Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение $|x_2 - 5x + 4| = 4.$

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

$x_2 - 5x + 4 = 4$ или $x_2 - 5x + 4 = -4.$

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1. $|2 - x| = 5 - 4x$

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

$\left\{\begin{matrix} 2-x< 0,\\ x-2=5-4x. \end{matrix}\right.\\$

Решение первой системы: $x = 1$ . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2. $x_2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0.$

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

$x^{2}+4(x-3)-7x+11=0,$

$x^{2}-3x-1=0,\\ x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}, \: \: \: \: x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}.$

Число $x^2$ , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число $x_1$ . Для этого составим разность и определим её знак:

$x_{1}-3=\frac{3+\sqrt{13}}{2}-3=\frac{\sqrt{13}-3}{2}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{2}>0.$

Значит, $x_1$ больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

$x^{2}+4(3-x)-7x+11=0,$

$x^{2}-11x+23=0,\\ x_{3}=\frac{11+\sqrt{29}}{2}, \: \: \: \: x_{4}=\frac{11-\sqrt{29}}{2}.$

Число $x_3$ . больше, чем $\frac{11}{2}$ , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим $x_4$ :

$x_{4}-3=\frac{11-\sqrt{29}}{2}-3=\frac{5-\sqrt{29}}{2}=\frac{\sqrt{25}-\sqrt{29}}{2}<0.$

Значит, $x_4$ . является корнем исходного уравнения.

Ответ: $\frac{3+\sqrt{13}}{2},\: \: \frac{11-\sqrt{29}}{2}$

3. $|2x_2 - 3x - 4| = 6x - 1.$

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

$\left\{\begin{matrix} A=-B,\\ B\geq 0. \end{matrix}\right.$

То же самое, но немного по-другому:

$|A|=B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B, \end{matrix}\right \\ B\geq 0. \end{matrix}\right.$

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

$2x^{2}-3x-4=6x-1,$
$2x^{2}-9x-3=0,$
$x_{1}=\frac{9+\sqrt{105}}{4},\: \: \: \: x_{2}=\frac{9-\sqrt{105}}{4}.$

Затем решаем второе уравнение:

$\: \\ 2x^{2}-3x-4=1-6x,\\ 2x^{2}+3x-5=0,\\ \, \\ x_{3}=1,\: \: \: \: x_{4}=-\frac{5}{2}.$

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

$\, \\ 6x_{1}-1=6\cdot \frac{9+\sqrt{105}}{4}-1=\frac{50+6\sqrt{105}}{4}>0;\\ \, \\ 6x_{2}-1=6\cdot \frac{9-\sqrt{105}}{4}-1=\frac{50-6\sqrt{105}}{4}=\frac{\sqrt{2500}-\sqrt{3780}}{4}<0;\\ \, \\ 6x_{3}-1=6-1>0;\\ 6x_{4}-1=-15-1<0.$

Стало быть, годятся лишь $x_1$ и $x_3$ .

Ответ: $1, \, \frac{9+\sqrt{105}}{4}.$

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Решим уравнение: $x_2 + 2|x| - 3 = 0.$

Поскольку $x_2 = |x|_2$ , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

$t^{2}+2t-3=0 \, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} t=1\\ t=-3 \end{matrix} \right \Leftrightarrow \left [\begin{matrix} |x|=1\\ |x|=-3 \end{matrix} \right \Leftrightarrow$

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

$|A|=|B|\, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B. \end{matrix} \right$

Например, рассмотрим уравнение: $|3x_2 + 5x - 9| = |6x + 15|$ . Оно равносильно следующей совокупности:

$\left [ \begin{matrix} 3x^{2}+5x-9=6x+15,\\ 3x^{2}+5x-9=-6x-15. \end{matrix} \right$

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение: $|x - 1| - 2|x - 2| + 3|x - 3| = 4.$

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

$\, \\ x-1-2(x-2)+3(x-3)=4,\\ x=5.$

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

$\, \\ x-1-2(x-2)+3(3-x)=4,\\ x=2.$

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

$\, \\ x-1-2(2-x)+3(3-x)=4,\\ 4=4.$

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

$\, \\ 1-x-2(2-x)+3(3-x)=4,\\ x=1.$

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

Решим уравнение: $||3 - x| - 2x + 1| = 4x - 10.$

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

$\, \\ |3-x-2x+1|=4x-10,\\ |4-3x|=4x-10.$

Выражение под модулем обращается в нуль при $x=\frac{4}{3}$ . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.