Уравнения и неравенства с модулем

Данная статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение |x² − 5x + 4| = 4.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

x² − 5x + 4 = 4 или x² − 5x + 4 = −4.

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1. |2 − x| = 5 − 4x

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

   

Решение первой системы: x = 1. У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2. x² + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число x₂, будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число x₁. Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, x₁ больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число x₃ больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим x₄:

Значит, x₄ является корнем исходного уравнения.

Ответ:

3. |2x² − 3x − 4| = 6x − 1.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не точный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

   

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Стало быть, годятся лишь x₁ и x₃.

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Решим уравнение: x² + 2|x| − 3 = 0.

Поскольку x² = |x|², удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: |3x² + 5x − 9| = |6x + 15|. Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение: |x − 1| − 2|x − 2| + 3|x − 3| = 4.

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

Решим уравнение: ||3 − x| − 2x + 1| = 4x − 10.

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Неравенства с модулем

Никаких принципиально новых идей здесь не возникает. Всеми необходимыми знаниями вы уже владеете. Поэтому мы разберём лишь две задачи. Остальное — на занятиях и в домашних заданиях.

1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.

1) x ≥ 4. Имеем:

Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых x ≥ 4. Иными словами, все числа из промежутка [4; +∞) являются решениями нашего неравенства.

2) Имеем в данном случае:

Учитывая, в каком промежутке мы сейчас находимся, получаем в качестве решений исходного неравенства множество [3; 4].

3) . Имеем:

Так как − , то все значения x из полученного промежутка служат решениями исходного неравенства.

Остаётся объединить множества решений, полученные в трёх рассмотренных случаях.

Ответ:

2. |x² − 2x − 3| < 3x − 3.

Это задача №6 теоретической части урока 8 книги В. В. Ткачука «Математика — абитуриенту». Автор решает её методом интервалов. Обязательно разберите авторское решение!

Заметим, что метод интервалов здесь проходит весьма безболезненно по той причине, что корни квадратного трёхчлена под модулем — целые числа. А если дискриминант не будет точным квадратом? Замените, например, под модулем −3 на −5. Объём вычислительной работы тогда существенно возрастёт.

Мы покажем вам другой способ решения этой задачи, не зависящий от капризов дискриминанта.

Наше неравенство имеет вид |A| < B. Очевидны следующие утверждения.

• Если B ≤ 0, то неравенство не имеет решений.

• Если B > 0, то неравенство равносильно двойному неравенству −B < A < B или, что то же самое, системе

Иными словами, мы берём пересечение множества решений данной системы с множеством решений неравенства B > 0, то есть решаем систему

В нашей задаче получаем:

Изобразим множества решений этих неравенств на рисунке. Чёрным цветом показаны решения первого (двойного) неравенства; зелёный цвет — решения совокупности; синий цвет — решения последнего неравенства системы.

Решением системы служит пересечение этих множеств, т. е. множество, над которым присутствуют линии всех трёх цветов. Оно заштриховано.

Ответ: (2; 5).