Уравнения с модулем
Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.
Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.
Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)
Слева модуль, справа число
Это самый простой случай. Решим уравнение 
Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:
или 
Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.
Ответ: 0; 5.
Переменная как под модулем, так и вне модуля
Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!
1. 
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы:
. У второй системы решений нет.
Ответ: 1.
2. 
Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:
-7x+11=0,)

Число
, будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли данному условию число
. Для этого составим разность и определим её знак:

Значит,
больше трёх и потому является корнем исходного уравнения
Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:
-7x+11=0,)

Число
. больше, чем
, и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим
:

Значит,
. является корнем исходного уравнения.
Ответ: 
3. 
Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.
Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:



Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Стало быть, годятся лишь
и
.
Ответ: 
Квадратные уравнения с заменой |x| = t
Решим уравнение: 
Поскольку
, удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Ответ: ±1.
Модуль равен модулю
Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение:
. Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.
Два или несколько модулей
Решим уравнение: 
Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.
Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.
Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:
+3(x-3)=4,\\&space;x=5.)
Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.
Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:
+3(3-x)=4,\\&space;x=2.)
Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.
Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
+3(3-x)=4,\\&space;4=4.)
Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.
Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
+3(3-x)=4,\\&space;x=1.)
Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.
Ответ: [1; 2] ∪ {5}.
Модуль в модуле
Решим уравнение: 
Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.
1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при
. Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.
1.1)
Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.
1.2)
. Тогда:

Это значение x также не годится.
Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.
2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.
Ответ: 4.
Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.
Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.