| - 2|x - 2| + 3|x - 3| = 4.$

Решение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении).

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются с «плюсом»:

$\, \\ x-1-2(x-2)+3(x-3)=4,\\ x=5.$

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается с «минусом»:

$\, \\ x-1-2(x-2)+3(3-x)=4,\\ x=2.$

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются с «минусом»:

$\, \\ x-1-2(2-x)+3(3-x)=4,\\ 4=4.$

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

$\, \\ 1-x-2(2-x)+3(3-x)=4,\\ x=1.$

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

14. Решим уравнение: $||3 - x| - 2x + 1| = 4x - 10.$

Решение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

$\, \\ |3-x-2x+1|=4x-10,\\ |4-3x|=4x-10.$

Выражение под модулем обращается в нуль при $x=\frac{4}{3}$ . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) $\frac{4}{3}\leq x\leq 3.$ Получаем в этом случае:

$\, \\ 3x-4=4x-10,\\ x=6.$

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) $x\leq \frac{4}{3}$ . Тогда:

$\, \\ 4-3x=4x-10,\\ x=2.$

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

$\, \\ |x-3-2x+1|=4x-10,\\ |x+2|=4x-10.$

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается с «плюсом»:

$\, \\ x+2=4x-10,\\ x=4.$

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Часто в решении уравнений и неравенств с модулем используется график функции $y = | x| .$ Он строится согласно определению модуля:

Для $x \geq 0$ получаем участок графика y = x.

Для $x\textless 0$ получаем участок графика y = −x. Вот этот график:

15. Решите уравнение: $\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}=6.$

Решение:

Сделаем замену переменной: $\sqrt{x-9}=t,\ \ \ t\ge 0.$

Тогда $x-9=t^2;x=t^2+9.$

Получим: $\sqrt{t^2+6t+9}+\sqrt{t^2-6t+9}=6.$

Мы помним, что $\sqrt{a^2}=\left|a\right|;$

$\left|t+3\right|+\left|t-3\right|=6.$

Решим уравнение графически. В левой части — график функции $y\ \left(t\right)=\ \left|t+3\right|+\left|t-3\right|.\$

Построим этот график. Сначала изобразим графики функций $y = | t - 3 |$ (точка минимума (3; 0)) и $y = | t + 3|$ (точка минимума ( -3; 0)). Можно сказать, что график функции $y = | t - 3 |$ сдвинут относительно графика $y = | t |$ на 3 единицы вправо, а график $y = | t + 3 |$ — на 3 единицы влево.

И построим график суммы функций $y = | t - 3 |$ и $y = | t + 3 | .$

В точке с абсциссой 3 значение одного из слагаемых равно 0, другое слагаемое равно 6, сумма равна 6.

В точке с абсциссой -3 аналогично.

При х = 0 оба слагаемых равны 3, сумма равна 6.

Легко доказать, что сумма двух линейных функций есть линейная функция.

Поэтому при - $3 \leq x \leq 3$ получим горизонтальный участок. При x $\textgreater$ 3 получим луч с угловым коэффициентом, равным 2, а при x $\textless$ - 3 — луч с угловым коэффициентом, равным — 2.

Решения нашего уравнения — все $t,$ принадлежащие отрезку от $-3$ до $3.$

$-3\le t\le 3.$

значит, $-3\le \sqrt{x-9}\le 3\Leftrightarrow \sqrt{x-9}\le 3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x-9\ge 0 \\x-9\le 9 \end{array}\Leftrightarrow 9\le x\le 18\right. .$

Ответ: $x\in \left[9;18\right].$

Мы рассмотрели все основные типы уравнений с модулями.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Уравнения с модулем

Слева модуль, справа число

Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной

Квадратные уравнения с заменой

Модуль равен модулю

Два или несколько модулей

Модуль в модуле

Это полезно

Квадратные уравнения с заменой $| x| = t$