Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение с модулем, его можно решить, вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда, занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним определение модуля.

Если число x неотрицательное, то модуль x равен самому числу x.

А для отрицательного числа x модуль равен противоположному ему положительному числу -x.

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем.

Начнем с простых заданий.

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Нам поможет геометрический смысл модуля.

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Очевидно, расстояние не может быть отрицательным. Оно или положительно, или равно нулю. Например, |-2|=2. Другими словами, расстояние от точки -2 до нуля равно 2. Этим мы пользуемся при решении уравнений.

1. Решим уравнение: | x| = 2.

Решение:

На числовой прямой есть ровно две точки, расстояние от которых до нуля равно двум. Это точки 2 и -2. Значит, у уравнения |x|=2 есть два решения: x=2 и x=-2.

Ответ: -2; 2.

2. Решите уравнение: \left|8x-3\right|=21.

Решение:

\left|8x-3\right|=21\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}8x-3=21 \\8x-3=-21 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}8x=24 \\8x=-18 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=3 \\x=-\displaystyle \frac{9}{4} \end{array}\right.\right.\right. .

Ответ: -\displaystyle \frac{9}{4};3.

3. Решите уравнение: \left|2x^2-6x+1\right|=9.

Решение:

\left|2x^2-6x+1\right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}2x^2-6x+1=9 \\2x^2-6x+1=-9 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}2x^2-6x-8=0 \\2x^2-6x+10=0 \end{array}\Leftrightarrow \right.\right.
\left[ \begin{array}{c}x^2-3x-4=0 \\x^2-3x+5=0 \end{array}\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c}x=4 \\x=-1 \end{array}\right..

Мы получили совокупность двух квадратных уравнений. А затем решили отдельно каждое из них.

Вот что мы делали, решая квадратные уравнения:

x^2-3x-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=4 \\x=-1 \end{array}\right. — применили теорему Виета и нашли корни.

x^2-3x+5=0; \;D=9-20=-11\textless 0;\ \ корней нет.

Ответ: -1;4.

4. Решим уравнение: |x^2 - 5x + 4| = 4.

Решение:

Задача похожа на предыдущую.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух простых:

x^2 - 5x + 4 = 4 или x^2 - 5x + 4 = -4.

Второе уравнение не имеет корней. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

5. |2-x|=5-4x.

Решение:

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

   

Решение первой системы: x = 1. У второй системы решений нет.

Ответ: 1.

6. x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0.

Решение:

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число x_2, будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число x_1. Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, x_1 больше трёх и потому является корнем исходного уравнения.

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число x_3. больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим x_4:

Значит, x_4. является корнем исходного уравнения.

Ответ:

7. Решите уравнение: \left|\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right| = x.
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень

Решение:

ОДЗ уравнения: x≠3. Так как в левой части уравнения — неотрицательная величина, должно также выполняться условие x\geq 0. Возведем обе части уравнения в квадрат

{\left|\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right|}^2= x{}^{2},

{\left(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right)}^2- x{}^{2}= 0 (разность квадратов),

(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}-x)(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}+x)=0,

\displaystyle \frac{x+1}{x-3}- x=0,

\displaystyle \frac{x+1}{x-3}+ x=0.

\left[ \begin{array}{c}x^2\ -\ 4x\ -\ 1=\ 0 \\x^2\ -\ 2x\ +\ 1=\ 0 \end{array}\right. .

\left[ \begin{array}{c}x\ =\ 2\ +\sqrt{5}\ \\x\ =\ 2\ -\ \sqrt{5\ } \\x=\ 1 \end{array}\right.\ \ .

Так как x = 2- \sqrt{5 }\textless 0 — это посторонний корень. Уравнение имеет два корня: x = 2 +\sqrt{5} или x=1.

Меньший корень: 1.

Ответ: 1.

8. |2x^2 -3x -4|=6x-1.

Решение:

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат.

Давайте воспользуемся следующим правилом:

Уравнение вида | A| = B равносильно совокупности двух систем:

   

То же самое, но немного по-другому:

|A|=B\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B, \end{matrix}\right. B\geq 0.

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B \geq 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:



Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Подходят только x_1 и x_3.

Ответ:

Еще одно уравнение того же типа.

9. Решите уравнение: \left|x^2+3x\right|=2\left(x+1\right) .

Это уравнение вида \left|A\right|=B. Вспомним, что оно равносильно системе:

\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}B\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}A=B \\A=-B \end{array}\right. \end{array}\right. .

Получим:

\left|x^2+3x\right|=2\left(x+1\right)\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}2\left(x+1\right)\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}x^2+3x=2x+2 \\x^2+3x=-2x-2 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}x\ge -1 \\\left[ \begin{array}{c}x^2+x-2=0 \\x^2+5x+2=0 \end{array}\right. \end{array}\right. .

Решим отдельно каждое уравнение совокупности.

1)\ x^2+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=-2 \\x=1 \end{array}\right. по теореме Виета.

2)\ x^2+5x+2=0.

D=25-8=17;\ \ x_{1,2}=\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{17}}{2}\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=\displaystyle \frac{-5-\sqrt{17}}{2} \\x=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2} \end{array}\right. .

Система примет вид:

\left\{ \begin{array}{c}x\ge -1 \\\left[ \begin{array}{c}x=-2 \\x=1 \\x=\displaystyle \frac{-5-\sqrt{17}}{2} \\x=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2} \end{array}\right. \end{array}\right.\ \ .

Сравним \displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2} и -1. Для сравнения мы будем использовать вот такой символ: \vee .

\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\vee \ -1\ .

Умножим обе части этого неравенства на 2: -5+\sqrt{17}\vee -2.

Прибавим 5 к обеим частям выражения: \sqrt{17}\vee 3.\ Обе части выражения неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат и сравним квадраты. Очевидно, 17 \textgreater 9. Это значит, что \sqrt{17}\textgreater 3 и \displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\textgreater \ -1.\

Остальные корни, очевидно, меньше, чем -1.

Ответ: \displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2};1.

Квадратные уравнения с заменой | x| = t

Замена переменной — универсальный способ решения всевозможных уравнений. И этот способ помогает нам решать квадратные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

10. Решим уравнение: x^2 + 2|x| - 3 = 0.

Решение:

Поскольку x^2 = |x|^2, удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

t^{2}+2t-3=0 \, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} t=1\\ t=-3 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left [\begin{matrix} |x|=1\\ |x|=-3 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow .

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида | A| = | B| . Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

|A|=|B|\, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B. \end{matrix} \right.

Как мы получили это равенство? Покажем на примере задачи.

11. Решите уравнение: \left|2x+5\right|=\left|x-1\right|.

Решение:

Возведем обе части в квадрат, поскольку они неотрицательны.

{\left(2x+5\right)}^2={\left(x-1\right)}^2.

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов:

a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right);

{\left(2x+5\right)}^2={\left(x-1\right)}^2\Leftrightarrow {\left(2x+5\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2=0\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left(2x+5-x+1\right)\left(2x+5+x-1\right)=0\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left(x+6\right)\left(3x+4\right)=0\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x+6=0 \\3x+4=0 \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x=-6 \\x=-\displaystyle \frac{4}{3} \end{array}\right.\right. .

Ответ: -6;-\displaystyle \frac{4}{3}.

12. Решим уравнение: |3x^2 + 5x - 9| = |6x + 15|.

Решение:

Уравнение равносильно следующей совокупности:

\left [ \begin{matrix} 3x^{2}+5x-9=6x+15,\\ 3x^{2}+5x-9=-6x-15. \end{matrix} \right.

Решим каждое из уравнений совокупности и запишем ответ.

1) 3x^2-x-24=0;

D=1+4\cdot 3 \cdot 24 = 289 = 17^2 ;

\displaystyle x=\frac{1 \pm 17}{6} ; x_{1}=3, \; x_2 = \frac{8}{3} — корни первого квадратного уравнения.

2) 3x^2+11x+6=0;

D=121-4\cdot 3\cdot 6=49=7^2 ;

\displaystyle x=\frac{-11\pm 7}{6}; x_3=-3; \displaystyle x_4=-\frac{2}{3} — корни второго квадратного уравнения.

В ответ запишем все 4 корня.

Ответ: \displaystyle -3; \;  \frac{8}{3}; \; - \frac{2}{3}; \; 3.

Два или несколько модулей

13. Решим уравнение: |x - 1| - 2|x - 2| + 3|x - 3| = 4.

Решение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении).

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются с «плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается с «минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются с «минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

14. Решим уравнение: ||3 - x| - 2x + 1| = 4x - 10.

Решение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается с «плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Часто в решении уравнений и неравенств с модулем используется график функции y = | x| . Он строится согласно определению модуля:

.

Для x \geq 0 получаем участок графика y = x.

Для  x\textless 0 получаем участок графика y = −x. Вот этот график:

15. Решите уравнение: \sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}=6.

Решение:

Сделаем замену переменной: \sqrt{x-9}=t,\ \ \ t\ge 0.

Тогда x-9=t^2;x=t^2+9.

Получим: \sqrt{t^2+6t+9}+\sqrt{t^2-6t+9}=6.

Мы помним, что \sqrt{a^2}=\left|a\right|;

\left|t+3\right|+\left|t-3\right|=6.

Решим уравнение графически. В левой части — график функции y\ \left(t\right)=\ \left|t+3\right|+\left|t-3\right|.\

Построим этот график. Сначала изобразим графики функций y = | t - 3 | (точка минимума (3; 0)) и y = | t + 3| (точка минимума ( -3; 0)). Можно сказать, что график функции y = | t - 3 | сдвинут относительно графика y = | t | на 3 единицы вправо, а график y = | t + 3 | — на 3 единицы влево.

И построим график суммы функций y = | t - 3 | и y = | t + 3 | .

В точке с абсциссой 3 значение одного из слагаемых равно 0, другое слагаемое равно 6, сумма равна 6.

В точке с абсциссой -3 аналогично.

При х = 0 оба слагаемых равны 3, сумма равна 6.

Легко доказать, что сумма двух линейных функций есть линейная функция.

Поэтому при - 3 \leq x \leq 3 получим горизонтальный участок. При x \textgreater 3 получим луч с угловым коэффициентом, равным 2, а при x \textless - 3 — луч с угловым коэффициентом, равным — 2.

Решения нашего уравнения — все t, принадлежащие отрезку от -3 до 3.

-3\le t\le 3.

значит, -3\le \sqrt{x-9}\le 3\Leftrightarrow \sqrt{x-9}\le 3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x-9\ge 0 \\x-9\le 9 \end{array}\Leftrightarrow 9\le x\le 18\right. .

Ответ: x\in \left[9;18\right].

Мы рассмотрели все основные типы уравнений с модулями.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Поделиться страницей

Это полезно

Теория вероятностей на ЕГЭ-2023 по математике
В варианте ЕГЭ-2023 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
Математика преподавателям
Решение задач с параметрами,
17 задание ЕГЭ